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  • 2021-10-27 发布

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)14

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14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.2.1 平方差公式 八年级数学上(RJ) 教学课件 学习目标 1. 经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差 公式的结构特征 . (重点) 2. 灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题 . (难点) 导入新课 复习引入 多项式与多项式是如何相乘的? ( x + 3)( x + 5 ) = x 2 + 5 x + 3 x + 15 = x 2 + 8 x + 15. ( a+b )( m+n ) =am +an +bm +bn 讲授新课 平方差公式 一 探究发现 面积变了吗? a 米 5 米 5 米 a 米 ( a -5) 相等吗? ① ( x + 1)( x - 1 ); ②( m + 2)( m - 2 ); ③( 2 m + 1)(2 m - 1 ); ④( 5 y + z )(5 y - z ) . 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? 算一算: 看谁算得又快又准 . ② ( m + 2)( m - 2 ) = m 2 - 2 2 ③ ( 2 m + 1)( 2 m - 1)=4 m 2 - 1 2 ④ ( 5 y + z )(5 y - z )= 25 y 2 - z 2 ① ( x + 1)( x - 1 ) = x 2 - 1 , 想一想: 这些计算结果有什么特点? x 2 - 1 2 m 2 - 2 2 (2 m ) 2 - 1 2 (5 y ) 2 - z 2 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 两数 和 与这两数 差 的积 , 等于 这两数的 平方差 . 公式变形 : 1. ( a – b ) ( a + b ) = a 2 - b 2 2. ( b + a )( - b + a ) = a 2 - b 2 知识要点 平方差公式 平方差公式 注: 这里的两数可以是两个 单项式 也可以是两个 多项式 等 . ( a+b )( a-b )=( a ) 2 -( b ) 2 相同为 a 相反为 b , - b 适当交换 合理加括号 (1+ x )(1- x ) (-3+ a )(-3- a ) (0.3 x -1)(1+0.3 x ) (1+ a )(-1+ a ) 填一填: a b a 2 - b 2 1 x -3 a 1 2 - x 2 (-3) 2 - a 2 a 1 a 2 -1 2 0.3 x 1 ( 0.3 x ) 2 -1 2 ( a-b )( a+b ) 练一练: 口答下列各题: (l)(- a + b )( a + b )=_________. (2)( a - b )( b + a )= __________. (3)(- a - b )(- a + b )= ________. (4)( a - b )(- a - b )= _________. a 2 - b 2 a 2 - b 2 b 2 - a 2 b 2 - a 2 典例精析 例 1 计算 : (1) (3 x + 2 )( 3 x - 2 ) ; (2) ( - x +2 y )(- x -2 y ). (2) 原式 = (- x ) 2 - (2 y ) 2 = x 2 - 4 y 2 . 解:( 1 ) 原式 = ( 3 x ) 2 - 2 2 =9 x 2 - 4 ; 方法总结: 应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的 a 和 b 可以是具体数,也可以是单项式或多项式. 利用平方差公式计算: (1)(3 x - 5)(3 x + 5) ; (2)( - 2 a - b )( b - 2 a ) ; (3)( - 7 m + 8 n )( - 8 n - 7 m ) . 针对训练 解: (1) 原式 = (3 x ) 2 - 5 2 = 9 x 2 - 25 ; (2) 原式 = ( - 2 a ) 2 - b 2 = 4 a 2 - b 2 ; (3) 原式 = ( - 7 m ) 2 - (8 n ) 2 = 49 m 2 - 64 n 2 ; 例 2 计算 : (1) 102×98 ; (2) ( y +2) ( y -2) – ( y -1) ( y +5) . 解 : (1) 102×98 ( 2 ) ( y +2)( y -2)- ( y -1)( y +5) = 100 2 -2 2 =10000 – 4 = ( 100 + 2 ) (100 - 2) =9996 ; = y 2 -2 2 -( y 2 +4 y -5) = y 2 -4- y 2 -4 y +5 = - 4 y + 1. 通过合理变形,利用平方差公式,可以简化运算 . 不符合平方差公式运算条件的乘法,按乘法法则进行运算 . 针对训练 计算 : (1) 51 ×49 ; (2) (3 x +4)(3 x -4)-(2 x +3)(3 x -2) . 解 : (1) 原式 = ( 50 + 1 ) (50 - 1) = 50 2 -1 2 =2500 – 1 =2499 ; (2) 原式 =( 3 x ) 2 -4 2 -(6 x 2 +5 x -6) = 9 x 2 -16-6 x 2 -5 x +6 = 3 x 2 -5 x -10. 例 3 先化简,再求值: (2 x - y )( y + 2 x ) - (2 y + x )(2 y - x ) ,其中 x = 1 , y = 2. 原式= 5×1 2 - 5×2 2 =- 15. 