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- 2021-10-27 发布
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2020-2021学年人教版初二数学上学期期中考测试卷03
一. 选择题(共12小题)
1.(2020·河北泊头)如图,D,E,F分别是边BC,AD,AC上的中点,若S阴影的面积为3,则△ABC的面积是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】
∵D为BC的中点
∴,
∴
∴+=+=
∴==×3=8
故选:D
2.(2020·常州市第二十四中学期中)如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点,且△ABC的面积为8cm2,则△CEF的面积为( )
A.0.5cm2 B.1cm2 C.2cm2 D.4cm2
【答案】C
【解析】
【分析】
由点D为BC的中点,根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=S△ABC,
S△EDC=S△EBC,同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC,则S△EBC=2S△EDC=S△ABC,然后利用F点为BE的中点得到S△CEF=S△EBC=×S△ABC,再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可.
【详解】
解:如图,
∵点D为BC的中点,
∴S△ADC=S△ABC,S△EDC=S△EBC,
∵点E为AD的中点,
∴S△EDC=S△ADC,
∴S△EDC=S△ABC,
∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC,
∵F点为BE的中点,
∴S△CEF=S△EBC=×S△ABC=××8=2(cm2).
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形面积:三角形面积等于底边与底边上的高的积的一半;等底等高的两三角形面积相等,等高的两三角形面积的比等于底边的比.
3.(2020·金水·河南省实验中学三模)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC, CE⊥BE.若∠BCD=50°,∠BCE的度数为( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
【答案】B
【解析】
BE平分
又,即
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点,熟练掌握平行线的性质是解题关键.
4.(2020·河北路南期中)如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,连接 BD,BE 平分∠ABD,BE⊥AD,∠EBC 和∠DCB 的角平分线相交于点F,若∠ADC=110°,则∠F 的度数为( ).
A.115° B.110° C.105° D.100°
【答案】D
【解析】
解:∵BE⊥AD,
∴∠BED=90°,
又∵∠ADC=110°,
∴四边形BCDE中,∠BCD+∠CBE=360°-90°-110°=160°,
又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F,
∴∠BCF+∠CBF=×160°=80°,
∴△BCF中,∠F=180°-80°=100°,
故选D.
5.(2020·山东青州期中)如图在的两边上截取,,连结,交于点.则下列结论正确的是( )
①② ③点在的平分线上
A.只有① B.只有② C.只有①② D.①②③
【答案】D
【解析】
连接OP,
,①正确;
又∵
,②正确;
又∵
,即点在的平分线上,③正确;
故选D.
6.(2020·广西上思期中)如图,直线AC∥BD,AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为( )
A.互余 B.相等 C.互补 D.不等
【答案】A
【解析】
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,
∴∠CAB=2∠OAB,∠ABD=2∠ABO,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠AOB=90°,
∴OA⊥OB,
故选A.
7.(2020·全国)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF,给出下列四个结论:
①DE=DF;②AC=4BF;③DB=DC;④AD⊥BC,其中正确的结论共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】
∵BF∥AC,
∴∠C=∠CBF,
∵BC平分∠ABF,
∴∠ABC=∠CBF,
∴∠C=∠ABC,
∴AB=AC,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC,故③④正确,
在△CDE与△DBF中,
,
∴△CDE≌△DBF(ASA),
∴DE=DF,CE=BF,故①正确;
∵AE=2BF,
∴AC=3BF,故②错误.
故选B.
8.(2020·山东济阳期末)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD:BD=3:4.若BC=21,则点D到AB边的距离为( )
A.7 B.9 C.11 D.14
【答案】B
【解析】
解:
∵CD:BD=3:4.
设CD=3x,则BD=4x,
∴BC=CD+BD=7x,
∵BC=21,
∴7x=21,
∴x=3,
∴CD=9,
过点D作DE⊥AB于E,
∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,
∴DE=CD=9,
∴点D到AB边的距离是9,
故选B.
9.(2020·广东二模)如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AC,若△BCD的周长是14,BC=6,则AC的长是( )
A.6 B.8 C.10 D.14
【答案】B
【解析】
解:∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵△BCD的周长是14,BC=6,
∴AB=BD+CD=14﹣6=8,
∵AB=AC,
∴AC=8.
故答案为B.
10.(2020·湖北黄石港·黄石八中期中)如图,直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的动点。若AB=6,AC=4,BC=7。则△APC周长的最小值是
A.10 B.11 C.11.5 D.13
【答案】A
【解析】
如图,连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB,
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理,以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP+BP≥AB,做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件,联系相关定理得出结论,再根据结论进行推论.
11.(2020·全国)如图,点P在∠MON的内部,点P关于OM,ON的对称点分别为A,B,连接AB,交OM于点C,交ON于点D,连接PC,PD.若∠MON=50°,则∠CPD=( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB=40°.设∠COP=,∠DOP=,则.再求出∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=.∠DPB=.根据四边形内角和定理求出∠EPF=130°,即可求解.
【详解】
如图,连接OA、OB、OP,设PA与OM交于点E,PB与ON交于点F.
∵点P关于OM,ON的对称点分别为A,B,
∴OA=OP=OB,CA=CP,DP=DB,∠AOC=∠COP,∠POD=∠DOB,
∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°,
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)=40°,
设∠COP=,∠DOP=,则,
∵OA=OP,∠AOP=,
∴∠OPA=∠OAP=(180°)=,
∵∠OAB=40°,
∴∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=.
同理,∠DPB=.
∵∠EPF=360°-∠EOF-∠OEP-∠OFP=360°-50°-90°-90°=130°,
∴∠CPD=∠EPF-(∠CPA+∠DPB)=130°-()=30°+()=80°.
