八年级数学上册第二章实数2.1认识无理数说课稿（北师大版） 7页

‎2.1《认识无理数》说课稿 ‎ 一、说教材 ‎ 1、教材的地位与作用：人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，学生在七年级上学期有了一次“数不够用了”的经历，从而使数的范围扩大到了有理数。本节在上一章勾股定理及有理数的基础上再一次让学生感受“数怎么又不够用了”从而引入新数“无理数”将数的范围扩大到实数。本节课是北师大版八年级数学第二章实数的第一节“认识无理数”，本节课通过各种丰富多彩的数学活动，让学生体会无理数产生的背景，以及无理数存在的必要性和合理性，同时借助计算器探索无理数是无限不循环小数，从中体会无限逼近的思想。本节课上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。‎ ‎ 2、教材的处理：立足教材，又不局限于教材，依据学情对教材进行有机整合。‎ ‎ 二、说学情 八年级的学生已经积累了一些数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，学生理解起来会有些困难。因此，在教学中要通过丰富多彩的数学活动，逐步渗透和加强。‎ ‎ 三、说教学目标 ‎ 根据对教材和学情的分析，及《数学课程标准》知识与技能、过程与方法、情感与态度等方面对该部分的要求，确定本节课的教学目标如下：‎ ‎ 1、让学生亲自动手做拼图活动以及勾股定理的应用，让学生感受无理数产生的实际背景，以及无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.‎ ‎ 2、经历探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别的过程，会判断一个数是有理数还是无理数..‎ ‎ 3、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.‎ ‎ 4、通过了解有关无理数发现的历史，培养他们为真理而奋斗的献身精神。‎ ‎ 5、理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。‎ ‎ 6、充分调动学生的积极性，培养他们的勇于探索、独立思考以及合作精神，提高他们的辨识能力以及有条理的表达能力.‎ ‎ 四、说教学重、难点 ‎ 教学重点：1、让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.‎ ‎ 2、无理数概念的探索过程 ‎ 3、会判断一个数是否为无理数.‎ ‎ 教学难点：1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.‎ ‎ 2、用计算器进行无理数的估算。 ‎ ‎ 3、 判断一个数是否为无理数.‎ 7‎ ‎ 难点成因诊断及突破策略：把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形需要学生创造性思维，一些学生可能有些困难，在教学中可以多给学生交流和展示的时空，让学生感受数学的奇妙。用计算器进行无理数的估算，这种方法学生以前没有接触过，所以有些困难，需要教师适当引导。另外，无理数的概念比较抽象，不象有理数那样，直观易懂，学生理解起来会有些困难，需要教师在教学中不断渗透，和反复训练。‎ ‎ 五、说策略与方法 ‎ 学数学不能只是模仿和记忆，需要学生动手做一制、算一算，与别人议一议，本节课以活动为主线，通过丰富多彩的数学活动，以及各种问题串的形式让学生经历无理数的发现过程，体会理数存在的必要性和合理性，同时经历无理数概念的生成过程。教师在教学中注重引导，引导学生对新知识领悟和生成。另外利用多媒体辅助教学，让数学课堂变得有声有色。‎ ‎ 六、说教具准备 ‎ 让学生准备两个边长为1的正方形，一把剪刀还有一个计算器。‎ ‎ 七、说教学过程 ‎ 一、情境导入 ‎ 师：同学们,你们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来你们都学过哪些数呢?‎ ‎ 生：在小学我们学过自然数、小数、分数.‎ ‎ 生：在初一我们还学过负数.‎ ‎ 师：对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？有没有一类数既不是整数也不是分数呢？下面我们就来共同研究这个问题.‎ ‎ 【设计意图】通过对数的回忆一方面复习有理数的有关概念，为后面的学习提供知识上的储备，另一方面让学生体会到人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，为数系的再扩充提供依据。‎ ‎ 二、探究新知 ‎ （一）概念的引入 ‎ 活动探究一. 剪一剪拼一拼想一想 ‎ 问题提出：有两个边为1的小正方形，如何通过剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形？‎ 动手操作： 请同学们利用我们课前准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，亲自动手剪一剪，拼一拼，看谁先得到一个大正方形。