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- 2021-10-26 发布
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第十二章
全等三角形
12.3角平分线的性质
第1课时
1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性
质定理.(难点)
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重
点)
学习目标
问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗?
导入新课
用量角器度量,也可用折纸的方法.
问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折
的方法得到木板、钢板的角平分线吗?
问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道
理吗? A
B
C(E)
D
其依据是SSS,两全等三角形的
对应角相等.
问题:如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器
的功能吗?
A
BO
做一做:请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明
作图方法与仪器的关系.
提示:
(1)已知什么?求作什么?
(2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器
的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相
等,怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作
图中体现这个过程呢?
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗?
尺规作角平分线
A
B
M
C
O
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基
本的尺规作图,大家
一定要掌握噢!
作法:
(1)以点O为圆心,适当
长为半径画弧,交OA于
点M,交OB于点N.
(2)分别以点MN为圆心,大
于 MN的长为半径画弧,两
弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所
求.
1
2
已知:平角∠AOB.
求作:平角∠AOB的角平分线.
结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
AB O
C
1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作
PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三
次数据填入下表:
2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写
出结:__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O B
A
PD=PE
p
D
E
实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点
猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
验证猜想
已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.
P
A
O B
C
D
E
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO= ∠PEO,
∠AOC= ∠BOC,
OP= OP,
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可
以按照类似的步骤进行,即
1.明确命题中的已知和求证;
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表
示已知和求证;
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,
写出证明过程.
方法归纳
u 性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件:
(1)角的平分线;
(2)点在该平分线上;
(3)垂直距离.
定理的作用: 证明线段相等.
u应用格式:
∵OP 是∠AOB的平分线,
∴PD = PE
推理的理由有三个,
必须写完全,不能
少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB,
B
A
D
O P
E
C
判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知),
∴ = ,
( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A D
C
(2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知).
∴ = ,
( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A D
C
例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证:EB=FC. A
B CD
E F
证明: ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB,
DF⊥AC,
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,
DE=DF,
BD=CD,
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典例精析
例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,
PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,
则PE=______cm. B
A C
P
M
D
E
4
温馨提示:存在两条垂线段———直接应用
典例精析
A
B
C
P
变式:如 图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,
AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示:存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式:如图,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分
∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14.
(2)求△APB的面积.
D
14
PDBC PD PB DB
PC PB DB
BC DB AD DB
AB
(3)求∆PDB的周长.
·AB·PD=28.
1
2PDBS
由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4,
=
1.应用角平分线性质:
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质:
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性
质所得到的等量关
系进行转化求解
当堂练习
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
是 .
A B
C
D
3
E
1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足
分别是E,F, DE =DF, ∠EDB=
60°,则 ∠EBF= 度,
BE= .
60
BF
E
B D
F
A
C
G
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所
示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
C
O
A
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,
S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
D
B
C
EA
D
解析:过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,
∴DF=DE=2,
解得AC=3.
F
1 14 2 2 7,
2 2ABCS AC
方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,
再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
E
D
CB
A
6
8
10
5.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:
(1)哪条线段与DE相等?为什么?
(2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周
长.
解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的
点到角两边的距离相等.
(2)在Rt△CDB和Rt△EDB中,
DC=DE,DB=DB,
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL),
∴BE=BC=8.
∴ AE=AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
6.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点,
PE⊥AB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离.
解:过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N.
∵ AD∥BC,
∴ MN⊥BC,MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB,
∴ PM= PE.
同理, PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
7 .如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,
DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
证明:∵CD是∠ACG的平分
线,DE⊥AC,DF⊥CG,
∴DE=DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),
∴CE=CF.
,
,
CD CD
DE DF
课堂小结
角平分
线
尺 规
作 图
属于基本作图,必须熟练掌握
性 质
定 理
一个点:角平分线上的点;
二距离:点到角两边的距离;
两相等:两条垂线段相等
辅助线
添 加
过角平分线上一点向两
边作垂线段
第十二章
全等三角形
12.3角平分线的性质
第2课时
1.理解角平分线判定定理.(难点)
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其
解题.(重点)
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
学习目标
导入新课
复习回顾
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述:∵ OC平分∠AOB,且PD⊥OA, PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.叙述角平分线的性质定理
不必再证全等
E
2.我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相
等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平
分线上呢?
