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- 2021-10-26 发布
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14.2.2
完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2
乘法公式
学习目标
1.
理解并掌握
完全平方
公式的推导过程、结构特点、
几何解释
.
(重点)
2.
灵活应用完全平方公式进行计算
.
(难点)
导入新课
情境引入
一块边长为
a
米的正方形实验田,
因需要将其边长增加
b
米
.
形成四块实验田,以种植不同的新品种
(
如图
).
用不同的形式表示实验田的总面积
,
并进行比较
.
直接求:总面积
=
(
a+b
)(
a+b
)
间接求:总面积
=
a
2
+
ab+ab+b
2
你发现了什么?
(
a+b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
a
a
b
b
讲授新课
完全平方公式
一
问题
1
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(
1
) (
p
+1)
2
=(
p
+1)(
p
+1)=
.
p
2
+2
p
+1
(
2
) (
m
+2)
2
=(
m
+2)(
m
+2)=
.
m
2
+4
m
+4
(
3
) (
p
-1)
2
=(
p
-1)(
p
-1)=
.
p
2
-2
p
+1
(
4
) (
m
-2)
2
=(
m
-2)(
m
-2)=
.
m
2
-4
m
+4
问题
2
根据你发现的规律,你能
写出下列式子的
答案吗?
(
a
+
b
)
2
=
.
a
2
+2
ab
+
b
2
(
a
-
b
)
2
=
.
a
2
-2
ab
+
b
2
合作探究
知识要点
完全平方公式
(
a
+
b
)
2
=
.
a
2
+2
ab
+
b
2
(
a
-
b
)
2
=
.
a
2
-2
ab
+
b
2
也就是说,
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的
2
倍
.
这两个公式叫做(乘法的)
完全平方公式
.
简记为:
“首平方,尾平方,积的
2
倍放中间”
问题
3
你能根据图
1
和图
2
中的面积说明完全平方公式吗
?
b
a
a
b
b
a
b
a
图
1
图
2
几何解释
:
a
a
b
b
=
+
+
+
a
2
ab
ab
b
2
(
a
+
b
)
2
=
.
a
2
+2
ab
+
b
2
和的完全平方公式:
a
2
−
a
b
−
b
(
a
−
b
)
=
a
2
−2
a
b
+
b
2
.
=
(
a
−
b
)
2
a
−
b
a
−
b
a
a
a
b
b
(
a
−
b
)
b
b
(
a
−
b
)
2
几何解释
:
(
a
-
b
)
2
=
.
a
2
-2
ab
+
b
2
差的完全平方公式:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-
2
ab
+
b
2
.
问题
4
观察下面两个完全平方式,比一比,回答下列问题:
1.
说一说积的次数和项数
.
2.
两个完全平方式的积有相同的项吗?与
a
,
b
有
什么关系?
3.
两个完全平方式的积中不同的是哪一项?与
a
,
b
有什么关系?它的符号与什么有关?
公式特征:
4.
公式中的字母
a
,
b
可以表示数,单项式和多项式
.
1.
积为二次三项式;
2.
积中两项为两数的平方和;
3.
另一项是两数积的
2
倍,且与
两数
中间的符号相同
.
想一想:
下面各式的计算是否正确?如果不正确
,
应当怎样改正?
(
1
)
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
y
2
(2)(
x
-
y
)
2
=
x
2
-
y
2
(3) (-
x
+
y
)
2
=
x
2
+2
xy
+
y
2
(4) (2
x
+
y
)
2
=4
x
2
+2
xy
+
y
2
×
×
×
×
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+2
xy
+
y
2
(
x
-
y
)
2
=
x
2
-2
xy
+
y
2
(-
x
+
y
)
2
=
x
2
-
2
xy
+
y
2
(2
x
+
y
)
2
=4
x
2
+
4
xy
+
y
2
典例精析
例
1
运用完全平方公式计算:
解
:
(4
m
+
n
)
2
=
=16
m
2
(1)(4
m
+
n
)
2
;
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
ab
+
b
2
(4
m
)
2
+2•(4
m
) •
n
+
n
2
+8
mn
+
n
2
;
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-
2
ab
+
b
2
y
2
=
y
2
-
y
+
解
:
=
+
-2
•
y
•
(2)
利用完全平方公式计算:
(1)(5
-
a
)
2
;
(2)(
-
3
m
-
4
n
)
2
;
(3)(
-
3
a
+
b
)
2
.
针对训练
(3)(
-
3
a
+
b
)
2
=
9
a
2
-
6
ab
+
b
2
.
解:
(1)(5
-
a
)
2
=
25
-
10
a
+
a
2
;
(2)(
-
3
m
-
4
n
)
2
=
9
m
2
+
24
mn
+
16
n
2
;
(1) 102
2
;
解:
102
2
= (100+2)
2
=10000+400+4
=10404.
(2) 99
2
.
99
2
= (100 –1)
2
=10000
-
200+1
=9801.
例
2
运用完全平方公式计算:
方法总结:
运用完全平方公式进行简便计算,要熟记完全平方公式的特征,将原式转化为能利用完全平方公式的形式.
利用乘法公式计算:
(1)98
2
-
101×99
;
(2)2016
2
-
2016×4030
+
2015
2
.
针对训练
=
(2016
-
2015)
2
=
1.
解:
(1)
原式=
(100
-
2)
2
-
(100
+
1)(100
-
1)
=
100
2
-
400
+
4
-
100
2
+
1
=-
395
;
(2)
原式=
2016
2
-
2×2016×2015
+
2015
2
例
3
已知
x
-
y
=
6
,
xy
=-
8.
求
:
(1)
x
2
+
y
2
的值;
(2)(
x
+
y
)
2
的值
.
