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- 2021-10-27 发布
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第十二章
全等三角形
12.3角平分线的性质
第1课时
1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性
质定理.(难点)
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重
点)
学习目标
问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗?
导入新课
用量角器度量,也可用折纸的方法.
问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折
的方法得到木板、钢板的角平分线吗?
问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道
理吗? A
B
C(E)
D
其依据是SSS,两全等三角形的
对应角相等.
问题:如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器
的功能吗?
A
BO
做一做:请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明
作图方法与仪器的关系.
提示:
(1)已知什么?求作什么?
(2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器
的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相
等,怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作
图中体现这个过程呢?
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗?
尺规作角平分线
A
B
M
C
O
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基
本的尺规作图,大家
一定要掌握噢!
作法:
(1)以点O为圆心,适当
长为半径画弧,交OA于
点M,交OB于点N.
(2)分别以点MN为圆心,大
于 MN的长为半径画弧,两
弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所
求.
1
2
已知:平角∠AOB.
求作:平角∠AOB的角平分线.
结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
AB O
C
1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作
PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三
次数据填入下表:
2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写
出结:__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O B
A
PD=PE
p
D
E
实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
验证猜想
已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.
P
A
O B
C
D
E
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO= ∠PEO,
∠AOC= ∠BOC,
OP= OP,
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可
以按照类似的步骤进行,即
1.明确命题中的已知和求证;
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表
示已知和求证;
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,
写出证明过程.
方法归纳
u 性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件:
(1)角的平分线;
(2)点在该平分线上;
(3)垂直距离.
定理的作用: 证明线段相等.
u应用格式:
∵OP 是∠AOB的平分线,
∴PD = PE
推理的理由有三个,
必须写完全,不能
少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB,
B
AD
O P
E
C
判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知),
∴ = ,
( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A D
C
(2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知).
∴ = ,
( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A D
C
例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证:EB=FC. A
B CD
E F
证明: ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB,
DF⊥AC,
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,
DE=DF,
BD=CD,
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典例精析
例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,
PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,
则PE=______cm. B
A C
P
M
D
E
4
温馨提示:存在两条垂线段———直接应用
典例精析
A
B
C
P
变式:如 图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,
AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示:存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式:如图,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分
∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14.
(2)求△APB的面积.
D
14
PDBC PD PB DB
PC PB DB
BC DB AD DB
AB
(3)求∆PDB的周长.
·AB·PD=28.
1
2PDBS
由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4,
=
1.应用角平分线性质:
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质:
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性
质所得到的等量关
系进行转化求解
当堂练习
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
是 .
A B
C
D
3
E
1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足
分别是E,F, DE =DF, ∠EDB=
60°,则 ∠EBF= 度,
BE= .
60
BF
E
B D
F
A
C
G
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所
示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
C
O
A
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,
S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
D
B
C
EA
D
解析:过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,
∴DF=DE=2,
解得AC=3.
F
1 14 2 2 7,2 2ABCS AC
方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,
再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
E
D
CB
A
6
8
10
5.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:
(1)哪条线段与DE相等?为什么?
(2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周
长.
解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的
点到角两边的距离相等.
(2)在Rt△CDB和Rt△EDB中,
DC=DE,DB=DB,
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL),
∴BE=BC=8.
∴ AE=AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
6.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点,
PE⊥AB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离.
解:过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N.
∵ AD∥BC,
∴ MN⊥BC,MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB,
∴ PM= PE.
同理, PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
7.如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,
DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
证明:∵CD是∠ACG的平分
线,DE⊥AC,DF⊥CG,
∴DE=DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),
∴CE=CF.
,
,
CD CD
DE DF
课堂小结
角平分
线
尺 规
作 图 属于基本作图,必须熟练掌握
性 质
定 理
一个点:角平分线上的点;
二距离:点到角两边的距离;
两相等:两条垂线段相等
辅 助 线
添 加
过角平分线上一点向两
边作垂线段
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