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- 2021-10-27 发布
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14.2
乘法公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
14.2.1
平方差公式
八年级数学上(RJ)
教学课件
学习目标
1.
经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差
公式的结构特征
.
(重点)
2.
灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题
.
(难点)
导入新课
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的?
(
x
+
3)(
x
+
5
)
=
x
2
+
5
x
+
3
x
+
15
=
x
2
+
8
x
+
15.
(
a+b
)(
m+n
)
=am
+an
+bm
+bn
讲授新课
平方差公式
一
探究发现
面积变了吗?
a
米
5
米
5
米
a
米
(
a
-5)
相等吗?
①
(
x
+
1)(
x
-
1
);
②(
m
+
2)(
m
-
2
);
③(
2
m
+
1)(2
m
-
1
);
④(
5
y
+
z
)(5
y
-
z
)
.
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
算一算:
看谁算得又快又准
.
②
(
m
+
2)(
m
-
2
)
=
m
2
-
2
2
③
(
2
m
+
1)( 2
m
-
1)=4
m
2
-
1
2
④
(
5
y
+
z
)(5
y
-
z
)= 25
y
2
-
z
2
①
(
x
+
1)(
x
-
1
)
=
x
2
-
1
,
想一想:
这些计算结果有什么特点?
x
2
-
1
2
m
2
-
2
2
(2
m
)
2
-
1
2
(5
y
)
2
-
z
2
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
两数
和
与这两数
差
的积
,
等于
这两数的
平方差
.
公式变形
:
1.
(
a – b
) (
a + b
) =
a
2
-
b
2
2.
(
b + a
)( -
b + a
) =
a
2
-
b
2
知识要点
平方差公式
平方差公式
注:
这里的两数可以是两个
单项式
也可以是两个
多项式
等
.
(
a+b
)(
a-b
)=(
a
)
2
-(
b
)
2
相同为
a
相反为
b
,
-
b
适当交换
合理加括号
(1+
x
)(1-
x
)
(-3+
a
)(-3-
a
)
(0.3
x
-1)(1+0.3
x
)
(1+
a
)(-1+
a
)
填一填:
a
b
a
2
-
b
2
1
x
-3
a
1
2
-
x
2
(-3)
2
-
a
2
a
1
a
2
-1
2
0.3
x
1
( 0.3
x
)
2
-1
2
(
a-b
)(
a+b
)
练一练:
口答下列各题:
(l)(-
a
+
b
)(
a
+
b
)=_________.
(2)(
a
-
b
)(
b
+
a
)= __________.
(3)(-
a
-
b
)(-
a
+
b
)= ________.
(4)(
a
-
b
)(-
a
-
b
)= _________.
a
2
-
b
2
a
2
-
b
2
b
2
-
a
2
b
2
-
a
2
典例精析
例
1
计算
:
(1) (3
x
+
2 )( 3
x
-
2 )
;
(2)
(
-
x
+2
y
)(-
x
-2
y
).
(2)
原式
=
(-
x
)
2
- (2
y
)
2
=
x
2
- 4
y
2
.
解:(
1
)
原式
=
(
3
x
)
2
-
2
2
=9
x
2
-
4
;
方法总结:
应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的
a
和
b
可以是具体数,也可以是单项式或多项式.
利用平方差公式计算:
(1)(3
x
-
5)(3
x
+
5)
;
(2)(
-
2
a
-
b
)(
b
-
2
a
)
;
(3)(
-
7
m
+
8
n
)(
-
8
n
-
7
m
)
.
针对训练
解:
(1)
原式
=
(3
x
)
2
-
5
2
=
9
x
2
-
25
;
(2)
原式
=
(
-
2
a
)
2
-
b
2
=
4
a
2
-
b
2
;
(3)
原式
=
(
-
7
m
)
2
-
(8
n
)
2
=
49
m
2
-
64
n
2
;
例
2
计算
:
(1) 102×98
;
(2) (
y
+2) (
y
-2) – (
y
-1) (
y
+5) .
解
:
(1) 102×98
(
2
)
(
y
+2)(
y
-2)- (
y
-1)(
y
+5)
= 100
2
-2
2
=10000 – 4
=
(
100
+
2
)
(100
-
2)
=9996
;
=
y
2
-2
2
-(
y
2
+4
y
-5)
=
y
2
-4-
y
2
-4
y
+5
= - 4
y
+ 1.
通过合理变形,利用平方差公式,可以简化运算
.
不符合平方差公式运算条件的乘法,按乘法法则进行运算
.
针对训练
计算
:
(1) 51
×49
; (2)
(3
x
+4)(3
x
-4)-(2
x
+3)(3
x
-2)
.
解
:
(1)
原式
=
(
50
+
1
)
(50
-
1)
= 50
2
-1
2
=2500 – 1
=2499
;
(2)
原式
=(
3
x
)
2
-4
2
-(6
x
2
+5
x
-6)
= 9
x
2
-16-6
x
2
-5
x
+6
= 3
x
2
-5
x
-10.
例
3
先化简,再求值:
(2
x
-
y
)(
y
+
2
x
)
-
(2
y
+
x
)(2
y
-
x
)
,其中
x
=
1
,
y
=
2.
