2020春八年级数学下册第18章函数及其图象18-5实践与探索习题课件华东师大版 35页

§18.5 实践与探索 1. 一次函数与二元一次方程 ( 组 ) 的关系 探究：二元一次方程 2x+y=3 与一次函数 y=3-2x 有何内在联系？ (1) 二元一次方程 2x+y=3 的解有 _____ 个，在直角坐标系中分别描 出以这些解为坐标的点，它们都在一次函数 _______ 的图象上 . (2) 在一次函数 y=3-2x 的图象上任取一点，它的坐标一定适合二 元一次方程 _______. (3) 以方程 2x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形与一次函数 y=3-2x 的图象 _____. 无数 y=3-2x 2x+y=3 相同 【 归纳 】 以二元一次方程 kx-y+b=0(k≠0) 的解为坐标的点组成的图形与一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象 _____ . 【 点拨 】 从 “ 数 ” 和 “ 形 ” 两个方面去看二元一次方程组： 从 “ 数 ” 的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从 “ 形 ” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 . 相同 2. 利用图象解二元一次方程组的步骤 (1) 在同一坐标系中画出两个函数的图象； (2) 由图象得出 _________ ； (3) 根据 _________ 写出二元一次方程组的解 . 3. 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可转化为 _______(a,b 是常数， a≠0) 的 形式，这个一元一次方程的解就是 y=0 时，一次函数与 __ 轴的交 点的横坐标 . 交点坐标 交点坐标 ax+b=0 x 4. 一次函数与一元一次不等式 一次函数的关系式： y=ax+b(a≠0). 一元一次不等式的形式为 ax+b>0 或 ax+b<0(a,b 是常数 ,a≠0) ， 所以一次函数图象在 x 轴上部所对应的 x 值，就是 y___ 时，一元一 次不等式 (ax+b ＞ 0) 的解集；反之，一次函数图象在 x 轴下部所 对应的 x 值，就是 y___ 时，一元一次不等式 (ax+b ＜ 0) 的解集 . >0 <0 【 预习思考 】 两个一次函数图象交点坐标的意义是什么 ? 提示： 函数图象交点坐标表示两个图象上横、纵坐标都相同的点；它也是两个一次函数的解析式组成的方程组的解 . 一次函数与方程 ( 组 ) 、不等式 ( 组 ) 【 例 1】(2011· 杭州中考 ) 点 A ， B ， C ， D 的坐标如图 , 求直线 AB 与直线 CD 的交点坐标 . 【 解题探究 】 (1) 求直线 AB 与直线 CD 的交点坐标 , 应利用 待定系数法 分别求出直线 AB 和直线 CD 的解析式 , 再组合方程组求解； (2) 由已知得 , 直线 AB 过 (0,6) , (-3,0) 两点 , 直线 CD 过 (0,1) , (2,0) 两点 , 由 待定系数法 得 , 直线 AB 方程为 y=2x+6 , 直线 CD 方程 为 (3) 组合方程组 解得 所以直线 AB,CD 的交点坐标为 (-2,2) . 【 互动探究 】 为什么两个一次函数图象的交点坐标就是由这两个一次函数解析式组成的方程组的解？ 提示： 两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数的关系式 , 它同时是这两个一次函数所对应的两个二元一次方程的解，即它是这两个方程的公共解 . 【 规律总结 】 图象法解二元一次方程组的三步骤 (1) 首先画出两个函数的图象； (2) 观察函数图象 , 找出交点的坐标； (3) 下结论 , 交点的横、纵坐标就是方程组的解 . 【 跟踪训练 】 1.(2012· 陕西中考 ) 在同一平面直角坐标系中，若一次函数 y=-x+3 与 y=3x-5 图象交于点 M ，则点 M 的坐标为 ( ) (A)(-1 ， 4) (B)(-1,2) (C)(2,-1) (D)(2,1) 【 解析 】 选 D. 把 y=-x+3 与 y=3x-5 组合成方程组为 故点 M 的坐标为 (2,1). 【 变式备选 】 如图 , 过点 Q(0,3.5) 的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 P, 能表示这个一次函数图象的方程是 ( ) (A)3x-2y+3.5=0 (B)3x-2y-3.5=0 (C)3x-2y+7=0 (D)3x+2y-7=0 【 解析 】 选 D. 由图象可知 P(1,2), 已知 Q(0,3.5), 设一次函数的关系式为 y=kx+b, 则 解得 故这个一次函数的关系式为 y=-1.5x+3.5, 即 3x+2y-7=0. 