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- 2021-10-27 发布
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第十五章
分式
15.3分式方程
第2课时
学习目标
导入新课 问题引入
1.解分式方程的基本思路是什么?
2.解分式方程有哪几个步骤?
3.验根有哪几种方法?
分式方程 整式方程 转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法:第一种是代入最简公分母;第
二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型?每种类型的基本
公式是什么?
u基本上有4种:
(1)行程问题: 路程=速度×时间以及它的两个变式;
(2)数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法;
(3)工程问题: 工作量=工时×工效以及它的两个变式;
(4)利润问题: 批发成本=批发数量×批发价;批发数量=批
发成本÷批发价;打折销售价=定价×折数;销售利润=销售收
入一批发成本;每本销售利润=定价一批发价;每本打折销售
利润=打折销售价一批发价,利润率=利润÷进价。
讲授新课
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月
完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作
了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
u表格法分析如下:
工作时间(月) 工作效率 工作总量(1)
甲队
乙队
1
2
1
3
1
2
1
x
1
2x
3
2
u等量关系:
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x天.
列分式方程解决工程问题
解:设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1,甲的
工作效率是 ,根据题意得1
3
1 1 1 1(1 ) 1,3 2 2x
即
1 1 1.2 2x
方程两边都乘以6x,得
3 3 6 .x x 解得 x=1.
检验:当x=1时,6x≠0.
所以,原分式方程的解为x=1.
由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队单
独施工需3个月才可以完成全部任务,所以乙队的施工速度快.
想一想:本题的等量关系还可以怎么找?
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列,方程又怎么列呢?
工作时间(月) 工作效率 工作总量(1)
甲单独
两队合作 1
2
设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是
甲队的工作效率是 ,合作的工作效率是 .
1
x1
3
1 1( )3x
此时方程是:
1
1 1( )3x
1
3
1 1 1 11 ( ) 13 2 3 x
表格为
“3行4列”
知识要点 工程问题
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率;
2.通常间接设元,如× ×单独完成需 x(单位时间),则
可表示出其工作效率;
4.解题方法:可概括为“321”,即3指该类问题中三量关系,
如工程问题有工作效率,工作时间,工作量;2指该类问题中
的“两个主人公”如甲队和乙队,或“甲单独和两队合作”;
1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是:两
个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队
工作效率的和”.
抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,
甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单
独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合作
2个小时后,甲队又有新任务,余下的由乙队单独
做,刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部
工程各需多少小时?
解析:设甲队单独完成需要x小时,则乙队需要
(x+3)小时,根据等量关系“甲工效×2+乙工效
×甲队单独完成需要时间=1”列方程.
做一做
解:设甲队单独完成需要x小时,则乙队需要
(x+3)小时.
由题意得 .
解得x=6.
经检验x=6是方程的解.∴x+3=9.
答:甲单独完成全部工程需6小时,乙单独完
成全部工程需9小时.
解决工程问题的思路方法:各部分工作量之和等
于1,常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩,
其中面包车为领队,小轿车车紧随其后,他们同
时出发,当面包车车行驶了200公里时,发现小
轿车车只行驶了180公里,若面包车的行驶速度
比小轿车快10km/h,请问面包车,小轿车的速度
分别为多少km/h?
0 180 200
列分式方程解决行程问题
路程 速度 时间
面包
车
小轿
车
200
180
x+10
x
10
200
x
x
180
分析:设小轿车的速度为x千米/小时
面包车的时间=小轿车的时间 等量关系:
u列表格如下:
解:设小轿车的速度为x千米/小时,则面包
车速度为x+10千米/小时,依题意得
解得x=90
经检验,x=90是原方程的解,
且x=90,x+10=100,符合题意.
答:面包车的速度为100千米/小时,
小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
10
200180
xx
做一做
1.小轿车发现跟丢时,面包车行驶了200公里,
小轿车行驶了180公里,小轿车为了追上面包车,
他就马上提速,他们约定好在300公里的地方碰
头,他们正好同时到达,请问小轿车提速多少
km/h?
0 180 200 300
解:设小轿车提速为x千米/小时,依题意得
100 120
100 90 x
解得x=30
经检验,x=30是原方程的解,且x=30,符合
题意.
答:小轿车提速为30千米/小时.