原式=
5×1
2
-
5×2
2
=-
15.
解:原式=
4
x
2
-
y
2
-
(4
y
2
-
x
2
)
=
4
x
2
-
y
2
-
4
y
2
+
x
2
=
5
x
2
-
5
y
2
.
当
x
=
1
,
y
=
2
时,
例
4
对于任意的正整数
n
,整式
(3
n
+
1)(3
n
-
1)
-
(3
-
n
)(3
+
n
)
的值一定是
10
的整数倍吗?
即
(3
n
+
1)(3
n
-
1)
-
(3
-
n
)(3
+
n
)
的值是
10
的倍数.
解:原式=
9
n
2
-
1
-
(9
-
n
2
)
=
10
n
2
-
10.
∵(
10
n
2
-
10)
÷
10=
n
2
-1.
n
为正整数,
∴
n
2
-1
为整数
方法总结:
对于平方差中的
a
和
b
可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系.
例
5
王大伯家把一块边长为
a
米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少
4
米,另外一边增加
4
米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?
∵
a
2
>
a
2
-
16
,
解:李大妈吃亏了.
理由:原正方形的面积为
a
2
,
改变边长后面积为
(
a
+
4)(
a
-
4)
=
a
2
-
16
,
∴
李大妈吃亏了.
方法总结:
解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题.
1.
下列运算中,可用平方差公式计算的是
(
)
A
.
(
x
+
y
)(
x
+
y
) B
.
(
-
x
+
y
)(
x
-
y
)
C
.
(
-
x
-
y
)(
y
-
x
) D
.
(
x
+
y
)(
-
x
-
y
)
当堂练习
C
2.
计算(2
x
+1)(2
x
-1)等于( )
A.4
x
2
-1 B.2
x
2
-1 C.4
x
-1 D.4
x
2
+1
A
3.
两个正方形的边长之和为
5
,边长之差为
2
,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是
________
.
10
(
1
)
(
a+
3
b
)(
a
-
3
b
)
;
=4
a
2
-
9
;
=4
x
4
-
y
2
.
原式
=(2
a+
3)(2
a-
3)
=a
2
-
9
b
2
;
=(2
a
)
2
-
3
2
原式
=(
-
2
x
2
)
2
-
y
2
原式
=(
a
)
2
-
(3
b
)
2
(
2
)
(3
+
2
a
)(
-
3
+
2
a
)
;
(
3
)
(
-
2
x
2
-
y
)(
-
2
x
2
+y
).
4.
利用平方差公式计算:
5.
计算:
2015
2
-
2014×2016
.
解:
2015
2
-
2014×2016
= 2015
2
-
(2015
-
1)(
2015+1)
=
2015
2
-
(
2015
2
-
1
2
)
=
2015
2
-
2015
2
+
1
2
=1
6.
利用平方差公式计算
:
(
1
)(
a
-2)(
a
+2)(
a
2
+
4)
解
:
原式
=
(
a
2
-4
)(a
2
+4)
=
a
4
-16.
(2) (
x
-
y
)(
x
+
y
)(
x
2
+
y
2
)(
x
4
+
y
4
).
解:原式
=
(
x
2
-
y
2
)(
x
2
+
y
2
)(
x
4
+
y
4
)
=
(
x
4
-
y
4
)(
x
4
+
y
4
)
=
x
8
-
y
8
.
7.
先化简,再求值:
(
x
+
1)(
x
-
1)
+
x
2
(1
-
x
)
+
x
3
,其中
x
=
2.
解:原式
=
x
2
-
1
+
x
2
-
x
3
+
x
3
=2
x
2
-
1.
将
x
=
2
代入上式,
原式
=2
×
2
2
-1=7.
8.
已知
x
≠1
,计算:
(1
+
x
)(1
-
x
)
=
1
-
x
2
,
(1
-
x
)(1
+
x
+
x
2
)
=
1
-
x
3
,
(1
-
x
)(1
+
x
+
x
2
+
x
3
)
=
(1)
观察以上各式并猜想:
(1
-
x
)(1
+
x
+
x
2
+
…
+
x
n
)
=
________
;
(n
为正整数
)
(2)
根据你的猜想计算:
①(1
-
2)(1
+
2
+
2
2
+
2
3
+
2
4
+
2
5
)
=
________
;
②2
+
2
2
+
2
3
+
…
+
2
n
=
________(n
为正整数
)
;
③(
x
-
1)(
x
99
+
x
98
+
x
97
+
…
+
x
2
+
x
+
1)
=
________
;
拓展提升
1
-
x
n+
1
-63
2
n
+
1
-
2
x
100
-1
(3)
通过以上规律请你进行下面的探索:
①(
a
-
b
)(
a
+
b
)
=
________
;
②(
a
-
b
)(
a
2
+
ab
+
b
2
)
=
________
;
③(
a
-
b
)(
a
3
+
a
2
b
+
ab
2
+
b
3
)
=
________
.
a
2
-
b
2
a
3
-
b
3
a
4
-
b
4
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差
1.
符号表示
:(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
2.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征,在应用时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过变形才可以应用
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