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
P
A
O B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
问题:交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么
结论,这个新结论正确吗?
角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB,
且PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD= PE
几何语言:
猜想:
思考:这个结
论正确吗?
角平分线的判定
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的角平分线上.
证明:作射线OP,
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中,
(全等三角形的对应角相等).
OP=OP(公共边),
PD= PE(已知 ),
B
AD
O P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
u判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O B
C
D
E
应用所具备的条件:
(1)位置关系:点在角的内部;
(2)数量关系:该点到角两边的距离相等.
定理的作用:判断点是否在角平分线上.
u应用格式:
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
典例精析
例1:如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路
距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建
在何处(比例尺为1︰20000)?
D
C
S
解:作夹角的角平分线OC,
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
方法点拨:根据角平分线的判定定理,要求作的点到两边的
距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这
条角平分线上根据要求取点.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你
发现了什么?
发现:三角形的三条角平分线相交于一点
三角形的内角平分线
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度
尺量一量,每组垂线段,你发现了什么?
发现:过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这
个结论吗?
已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
证明结论
证明:过点P作PD,PE,PF分
别垂直于AB,BC,CA,垂足
分别为D,E,F.
∵BM是△ABC的角平分线,
点P在BM上,
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
D
E
F
A
B C
P
N
M
想一想:点P在∠A的平分线上吗?
这说明三角形的三条角平分线有什
么关系?
点P在∠A的平分线上.
结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且
这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B C
P N
M
M
E
N
A
B
C
PO
D
变式1:如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AP平
分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作
OM⊥AC,若OM=4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示:不存在垂线段———构造应用
12
解:连接OC
1 1 1
2 2 2
1 ( )
2
1 4 32 64
2
ABC AOC BOC AOBS S S S
AB OE BC ON AB OM
OM AB BC OM
M
E
N
A
B
C
PO
D
变式1:如图,在直角△ABC中,∠C=900,AP平分∠BAC,
BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4.
(2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积.
1.应用角平分线性质:
存在角平分线
涉及距离问题
chs
2
1
2.联系角平分线性质:
距离
面积
周长
条件
知识与方法
例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到
△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数
为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
A
解析:由已知,O到三角形三边的距离
相等,所以O是内心,即三条角平分线
的交点,AO,BO,CO都是角平分线,
所以有∠CBO=∠ABO= ∠ABC,
∠BCO=∠ACO= ∠ACB,
∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,
∠OBC+∠OCB=70°,
∠BOC=180°-70°=110°.
1
21
2
由已知,O 到三角形三边的距离相等,得O是
内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的
度数.
方法总结
归纳总结
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
当堂练习
1. 如图,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、
OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA、OB的距离
相等,请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O B
M
N
2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,
PF∥AC交BC于点F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离
与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理
由.
解:AD平分∠BAC.理由如下:
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
∴点D在∠EPF的平分线上.
∴∠1=∠2.
又∵PE∥AB,∴∠1=∠3.
同理,∠2=∠4.
∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC.
A
B CE FD
( (
( (
3 4
1 2
P
3.已知:如图,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB,
点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.求证:CM=CN.
证明:∵OD平分线∠POQ,
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中,
∵OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD,
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD,CN⊥BD,
∴CM=CN.
4.如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,
求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明:过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,
FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上,
FG⊥AE, FM⊥BC.
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上,
FH⊥AD, FM⊥BC,
∴FM=FH,∴FG=FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要
建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等,
可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3 l2
P1
P2
P3
P4
l1
l2l3
课堂小结
角平
分线
的判
定定
理
内 容
角的内部到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上
作 用 判断一个点是否在角的平分线上
结 论 三角形的角平分线相交于内部一点
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