2020八年级数学上册第13章全等三角形自我综合评价（新版）华东师大版 10页

第13章　全等三角形　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)‎ ‎1．已知△ABC≌△FED，若∠E＝37°，∠C＝100°，则∠A的度数是(　　)‎ A．100° B．80° C．43° D．37°‎ ‎2．若等腰三角形有一个角为45°，则这个三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形或等腰直角三角形 ‎3．如图3－Z－1，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于(　　)‎ 图3－Z－1‎ A．50° B．40° C．25° D．20°‎ ‎4．如图3－Z－2，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，‎ 10‎ 大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为(　　)‎ ‎　　　‎ 图3－Z－2‎ A．65° B．60° C．55° D．45°‎ ‎5．如图3－Z－3，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(　　)‎ 图3－Z－3‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎6．同学们都玩过跷跷板游戏，图3－Z－4是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB，当跷跷板的一头A着地时，∠OAC＝25°；则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于(　　)‎ ‎　‎ 图3－Z－4‎ A．25° B．50° C．60° D．130°‎ 图3－Z－5‎ ‎7．如图3－Z－5，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BCDA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为多少时，△ABP和△DCE全等(　　)‎ 10‎ A．1 B．1或3‎ C．1或7 D．3或7‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)‎ ‎8．如图3－Z－6，已知△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的一个适当的条件是________(只填一个即可)．‎ 图3－Z－6‎ ‎9．如图3－Z－7，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是________．‎ ‎　　‎ 图3－Z－7‎ ‎10．如图3－Z－8，在四边形ABCD中，AD∥BC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点H，由作图过程可得到△ABH的形状是________．‎ 图3－Z－8‎ ‎11.如图3－Z－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝‎2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝‎5 cm，则AE＝________cm.‎ ‎　　　‎ 10‎ 图3－Z－9‎ ‎12．如图3－Z－10，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF，FG，GH，…，且OE＝EF＝FG＝GH＝…，在OA，OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为________．‎ 图3－Z－10‎ 三、解答题(本大题共4小题，共52分)‎ ‎13．(10分)如图3－Z－11，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF.‎ 求证：AB＝DE.‎ 图3－Z－11‎ ‎14．(12分)如图3－Z－12，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.‎ 图3－Z－12‎ 10‎ ‎15．(14分)如图3－Z－13，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连结BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F.猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等，请加以证明．‎ 图3－Z－13‎ ‎16．(16分)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．‎ 已知：如图3－Z－14，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.‎ 求证：AB＝CD.‎ 10‎ 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们所在的两个三角形也不全等．因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．‎ 现给出如下两种添加辅助线的方法，请对原题进行证明．‎ ‎(1)如图3－Z－15①，延长DE到点F，使得EF＝DE.‎ ‎(2)如图②，作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F.‎ 图3－Z－14‎ 图3－Z－15‎ 10‎ 详解详析 ‎1．C　2.D ‎3．[解析] C　∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB，∴∠OMA＝∠OMB＝∠AMB.‎ ‎∵∠OMA＝90°－25°＝65°，‎ ‎∴∠OMA＝∠OMB＝65°，∴∠AMB＝130°，‎ ‎∴∠MAB＝×(180°－130°)＝25°.故选C.‎ ‎4．[解析] A　由题意可得MN是AC的垂直平分线，‎ 则AD＝DC，故∠C＝∠DAC.‎ ‎∵∠C＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝30°.‎ ‎∵∠B＝55°，‎ ‎∴∠BAC＝95°，‎ ‎∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝65°.‎ 故选A.‎ ‎5．[解析] C　∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD.‎ ‎∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，‎ ‎∴∠ABD＝∠BDE，∴BE＝DE，‎ ‎∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD.‎ ‎∵AB＝3，AD＝1，‎ ‎∴△AED的周长＝3＋1＝4.故选C.‎ ‎6．B 10‎ ‎7．[解析] C　分两种情况进行讨论：①若点P在BC边上，此时BP＝CE＝2，又因为∠ABP＝∠DCE＝90°，AB＝CD，根据“S.A.S.”可证得△ABP≌△DCE，由题意得BP＝2t＝2，所以t＝1；②若点P在AD边上，此时AP＝CE＝2，根据“S.A.S.”可证得△BAP≌△DCE，由题意得AP＝16－2t＝2，解得t＝7.综上，当t的值为1或7时，△ABP和△DCE全等．故选C.‎ ‎8．答案不唯一，如BD＝CE或∠BAD＝∠CAE等 ‎9．[答案] 15‎ ‎[解析] ∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长是AB＋DB＋DA＝AB＋DC＋DA＝AB＋AC＝6＋9＝15.‎ ‎10．等腰三角形 ‎11．[答案] 3‎ ‎[解析] ∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠ACD.‎ ‎∵EF⊥AC，‎ ‎∴∠FEC＝∠ACB＝90°.‎ 又∵BC＝CE，‎ ‎∴△ACB≌△FEC，‎ ‎∴EF＝AC.‎ ‎∵BC＝‎2 cm，EF＝‎5 cm，‎ ‎∴AE＝AC－EC＝EF－BC＝5－2＝3(cm)．‎ ‎12．[答案] 8‎ ‎[解析] ∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，‎ ‎∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个等腰三角形的底角是20°，第三个等腰三角形的底角是30°，第四个等腰三角形的底角是40°，第五个等腰三角形的底角是50°，第六个等腰三角形的底角是60°，第七个等腰三角形的底角是70°，第八个等腰三角形的底角是80°，第九个等腰三角形的底角是90°就不存在了．所以一共可添加8根钢管．‎ 10‎ ‎13．证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.‎ ‎∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，‎ 即AC＝DF.‎ 在△ABC与△DEF中，‎ ‎∵∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，‎ ‎∴△ABC≌△DEF，‎ ‎∴AB＝DE.‎ ‎14．证明：∵BD为∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD.‎ 在△ABD和△CBD中，‎ ‎∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，‎ ‎∴△ABD≌△CBD(S.A.S.)，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB.‎ ‎∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，‎ ‎∴PM＝PN.‎ ‎15．[解析] 由题意可得BE＝BC，∠AEB＝∠FBC，易证明Rt△ABE与Rt△FCB全等，即可得BF＝AE.‎ 解：猜想：BF＝AE.‎ 证明：∵CF⊥BE，‎ ‎∴∠BFC＝90°.‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB＝∠FBC.‎ ‎∵E，C在以点B为圆心，BC长为半径的弧上，‎ ‎∴BE＝BC.‎ 在△ABE与△FCB中，‎ 10‎ ‎∵∠AEB＝∠FBC，∠BAE＝∠CFB＝90°，BE＝BC，‎ ‎∴△ABE≌△FCB(A.A.S.)，∴BF＝AE.‎ ‎16．证明：(1)在△DEC和△FEB中，‎ ‎∵DE＝FE，∠DEC＝∠FEB，BE＝CE，‎ ‎∴△DEC≌△FEB，∴∠D＝∠F，DC＝FB.‎ ‎∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F，‎ ‎∴AB＝FB，∴AB＝CD.‎ ‎(2)∵CG⊥DE，BF⊥DE，‎ ‎∴∠CGE＝∠BFE＝90°.‎ 在△CGE和△BFE中，‎ ‎∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，‎ ‎∴△CGE≌△BFE，∴BF＝CG.‎ 在△ABF和△DCG中，‎ ‎∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，‎ ‎∴△ABF≌△DCG，∴AB＝CD.‎ 10‎