2020八年级数学下册 专题突破讲练 平方根与立方根的综合应用试题 （新版）青岛版 6页

平方根与立方根的综合运用 平方根和立方根的区别与联系：‎ 平方根 立方根 定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。其中正数a的正的平方根称算术平方根。‎ 如果一个数的立方等于a，那么这个数就称为a的立方根，例如：x的立方＝a，x就是a的立方根。‎ 性质 ‎（1）正数的平方根都有两个，它们互为相反数。‎ ‎（2）0的平方根是它本身。‎ ‎（3）负数没有平方根。‎ ‎（1）任何数都有立方根，且都只有一个立方根。‎ ‎（2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。‎ 个数 有2个，并且互为相反数（0的只有一个）。‎ 只有唯一一个 取值范围 非负数 所有实数 表示方法 记为“”读作“根号a”，其中叫被开方数，2叫根指数，通常省略不写。例如：±表示9的平方根，表示是9的算术平方根。‎ 记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根。‎ 运算方式 开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过平方来检验。‎ 开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过立方来检验。‎ 例题1 的立方根是（　　）‎ A. －8 B. －‎4 ‎ C. －2 D. 不存在 解析：先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义进行计算。‎ 答案：解：∵－＝－8，‎ ‎∴－的立方根是－2。‎ 故选C。‎ 点拨：本题考查了立方根的定义、算术平方根的定义，先化简－是解题的关键。‎ 例题2 （高淳一模）在①2的平方根是；②2的平方根是±；③2的立方根是；④2的立方根是±中，正确的结论有几个（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6‎ 解析：根据立方根、平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案。‎ 答案：解：∵2的平方根是±，2的立方根是，‎ ‎∴②③正确，①④错误；‎ ‎∴正确的结论有2个。‎ 故选B。‎ 点拨：此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质。注意熟记定义是解此题的关键。‎ 满分训练 判断下列各式是否正确成立。‎ ‎（1）＝2‎ ‎（2）＝3•‎ ‎（3）＝4‎ ‎（4）＝5‎ 判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。‎ 解析：经过对上述式子的计算，可得出式子均正确，故可得出结论为 ‎＝n。‎ 答案：解：能。‎ 由已知 ‎（1）＝2‎ ‎（2）＝3•‎ ‎（3）＝4‎ ‎（4）＝5‎ 经观察发现，上述的等式均满足这样的规律：‎ ‎＝n，‎ 故推广后可得＝n。‎ 点拨：本题要求学生具有一定的观察能力和总结规律的能力。‎ ‎1. 如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（　　）‎ A. ±1 B. ‎0 ‎ C. 1 D. 0和1‎ ‎2. 如果是数a的立方根，－是b的一个平方根，则a10×（－b）9等于（　　）‎ 6‎ A. 2 B. －‎2 ‎ C. 1 D. 1‎ ‎3. 要使，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. 任意数 ‎4. 下列说法：（1）1的平方根是1；（2）－1的平方根是－1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根。其中正确的有（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎5.（黄冈）下列说法中正确的是（　　）‎ A. 是一个无理数 B. 函数的自变量x的取值范围是x＞1‎ C. 8的立方根是±2‎ D. 若点P（－2，a）和点Q（b，－3）关于x轴对称，则a＋b的值为5‎ ‎6. 一个自然数a的算术平方根为x，则a＋1的立方根是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为____________。‎ ‎8. 已知x＝是M的立方根，是x的相反数，且M＝‎3a－7，那么x的平方根是______。‎ ‎9. 的平方根是____________；（－5）2的算术平方根是____________。‎ ‎10. 一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，求这个数。‎ ‎11. 已知：x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根。