2. 如图 , 直线 y=kx+b(k ＞ 0) 与 x 轴的交点为 (-2,0), 则关于 x 的不等式 kx+b ＜ 0 的解集 是 ___________. 【 解析 】 ∵ 直线 y=kx+b(k ＞ 0) 与 x 轴的交点为 (-2,0),∴y 随 x 的增大而增大 , 当 x ＜ -2 时 ,y ＜ 0, 即 kx+b ＜ 0. 答案： x ＜ -2 【 高手支招 】 当直线 y=kx+b(k≠0) 的值小于 0, 求自变量 x 的取值范围时 , 可令 y ＜ 0, 得到一元一次不等式 kx+b ＜ 0, 解不等式即可 . 对于一次函数 y=kx+b(k≠0), 在已知函数 y 值的范围求 x 的取值时 , 也就是把问题转化成关于 x 的一元一次不等式来求解 . 3. 利用图象解不等式： (1)2x-5 ＞ -x+1,(2) 2x-5 ＜ -x+1. 【 解析 】 设 y 1 =2x-5, y 2 =-x+1, 在直角坐标系中画出这两条直线 , 如图所示 . 两条直线的交点坐标是 (2, -1) , 由图可知： (1)2x-5 ＞ -x+1 的解集是 y 1 ＞ y 2 时 x 的取值范围 , 为 x ＞ 2 ； (2)2x-5 ＜ -x+1 的解集是 y 1 ＜ y 2 时 x 的取值范围 , 为 x ＜ 2. 一次函数与方程 ( 组 ) 、不等式 ( 组 ) 的实际应用 【 例 2】(9 分 )(2012· 泉州中考 ) 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“ CNG” 的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为 b 元 . 据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费 ( 含改装费 )y 0 、 y 1 ( 单位：元 ) 与正常运营时间 x( 单位：天 ) 之间分别满足关系式 :y 0 =ax 、 y 1 =b+50x ，如图所示 . 试根据图象解决下列问题 : (1) 每辆车改装前每天的燃料费 a= _________ 元；每辆车的改装费 b= __________ 元，正常运营 _______ 天后，就可以从节省的燃料费中收 回改装成本； (2) 某出租汽车公司一次性改装了 100 辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费 40 万元 ? 【 规范解答 】 (1) 由函数图象得 ,y 0 =ax 与 y 1 =b+50x 的交点坐标为 (100,9 000) ，可得 ,a= 90 ,b= 4 000 . 答案： 90 4 000 100 ………………………………… 3 分 (2) 方法一：依题意及图象得： 100×(90-50)x =400 000+100×4 000 解得： x= 200 …………………………………………………… 8 分 答： 200 天后共节省燃料费 40 万元 . …………………………… 9 分 方法二：依题意，可得： ÷(90-50)+100= 200 ( 天 ) ……………………………… 8 分 答： 200 天后共节省燃料费 40 万元 . …………………………… 9 分 【 规律总结 】 函数的实际应用相关的三种数学思想 (1) 数形结合思想 : 函数图象性质的应用是典型的数式与图形结合的形式 , 解题方法是从图象中找出条件 , 列出关系式求解； (2) 转化思想 ( 或方程思想 ): 解决函数问题时 , 常把函数问题转化为方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) 的问题 , 使问题能够迎刃而解； (3) 分类思想 : 分类既是一种数学思想 , 也是一种数学方法 . 函数值大小的比较是常见的应用方式 : 函数图象交点即为函数值相等的界点 , 上方的函数图象的函数值大于下方的函数图象的函数值 . 【 跟踪训练 】 4. 小雨和弟弟进行百米赛跑 , 小雨比弟弟跑得快 , 如果两人同时起跑 , 小雨肯定赢 . 现在小雨让弟弟先跑若干米 , 图中 l 1 , l 2 分别表示两人的路程与小雨追赶弟弟的时间的关系 , 由图中信息可知 , 下列结论中正确的是 ( ) (A) 小雨先到达终点 (B) 弟弟的速度是 8 米 / 秒 (C) 弟弟先跑了 10 米 (D) 弟弟的速度是 10 米 / 秒 【 解析 】 选 B. 由图象可知 ,t=0 时 ,s=20, 即弟弟先跑了 20 米 ,C 错误； l 2 为弟弟的图象 , 而 t=10 时 ,s=100, 即小雨用了 10 秒钟在终点追上弟弟 ,A 错误；即弟弟在这 10 秒钟里跑了 100-20=80 米 , 所以弟弟的速度是 8 米 / 秒 ,D 错误 . 5. 