2.两车发现跟丢时,面包车行驶了200公里,小轿车行驶了
180公里,小轿车为了追上面包车,他就马上提速,他们约
定好在s公里的地方碰头,他们正好同时到达,请问小轿车
提速多少km/h?
0 180 200 S
路程 速度 时间
面包
车
小轿
车
s-200
s-180
100 100
200s
90
180
x
s90+x
解:设小轿车提速为x千米/小时,依题意得
90
180
100
200
x
ss
解得x= 200
10
s
s
满足题意。是原方程的解,且经检验
200
10
200
10:
s
sxs
sx
./200
10 hkms
s
答:小轿车的提速为
3.小轿车平均提速vkm/h,用相同的时间,小轿车提速前行
驶skm,提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车车的
平均速度为多少km/h?
0 S S+50
路程 速度 时间
提速
前
提速
后
s
s+50
v v
s
xv
s
50x+v
解:设小轿车提速为x千米/小时, 依题意得
vx
s
v
s
50
50
,050,
svx
vxxsvxvs
为所以,原分式方程的解
时,都是正数,得检验:由
./50 hkmsv答:小轿车的提速为
50
50
,
svx
xxvxs
vxx
解得
得方程两边乘以
知识要点
行程问题
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别;
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数
式表示出来;
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建
立方程.
u列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意,并设未知数;
2.找:相等关系;
3.列:出方程;
4.解:这个分式方程;
5.验:根(包括两方面 :(1)是否是分式方程的根;
(2)是否符合题意);
6.写:答案.
例3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售,
第一次用1200元购进若干千克,并以每千克8元出
售,很快售完.由于水果畅销,第二次购买时,
每千克的进价比第一次提高了10%,用1452元所购
买的数量比第一次多20千克,以每千克9元售出
100千克后,因出现高温天气,水果不易保鲜,为
减少损失,便降价50%售完剩余的水果.
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元?
解析:根据第二次购买水果数多20千克,可得出
方程,解出即可得出答案;
解:(1)设第一次购买的单价为x元,则第二
次的单价为1.1x元,
根据题意得 ,
解得x=6.
经检验,x=6是原方程的解.
答:第一次水果的进价为每千克6元.
1452 1200201.1x x
(2)该果品店在这两次销售中,总体上是盈利
还是亏损?盈利或亏损了多少元?
解析:(2)先计算两次购买水果的数量,赚钱情况:
销售的水果量×(实际售价-当次进价),两次合计,就
可以求得是盈利还是亏损了.
(2)第一次购买水果1200÷6=200(千克).
第二次购买水果200+20=220(千克).
第一次赚钱为200×(8-6)=400(元),
第二次赚钱为100×(9-6.6)+120×(9×0.5-6.6)=
-12(元).
所以两次共赚钱400-12=388(元).
当堂练习
1.几名同学包租一辆面包车去旅游,面包车的
租价为180元,出发前,又增加两名同学,结果
每个同学比原来少分摊3元车费,若设原来参加
旅游的学生有x人,则所列方程为( )A
2.一轮船往返于A、B两地之间,顺水比逆水快1小时到达.已知
A、B两地相距80千米,水流速度是2千米/小时,求轮船在静水
中的速度.
x=-18(不合题意,舍去),
解:设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题
意得
解得 x=±18.
检验得:x=18.
答:船在静水中的速度为18千米/小时.
80 80 1.2 2x x
方程两边同乘(x-2)(x+2)得
80x+160 -80x+160=x2 -4.
3. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机,一部分人骑自
行车先走,过了40分钟,其余人乘汽车去,结果他们同时到
达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度.
解:设自行车的速度为x千米/时,那么汽车的速度是3x千米/
时,依题意得:
解得 x=15.
经检验,x=15是原方程的根.
由x=15得3x=45.
答:自行车的速度是15千米/时,汽车的速度是45千米/时.
15 15 2.3 3x x
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老
师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后,王
老师和李老师编写了一道题:
同学们,请求出篮球和排球的单价各是多少元?
解:设排球的单价为x元,则篮球的单价为
(x+60)元,根据题意,列方程得
解得x=100.经检验,x=100是原方程的根,
当x=100时,x+60=160.
答:排球的单价为100元,篮球的单价为160元.
课堂小结
分
式
方
程
的
应
用
类 型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆
问题、利润问题等
方 法
步 骤 一审二设三找四列五解六验七写
321法
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