‎ ‎ 小组交流和展示：有几种不同的方法得到打正方形？让学生分别展示。如果学生展示的不全，教师用多媒体进行补充展示。‎ 7‎ 思考与交流：‎ ‎（1）拼成的大正方形面积是多少？‎ ‎（2）你能求出大正方形的边长吗？如果设大正方形的边长为，则满足什么条件？‎ ‎（3）可能是整数吗？如果不是它介于那两个整数之间？为什么？‎ ‎（4）可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。‎ ‎（5）是有理数吗？说说你的理由，并与同伴交流。‎ ‎ 效果预测及难点突破策略：对于问题（1）学生不难得出结论，对于问题（2）学生也容易得出满足的条件=2但大正方形的边长却求不出来，从而引发学生思维冲突。对于问题（3）显然不是整数，通过计算，而=2显然1<<2，很容易得到介于1和2之间。问题（4）是个难点，学生不能确定不是分数，但是又找不出一个分数使它的平方为2，对于这个问题教师可以适当引导，指出所有分数的平方一定都是分数，从而确定不是一个分数。解决了前面四个问题，最后一个问题就水到渠成了，既不是整数也不是分数当然不会是有理数了，这个问题可以放给中下游的学生回答，进一步明确有理数的概念。‎ 活动探究二 究竟有多大 接下来师生一起利用计算器探究这个神秘的数究竟有多大 从活动一可知1<<2，也就是说的整数部分是1，即=1.…再进一步研究的范围，它的十分位数是几？百分位是几？千分位呢？……借助计算器探索。‎ ‎1、由于1.42=1.96 1.52=2.25 1.42<<1.52 所以 1.4<<1.5，大家想一想的十分位是几？‎ ‎ 继续探索，1.412=1.9881 1.422=2.0164 1.412<<1.422 所以 1.41<<1.42 那么的百分位是几？‎ ‎ 2、利用上面的方法，请同学们自己有计算器探索的千分位、万分位和十万分位分别是多少？ ‎ ‎ 3、还可以继续探索下去吗？随着数位的增多，我们探索的数与真正的数有怎样的关系？（引导学生体会无限逼近，却不相等的数学思想）‎ ‎ 4、从我们探究的结果看数是个有限小数吗？它的小数位循环吗？（引导学生得出 7‎ 是个无限不循环的小数，可利用多媒体展示=1.414213562373095048801688724209……数位越多越好，让学生真切直观地感受到无限不循环小数的意义）‎ ‎（二）概念的生成 探究活动三 把下列各数表示成小数，你发现了什么？‎ ‎3，。‎ 学生板演结果，并引导学生观察，最后得出结论：有理数总可以用有限小数或无限循化小数表示，反过来任何有限小数和无限循环小数也都是有理数（教学中还可以让学生随意说出任意一个数进行验证）。‎ 那么，像我们上面探究的那个神秘的无限不循环的小数又是什么数呢？‎ 引出无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。‎ 同学们，无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。同学们请看下面的例子。‎ ‎ 探究活动四（利用多媒体出示以下问题，给学生10分钟时间思考与交流的时间）‎ ‎（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？‎ ‎（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？‎ ‎（3）b是有理数吗？为什么？‎ ‎（4）请估计一下边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。‎ ‎（5）结果精确到，百分位、千分位、万分位……呢？它是一个无理数吗？为什么？‎ ‎（6）你能设计一个图形，使其某一边的边长是一个无限不循环小数即无理数吗？‎ ‎ 设计意图及效果预测：勾股定理学生不陌生，又有了前面活动的经验，因此前五个问题学生不难回答。问题（6）是在教材基础上加入的一个新问题，问题（6）是一个开放性问题，通过学生的尝试、思考、判断不仅让学生体会到了这类新数存在的合理性和必然性，还有助于培养学生的创新思维，是这节课的一个亮点。但由于（6）对学生的思维要求较高，一部分学生可能有些困难，所以要给学生充分的思考交流的空间，同时让学生学会有条理的表达自己的思想和观点，必要时引导学生，像一些直角三角形的边长，面积为3、5、6等的正方形的边长，体积为2、3、4、5等的正方体的棱长都是无理数等等。‎ 7‎ 师总结：无理数的发现是数学史上的一个大的进步，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，让人感到迷惑，其实当初发现这一问题的时候数学家们也很迷惑甚至惶恐，甚至有人为此献出了宝贵的生命，大家想知道怎么回事吗？请看下面的一个悲剧的数学史话。（设计意图：总结梳理，同时承上启下。）‎ 数学家希伯索斯的悲剧人生（利用多媒体呈现数学史话）‎ 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比（分数）”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的惶恐，为此希伯索斯被投进了大海。