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  • 2021-10-26 发布

精品人教版八年级数学上册第十二章12.3角平分线的性质

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第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第1课时 1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性 质定理.(难点) 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重 点) 学习目标 问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗? 导入新课 用量角器度量,也可用折纸的方法.   问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折 的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道 理吗? A B C(E) D 其依据是SSS,两全等三角形的 对应角相等. 问题:如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器 的功能吗? A BO 做一做:请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明 作图方法与仪器的关系. 提示: (1)已知什么?求作什么? (2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器 的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相 等,怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作 图中体现这个过程呢? (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗? 尺规作角平分线 A B M C O 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基 本的尺规作图,大家 一定要掌握噢! 作法: (1)以点O为圆心,适当 长为半径画弧,交OA于 点M,交OB于点N. (2)分别以点MN为圆心,大 于 MN的长为半径画弧,两 弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所 求. 1 2 已知:平角∠AOB. 求作:平角∠AOB的角平分线. 结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. AB O C 1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作 PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三 次数据填入下表: 2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写 出结:__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 验证猜想 已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. P A O B C D E 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO= ∠PEO, ∠AOC= ∠BOC, OP= OP, ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可 以按照类似的步骤进行,即 1.明确命题中的已知和求证; 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表 示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径, 写出证明过程. 方法归纳 u 性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离. 定理的作用: 证明线段相等. u应用格式: ∵OP 是∠AOB的平分线, ∴PD = PE 推理的理由有三个, 必须写完全,不能 少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB, B A D O P E C 判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知), ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知). ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证:EB=FC. A B CD E F 证明: ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中, DE=DF, BD=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上, PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm, 则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示:存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式:如 图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°, AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示:存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式:如图,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分 ∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14. (2)求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              (3)求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2PDBS  由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4, = 1.应用角平分线性质: 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质: 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 是 . A B C D 3 E 1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足 分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 度, BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所 示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M C O A 4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E, S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 D B C EA D 解析:过点D作DF⊥AC于F, ∵AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB, ∴DF=DE=2, 解得AC=3. F 1 14 2 2 7, 2 2ABCS AC       方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高, 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法. E D CB A 6 8 10 5.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则: (1)哪条线段与DE相等?为什么? (2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周 长. 解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的 点到角两边的距离相等. (2)在Rt△CDB和Rt△EDB中, DC=DE,DB=DB, ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL), ∴BE=BC=8. ∴ AE=AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点, PE⊥AB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离. 解:过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N. ∵ AD∥BC, ∴ MN⊥BC,MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB, ∴ PM= PE. 同理, PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7 .如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC, DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF. 证明:∵CD是∠ACG的平分 线,DE⊥AC,DF⊥CG, ∴DE=DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL), ∴CE=CF. , , CD CD DE DF     课堂小结 角平分 线 尺 规 作 图 属于基本作图,必须熟练掌握 性 质 定 理 一个点:角平分线上的点; 二距离:点到角两边的距离; 两相等:两条垂线段相等 辅助线 添 加 过角平分线上一点向两 边作垂线段 第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第2课时 1.理解角平分线判定定理.(难点) 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其 解题.(重点) 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 导入新课 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述:∵ OC平分∠AOB,且PD⊥OA, PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 2.我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相 等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平 分线上呢? 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 讲授新课 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 问题:交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么 结论,这个新结论正确吗? 角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB, 且PD⊥OA, PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言: 猜想: 思考:这个结 论正确吗? 角平分线的判定 已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的角平分线上. 证明:作射线OP, ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中, (全等三角形的对应角相等). OP=OP(公共边), PD= PE(已知 ), B AD O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°, ∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL). ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 u判定定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件: (1)位置关系:点在角的内部; (2)数量关系:该点到角两边的距离相等. 定理的作用:判断点是否在角平分线上. u应用格式: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 典例精析 例1:如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路 距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建 在何处(比例尺为1︰20000)? D C S 解:作夹角的角平分线OC, 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨:根据角平分线的判定定理,要求作的点到两边的 距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这 条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你 发现了什么? 发现:三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度 尺量一量,每组垂线段,你发现了什么? 发现:过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这 个结论吗? 已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 证明结论 证明:过点P作PD,PE,PF分 别垂直于AB,BC,CA,垂足 分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线, 点P在BM上, ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想:点P在∠A的平分线上吗? 这说明三角形的三条角平分线有什 么关系? 点P在∠A的平分线上. 结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且 这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M M E N A B C PO D 变式1:如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AP平 分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作 OM⊥AC,若OM=4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示:不存在垂线段———构造应用 12 解:连接OC 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 4 32 64 2 ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM                    M E N A B C PO D 变式1:如图,在直角△ABC中,∠C=900,AP平分∠BAC, BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4. (2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积. 1.应用角平分线性质: 存在角平分线 涉及距离问题 chs 2 1  2.联系角平分线性质: 距离 面积 周长 条件 知识与方法 例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到 △ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数 为(  ) A.110° B.120° C.130° D.140° A 解析:由已知,O到三角形三边的距离 相等,所以O是内心,即三条角平分线 的交点,AO,BO,CO都是角平分线, 所以有∠CBO=∠ABO= ∠ABC, ∠BCO=∠ACO= ∠ACB, ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°, ∠OBC+∠OCB=70°, ∠BOC=180°-70°=110°. 1 21 2 由已知,O 到三角形三边的距离相等,得O是 内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的 度数. 方法总结 归纳总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 当堂练习 1. 如图,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA、OB的距离 相等,请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E, PF∥AC交BC于点F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离 与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理 由. 解:AD平分∠BAC.理由如下: ∵D到PE的距离与到PF的距离相等, ∴点D在∠EPF的平分线上. ∴∠1=∠2. 又∵PE∥AB,∴∠1=∠3. 同理,∠2=∠4. ∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC. A B CE FD ( ( ( ( 3 4 1 2 P 3.已知:如图,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB, 点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.求证:CM=CN. 证明:∵OD平分线∠POQ, ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中, ∵OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD, ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD,CN⊥BD, ∴CM=CN. 4.如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F, 求证:点F在∠DAE的平分线上. 证明:过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H, FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上,      FG⊥AE, FM⊥BC. ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上,      FH⊥AD, FM⊥BC, ∴FM=FH,∴FG=FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.    G H M A B C F E D 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. l1 l3 l2 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 课堂小结 角平 分线 的判 定定 理 内 容 角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上 作 用 判断一个点是否在角的平分线上 结 论 三角形的角平分线相交于内部一点