=
36
-
16=20
;
解:
(1)∵
x
-
y
=
6
,
xy
=-
8
,
(
x
-
y
)
2
=
x
2
+
y
2
-
2
xy
,
∴
x
2
+
y
2
=
(
x
-
y
)
2
+
2
xy
(2)∵
x
2
+
y
2
=
20
,
xy
=-
8
,
∴(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
y
2
+
2
xy
=
20
-
16
=
4.
方法总结:
本题要熟练掌握完全平方公式的变式:
x
2
+
y
2
=(
x
-
y
)
2
+2
xy
=(
x
+
y
)
2
-2
xy
,
(
x
-
y
)
2
=(
x
+
y
)
2
-
4
xy
.
添括号法则
二
a
+(
b
+
c
) =
a
+
b
+
c
;
a
- (
b
+
c
) =
a
-
b
–
c
.
a
+
b
+
c
=
a
+ (
b
+
c
) ;
a
–
b
–
c
=
a
– (
b
+
c
) .
去括号
把上面两个等式的左右两边反过来,也就添括号:
添括号时
,
如果括号前面是
正
号
,
括到括号里的各项都
不变
号
;
如果括号前面是
负
号
,
括到括号里的各项都
改变
符号(简记为“
负变正不变
”)
.
知识要点
添括号法则
例
5
运用乘法公式计算
:
(1) (
x
+2
y
-3)(
x
-2
y
+3) ; (2)
(
a+b+c
)
2
.
原式
=[
x
+(2
y
–3)][
x
-(2
y
-3)]
解
:
(1)
典例精析
(2)
原式
= [(
a+b
)+
c
]
2
=
x
2
-(2
y
-3)
2
=
x
2
-(4
y
2
-12
y
+9)
=
x
2
-4
y
2
+12
y
-9.
= (
a+b
)
2
+2(
a+b
)
c
+
c
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
+2
ac
+2
bc
+
c
2
.
方法总结:
第
1
小题选用平方差公式进行计算,需要分组
.
分组方法是“符号相同的为一组,符号相反的为另一组”
.
第
2
小题要把其中两项看成一个整体,再按照完全平方公式进行计算
.
计算:
(1)(
a
-
b
+
c
)
2
;
(2)(1
-
2
x
+
y
)(1
+
2
x
-
y
)
.
针对训练
=
1
-
4
x
2
+
4
xy
-
y
2
.
解:
(1)
原式=
[(
a
-
b
)
+
c
]
2
=
(
a
-
b
)
2
+
c
2
+
2(
a
-
b
)
c
=
a
2
-
2
ab
+
b
2
+
c
2
+
2
ac
-
2
bc
;
(2)
原式=
[1
+
(
-
2
x
+
y
)][1
-
(
-
2
x
+
y
)]
=
1
2
-
(
-
2
x
+
y
)
2
当堂练习
2.
下列计算结果为
2
ab
-
a
2
-
b
2
的是
( )
A
.
(
a
-
b
)
2
B
.
(
-
a
-
b
)
2
C
.-
(
a
+
b
)
2
D
.-
(
a
-
b
)
2
1.
运用乘法公式计算
(
a
-2
)
2
的结果是( )
A.
a
2
-4
a
+4 B.
a
2
-2
a
+4
C.
a
2
-4 D.
a
2
-4
a
-4
A
D
3.
运用完全平方公式计算
:
(1) (6
a
+5
b
)
2
=_______________
;
(2) (4
x
-3
y
)
2
=_______________
;
(3) (2
m
-1)
2
=_______________
;
(4)(-2
m
-1)
2
=_______________
.
36
a
2
+60
ab
+25
b
2
16
x
2
-24
xy
+9
y
2
4
m
2
+4
m
+1
4
m
2
-4
m
+1
4.
由完全平方公式可知:
3
2
+
2×3×5
+
5
2
=
(3
+
5)
2
=
64
,运用这一方法计算:
4.321
2
+
8.642×0.679
+
0.679
2
=
________
.
25
5.
计算
(1)(3
a
+
b
-
2)(3
a
-
b
+
2)
;
(
2
)(
x
-
y
-
m
+
n
)(
x
-
y
+
m
-
n
).
(2)
原式=
[(
x
-
y
)
-
(
m
-
n
)][(
x
-
y
)
+
(
m
-
n
)]
解:
(1)
原式=
[3
a
+
(
b
-
2)][3
a
-
(
b
-
2)]
=
(3
a
)
2
-
(
b
-
2)
2
=
9
a
2
-
b
2
+
4
b
-
4.
=
(
x
-
y
)
2
-
(
m
-
n
)
2
=
x
2
-
2
xy
+
y
2
-
m
2
+
2
mn
-
n
2
.
6.
若
a+b
=5,
ab
=-6,
求
a
2
+
b
2
,
a
2
-
ab
+
b
2
.
7.
已知
x+y
=8,
x-y
=4,
求
xy
.
解:
a
2
+
b
2
=
(
a+b
)
2
-2
ab
=5
2
-2×(-6)=37
;
a
2
-
ab
+
b
2
=
a
2
+
b
2
-
ab
=37-(-6)=43.
解:
∵
x+y
=8, ∴(
x+y
)
2
=64,
即
x
2
+
y
2
+2
xy
=64①;
∵
x
-
y
=4, ∴(
x-y
)
2
=16,
即
x
2
+
y
2
-2
xy
=16②;
由
①
-②
得
4
xy
=48
∴
xy
=12.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(
a±b
)
2
=
a
2
±
2
ab+b
2
1.
项数、符号、字母及其指数
2.
不能直接应用公式进行计算的式子,可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.
弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a
2
+
b
2
=(
a+b
)
2
-2
ab
=(
a-b
)
2
+2
ab
;
4
ab
=(
a+b
)
2
-(
a-b
)
2
.
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