解:原式= 4 x 2 - y 2 - (4 y 2 - x 2 ) = 4 x 2 - y 2 - 4 y 2 + x 2 = 5 x 2 - 5 y 2 . 当 x = 1 , y = 2 时, 例 4 对于任意的正整数 n ,整式 (3 n + 1)(3 n - 1) - (3 - n )(3 + n ) 的值一定是 10 的整数倍吗? 即 (3 n + 1)(3 n - 1) - (3 - n )(3 + n ) 的值是 10 的倍数. 解:原式= 9 n 2 - 1 - (9 - n 2 ) = 10 n 2 - 10. ∵( 10 n 2 - 10) ÷ 10= n 2 -1. n 为正整数, ∴ n 2 -1 为整数 方法总结: 对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系. 例 5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少 4 米,另外一边增加 4 米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? ∵ a 2 > a 2 - 16 , 解:李大妈吃亏了. 理由:原正方形的面积为 a 2 , 改变边长后面积为 ( a + 4)( a - 4) = a 2 - 16 , ∴ 李大妈吃亏了. 方法总结: 解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题. 1. 下列运算中,可用平方差公式计算的是 (    ) A . ( x + y )( x + y ) B . ( - x + y )( x - y ) C . ( - x - y )( y - x ) D . ( x + y )( - x - y ) 当堂练习 C 2. 计算(2 x +1)(2 x -1)等于(  ) A.4 x 2 -1 B.2 x 2 -1 C.4 x -1 D.4 x 2 +1 A 3. 两个正方形的边长之和为 5 ,边长之差为 2 ,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是 ________ . 10 ( 1 ) ( a+ 3 b )( a - 3 b ) ; =4 a 2 - 9 ; =4 x 4 - y 2 . 原式 =(2 a+ 3)(2 a- 3) =a 2 - 9 b 2 ; =(2 a ) 2 - 3 2 原式 =( - 2 x 2 ) 2 - y 2 原式 =( a ) 2 - (3 b ) 2 ( 2 ) (3 + 2 a )( - 3 + 2 a ) ; ( 3 ) ( - 2 x 2 - y )( - 2 x 2 +y ). 4. 利用平方差公式计算: 5. 计算: 2015 2 - 2014×2016 . 解: 2015 2 - 2014×2016 = 2015 2 - (2015 - 1)( 2015+1) = 2015 2 - ( 2015 2 - 1 2 ) = 2015 2 - 2015 2 + 1 2 =1 6. 利用平方差公式计算 : ( 1 )( a -2)( a +2)( a 2 + 4) 解 : 原式 = ( a 2 -4 )(a 2 +4) = a 4 -16. (2) ( x - y )( x + y )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ). 解:原式 = ( x 2 - y 2 )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ) = ( x 4 - y 4 )( x 4 + y 4 ) = x 8 - y 8 . 7. 先化简,再求值: ( x + 1)( x - 1) + x 2 (1 - x ) + x 3 ,其中 x = 2. 解:原式 = x 2 - 1 + x 2 - x 3 + x 3 =2 x 2 - 1. 将 x = 2 代入上式, 原式 =2 × 2 2 -1=7. 8. 已知 x ≠1 ,计算: (1 + x )(1 - x ) = 1 - x 2 , (1 - x )(1 + x + x 2 ) = 1 - x 3 , (1 - x )(1 + x + x 2 + x 3 ) = (1) 观察以上各式并猜想: (1 - x )(1 + x + x 2 + … + x n ) = ________ ; (n 为正整数 ) (2) 根据你的猜想计算: ①(1 - 2)(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 ) = ________ ; ②2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 n = ________(n 为正整数 ) ; ③( x - 1)( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x + 1) = ________ ; 拓展提升 1 - x n+ 1 -63 2 n + 1 - 2   x 100 -1  (3) 通过以上规律请你进行下面的探索: ①( a - b )( a + b ) = ________ ; ②( a - b )( a 2 + ab + b 2 ) = ________ ; ③( a - b )( a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 ) = ________ . a 2 - b 2   a 3 - b 3   a 4 - b 4   课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差 1. 符号表示 :( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征,在应用时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过变形才可以应用