他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.并进一步给出了证明。‎ 该环节通过了解无理数产生的历史背景，进一步理解无理数存在的合理性和必然性，也让学生体会真理是不可战胜的，要有为真理而献身的勇气。‎ ‎（三）概念的辨析 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？‎ ‎－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，圆周率π ，3.14，0‎ ‎ 设计意图及效果预测：到这里，学生虽然知道了什么是无理数，但对无理数的概念的认识模糊的，需要进一步在习题中甄别和强化。例题中肯定有一部分学生会出错，比如圆周率π和3.14以及0等学生极易错判，出了错师生要一起分析讨论和纠正。最终要让学生明白以下几点：‎ ‎(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.‎ ‎(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.‎ ‎(3)圆周率π是也是个无限不循环小数，因此它是个无理数，但3.14是个有限的小数是圆周率π的近似值，它是个有理数，要注意它们的区别。‎ ‎ （四）概念的深化 ‎ 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段 7‎ ‎ 设计意图以及效果预测：这是一道开放性的动手操作题，学生在尝试、思考、判断的过程中会对有理数和物理书的概念有个梳理和再认识，深化了概念，同时开放性习题因其答案的不确定性以及挑战性很受学生喜欢，教师应鼓励学生大胆尝试，这个问题会把课堂再次推向高潮。‎ ‎ （五）巩固练习 ‎ 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？它是有理数吗？它是无理数吗？试用计算器算出他的近似值结果精确到千分位。‎ ‎ 2、长宽分别是3、2的长方形，它的对角线是无理数吗？为什么？试用计算器算出他的近似值结果精确到万分位。‎ ‎ 设计意图：能正确判断一个数是否为无理数，是本节的重点也是难点需要反复训练，同时也让学生进一步感知无理数存在的实际背景以及引入的必要性。‎ ‎ （六） 课堂小结 ‎ 让学生谈本节课的收获与感悟，教师要引导学生梳理本节重要的知识和方法，以及活动过程中体现的无限逼近的数学思想 。 ‎ ‎ ‎ ‎ 课例评析：‎ ‎ 本节课的教学设计有以下几个鲜明特点 ‎ ‎ 1、以活动为主线 ，让学生在做中学。‎ ‎ 《课程标准》特别指出数学教学是数学活动的教学，学生要在老师的指导下积极主动的掌握数学知识技能，发展能力。本节课以活动为主线，让学生在做中学。比如，课堂首先通过拼图游戏，得到一个数 7‎ ‎，通过探究发现数a既不是整数也不是分数，那么它又是怎样的数呢？引发学生思维冲突，这一活动不仅为无理数概念的提出，设置了鲜活的生活背景，同时也为下一个探究活动“ 究竟有多大”，埋下了伏笔，使课堂流畅自然。活动三是在前面两个活动的基础上探究无理数的概念，活动四则是无理数概念的巩固和应用。整个活动过程，学生都是在教师引导下经历操作、探究、思考、讨论等过程，体现了以活动为中心，注重让学生在做中学的教学思路。‎ ‎ 2、层层递进、环环相扣，体现了数学概念的形成与应用过程。‎ ‎ 这是一节概念教学课，本节课的设计遵循“概念的提出——概念的生成——概念的辨析——概念的深化与应用”的教学模式，且各环节环环相扣、层层深入，使学生对概念有了一个清晰、全面、完整的认识，同时也可以培养学生良好的思维习惯和用数学的意识。‎ ‎ 3、内容的呈现体现了层次性、趣味性、开放性、挑战性。‎ 课堂的每一环节都提供了丰富的、有趣的、具有挑战性的活动情境，引导学生观察、思考、辨别、总结、归纳、猜想等，经历了数学概念的生成过程，也提升了学生的数学思维。比如活动一的拼图，活动二的探究，相对于八年级的学生来说都具有趣味性和挑战性。本节课每一个探究活动又都是以问题串的形式，由易到难，层层递进，充分体现了层次性、开放性与挑战性，让学生深入其中，欲罢不能。‎ 4、 教材处理得当，立足教材，又不局限于教材，体现了创新的理念。‎ 比如探究活动四在教材提出的三个问题后，有提出了三个问题，其中问题（4）和（5）是对探究活动二的巩固和深化，问题（6）设计一个开放性的题目，通过对这个问题的探索，学生会对无理数产生的背景的广泛性有一个更深的认识，同时也培养了学生的创性思维。纵观本节课的设计，很多地方都体现了创新性的理念。‎ 5、 强化了知识间的内在联系。‎ ‎ 人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，本节课立足学生已有的知识背景（有理数）和活动经验，通过丰富多彩的活动，让学生经历了从有理数到无理数的数系扩充过程。无理数概念比较抽象，学生不易理解，教师在课堂设计的时候让学生充分体会了无理数与整数、分数及有理数概念的内在联系。其中概念辨析环节又对学生易错、易混淆的地方进行了辨析和强化，起到了很好的效果。 ‎ 7‎