如图 , l 1 反映了某公司的销售收入与销量 的关系 , l 2 反映了该公司产品的销售成本与 销量的关系 , 当该公司盈利 ( 收入＞成本 ) 时 , 销售量必须 __________. 【 解析 】 两直线交点横坐标为 4 , 在交点右边 l 1 在 l 2 上方 , 表示收入 ＞成本 , 即盈利了 , 所以当该公司盈利 ( 收入＞成本 ) 时 , 销售量必须大于 4. 答案： 大于 4 6. 如图 , 反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程 s( 千米 ) 和行驶时间 t( 小时 ) 之间的关系 , 根据所给图象 , 解答下列问题 : (1) 写出甲的行驶路程 s 和行驶时间 t(t≥0) 之间的函数关系式 . (2) 在哪一段时间内 , 甲的行驶速度 小于乙的行驶速度；在哪一段时间 内 , 甲的行驶速度大于乙的行驶速度 . (3) 从图象中你还能获得什么信息 ? 请写出其中的一条 . 【 解析 】 (1) 甲的图象是过原点和 (3,60) 两点的直线，是正比例函数 , 设函数为 s=kt, 把点 (3,60) 代入得 k=20, 所以 s=20t. (2) 直接从图象上可知 : 在 0 ＜ t ＜ 1 时 , 甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在 t ＞ 1 时 , 甲的行驶速度大于乙的行驶速度 . (3) 只要说法合乎情理即可 . 如当出发 3 小时时甲乙相遇等 . 1. 如图 , 直线 y 1 =k 1 x+a 与 y 2 =k 2 x+b 的交点 坐标为 (1,2), 则使 y 1 ＜ y 2 的 x 的取值范围 为 ( ) (A)x ＞ 1 (B)x ＞ 2 (C)x ＜ 1 (D)x ＜ 2 【 解析 】 选 C. 由图象可知 , 当 x ＜ 1 时 , 直线 y 1 落在直线 y 2 的下方 , 故使 y 1 ＜ y 2 的 x 的取值范围是 x ＜ 1. 2. 如图 , 直线 y=kx+b(k ＜ 0) 与 x 轴交于 点 (3,0), 关于 x 的不等式 kx+b ＞ 0 的解 集是 ( ) (A)x ＜ 3 (B)x ＞ 3 (C)x ＞ 0 (D)x ＜ 0 【 解析 】 选 A. 读图 : 当 x ＞ 3 时 , 函数图象在 x 轴的下方 , 即 y ＜ 0 ；当 x ＜ 3 时 , 函数图象在 x 轴的上方 , 即 y ＞ 0 ；因而关于 x 的不等式 kx+b ＞ 0 的解集是 x ＜ 3. 3.(2012· 威海中考 ) 如图，直线 l 1 , l 2 交于点 A. 观察图象，点 A 的坐标可以看作方程组 ___________ 的解 . 【 解析 】 设直线 l 1 , l 2 的 关系式分别为 y 1 =k 1 x+b 1 与 y 2 =k 2 x+b 2 . 由图 象可得 解得 所以方程组为 答案： 4. 某公司销售人员的工资为底薪加提成，个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，图象如图所示，则销售人员的底薪是 __________ 元 . 【 解析 】 设一次函数关系式为 y=kx+b(k≠0), 将 (1,800),(2,1 100) 代入 , 得 ∴此函数关系式为 y=300x+500. 当 x=0 时 ,y=500. 答案： 500 5. 我国西南五省市的部分地区发生严重 旱灾 , 为鼓励节约用水 , 某市自来水公司 采取分段收费标准 , 如图反映的是每月 收取水费 y( 元 ) 与用水量 x( 吨 ) 之间的函数关系 . (1) 小明家五月份用水 8 吨 , 应交水费 __________ 元； (2) 按上述分段收费标准 , 小明家三、四月份分别交水费 26 元和 18 元 , 问四月份比三月份节约用水多少吨？ 【 解析 】 (1) 当 0≤x≤10 时，设直线关系式为 y=k 1 x, 把 (10,20) 代入得 k 1 =2, 即 y=2x(0≤x≤10), ∴ 当 x=8 时 ,y=16. (2) 方法一： 由图可得，用水量为 10 吨内每吨 2 元 ,10 吨以上每吨 ( 元 ) ， 三月份交水费 26 元 >20 元 . 所以用水： ( 吨 ) ， 四月份交水费 18 元 <20 元 , 所以用水： 18÷2=9( 吨 ) ， ∴四月份比三月份节约用水： 12-9=3 ( 吨 ). 方法二： 由图可得， 10 吨内每吨 2 元 , 当 y=18 时 , 知 x<10, ∴ 当 x≥10 时 , 可设 y 与 x 的关系式为 y=k 2 x+b(k≠0), 由图可知 , 当 x=10 时 ,y=20 ； x=20 时 y=50, 可解得 k=3,b=-10 ，即 y=3x-10(10≤x) ， ∴ 当 y=26 时 , 知 x>10 , 有 26=3x-10, 解得 x=12, 四月份比三月份节约用水： 12-9=3 ( 吨 ).