‎ ‎12. 王老师有两个棱长为‎40cm的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少？想想看。（结果精确到‎0.01cm）‎ 6‎ ‎1. B 解析：根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0。所以，0的平方根和立方根相同。故选B。‎ ‎2. B 解析：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入所求代数式中计算即可求解。由题意得，a＝－2，b＝‎ 所以a10×（－b）9＝（－2）10×（－）9＝－2‎ ‎3. C 解析：此题主要考查开立方。求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的符号相同。由立方根的定义可知，此时根式的值应为4－a，再由题意可得a－4＝4－a，由此即可求出a的值。故选C。‎ ‎4. B 解析：此题主要考查了平方根的定义，注意：一个非负数的平方根有两个，一正一负。正值为算术平方根。‎ ‎（1）根据平方根的定义即可判定；1的平方根是±1，故说法错误；‎ ‎（2）根据平方根的定义即可判定；－1的平方根是－1，负数没有平方根，故说法错误；‎ ‎（3）根据平方根的定义即可判定；0的平方根是0，故说法正确；‎ ‎（4）根据平方根的定义即可判定；1是1的平方根，故说法正确；‎ ‎（5）利用立方根的定义分析即可判定。只有正数才有立方根，不对，负数也有立方根，故说法错误。‎ 故选B。‎ ‎5. B 解析：判断一个数是否是无理数，应先化简后判断；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不等于0；掌握立方根的性质和关于x轴对称的两点的坐标之间的关系。‎ A. ＝2，是一个有理数，故A错误；‎ C. 正数有一个正的立方根，故C错误；‎ D. 两点若关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，得a＝3，b＝－2，则a＋b＝1，故D错误；‎ B. 根据二次根式和分式有意义的条件得x＞1，故B正确；‎ 故选B。‎ ‎6. D 解析：此题考查了立方根及算术平方根的知识，关键是根据这个数的算术平方根表示出这个数，难度一般。根据这个数的算术平方根可得出这个数a，继而可得出下一个a＋1的立方根。‎ 由题意得这个数为：x2，‎ 故a＋1为：x2＋1，a＋1的立方根为：，‎ 故选D。‎ ‎7. 4 解析：此题主要考查了立方根、平方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。‎ ‎∵（±8）2＝64，‎ ‎∴64的立方根为4。‎ 6‎ 故答案：4。‎ ‎8. ± 解析：由于x＝是M的立方根，所以a＋b＝3 ①，而是x的相反数，所以M＝－（b－6），而M＝‎3a－7，代入M＝－（b－6），得‎3a－7＝－（b－6）②，联立①②解方程组即可求出a、b，然后就可以求出x的平方根。‎ ‎∵x＝是M的立方根，‎ ‎∴a＋b＝3 ①，‎ 而是x的相反数，‎ ‎∴M＝－（b－6），‎ 而M＝‎3a－7，代入M＝－（b－6），‎ 得‎3a－7＝－（b－6）②，‎ 联立①②得：‎ 解之得：，‎ ‎∴M＝‎3a－7＝8，‎ ‎∴x＝＝2，‎ ‎∴x的平方根是±。‎ 故答案为：±‎ ‎9. ±，5 解析：根据立方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可求解；‎ 先求出（－5）2的值是25，再根据算术平方根的定义进行计算。‎ ‎∵73＝343，‎ ‎∴＝7，‎ ‎∴的平方根是±；‎ ‎∵（－5）2＝25，又52＝25，‎ ‎∴（－5）2的算术平方根是5。‎ 故答案为：±，5。‎ ‎10. 0或64 解：设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可。‎ 设这个数为x，‎ 则，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴，‎ ‎。‎ 故这个数是0或64。‎ ‎11. x2＋y2的算术平方根为10 解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可。‎ 解：∵x－2的平方根是±2，‎ ‎∴x－2＝4，‎ ‎∴x＝6，‎ 6‎ ‎∵2x＋y＋7的立方根是3‎ ‎∴2x＋y＋7＝27‎ 把x的值代入解得：‎ y＝8，‎ ‎∴x2＋y2的算术平方根为10。‎ ‎12. ‎50.40‎cm‎ 解析：此题主要考查了立方根的定义。解此题的关键是要理解改变前后体积不变，还应掌握正方体的体积公式。由于新制的正方体木箱的体积＝2个原来的正方体木箱的体积，根据正方体的体积公式可以列出方程求解即可。‎ 解：设这个木箱的棱长为xcm。‎ 依题意得 x3＝2×403，解得。‎ 答：这个木箱的棱长大约是‎50.40cm。‎ 6‎