故选:B.
12.(2020·黑龙江虎林期末)如图,过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点,当 PA=CQ 时,连PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为( )
A.0.5 B.1 C.0.25 D.2
【答案】A
【解析】
过P作PM∥BC,交AC于M;
∵△ABC是等边三角形,且PM∥BC,
∴△APM是等边三角形,
又∵PE⊥AM,
∴;(等边三角形三线合一)
∵PM∥CQ,
∴∠PMD=∠QCD,∠MPD=∠Q;
又∵PA=PM=CQ,
在△PMD和△QCD中
,
∴△PMD≌△QCD(AAS),
∴,
∴,
故选A.
二. 填空题(共6小题)
13.(2020·湖北一模)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则∠AFE的度数为_____.
【答案】72°
【解析】
∵五边形ABCDE为正五边形,
∴AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°,
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=(180°−108°)÷2=36°,
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°,
故答案为72°.
14.(2020·江西萍乡期中)如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于D,PC∥OB交OA于C,若PC=10,则PD=________.
【答案】5
【解析】
解:∵OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP,
∵PC∥OB,
∴∠CPO=∠BOP,∴∠CPO=∠AOP,
∴PC=OC,
∵PC=10,
∴OC=PC=10,
过P作PE⊥OA于点E,
∵PD⊥OB,OP平分∠AOB,
∴PD=PE,
∵PC∥OB,∠AOB=30°
∴∠ECP=∠AOB=30°
在Rt△ECP中,PE=PC=5,
∴PD=PE=5,
故答案为5.
15.(2019·山东东营月考)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2cm,BE=0.5cm,则DE=________cm.
【答案】1.5
【解析】
∵BE⊥CE,AD⊥CE
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠DAC+∠DCA=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCE+∠DCA=90°
∴∠BAC=∠DAE
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE
∴BE=CD=0.5(cm),EC=AD=2(cm)
DE=CE-CD=1.5(cm),
故答案为1.5
16.(2020·陕西渭滨期末)如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=50°,在BC、CD边上分别找到点M、N,当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为______.
【答案】100°
【解析】
解:作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.
∵∠B=∠D=90°,∠C=50°,
∵∠DAB=130°,
∴∠AA′M+∠A″=180°-130°=50°,
由对称性可知:
∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×50°=100°,
故答案为:100°.
17.(2020·河南嵩县期末)如图,在等边三角形ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,则∠BDF+∠CEF=_____.
【答案】120°
【解析】
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠A=60º,
∴∠ADE+∠AED=180º-60º=120º,
由折叠性质得:∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF,
∴∠BDF+∠CEF=(180º-2∠ADE)+(180º-2∠AED)
=360º-2(∠ADE+∠AED)
=360º-240º
=120º,
故答案为:120º.
18.(2020·四川成都)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内的一点,且DB=9,若点E,F分别是射线BA,BC上异于点B的动点,则DEF的周长的最小值是_____.
【答案】9
【解析】
【分析】
作D关于BA,BC的对称点M,N.连接BM,BN,则当E,F是CD与BA,BC的交点时,△DEF的周长最短,最短的值是MN的长.根据对称的性质可以证得:△BMN是等边三角形,据此即可求解.
【详解】
解:作D关于BA,BC的对称点M,N.连接BM,BN,则当E,F是MN与BA,BC的交点时,△DEF的周长最短,最短的值是MN的长.连接BM、BN,
∵D、M关于BA对称,BM=BD,
∴∠ABM=∠ABD,
同理,∠NBC=∠DBC,BN=BD,
∴∠MBN=2∠ABC=60°,BM=BN,
∴△BMN是等边三角形.
∴MN=BM=BD=9.
∴△DEF的周长的最小值是9,
故答案是:9.
三.解析题(共6小题)
19.(2020·湖南雨花期末)如图,已知,在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,E的线段AD(除去端点A、D)上一动点,EF⊥BC于点F.
(1)若∠B=40°,∠DEF=10°,求∠C的度数.
(2)当E在AD上移动时,∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并说明理由.
【答案】(1)∠C=60°.
(2)∠C-∠B=2∠DEF.理由见解析
【解析】
【分析】
(1)已知:EF⊥BC,∠DEF=10°可以求得∠EDF的度数,∠EDF又是∆ABD的外角,已知∠B的度数,可求得∠BAD的值,AD平分∠BAC,所以∠BAC的值也可求出,从而求出∠C.
(2)EF⊥BC,可得到∠EDF=90°-∠DEF,∠EDF又是∆ABD的外角,可得到∠BAD=∠EDF-∠B=90°-∠DEF-∠B,然后可将 BAC用含∠DEF、∠B的角来表示,即 BAC =2(90°-∠DEF-∠B),最后利用∠B、 BAC、C的和为180°求得三角之间的等量关系.
【详解】
(1)∵EF⊥BC,∠DEF=10°,
∴∠EDF=80°.
∵∠B=40°,
∴∠BAD=∠EDF-∠B=80°-40°=40°.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=80°.
∴∠C=180°-40°-80°=60°.
(2)∠C-∠B=2∠DEF.理由如下:
∵EF⊥BC,∴∠EDF=90°-∠DEF.
∵∠EDF=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=90°-∠DEF-∠B.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=180°-2∠DEF-2∠B.
∴∠B+180°-2∠DEF-2∠B+∠C=180°.
∴∠C-∠B=2∠DEF.
20.(2020·河南信阳月考)如图,在中,D为AB上一点,E为AC中点,连接DE并延长至点F,使得,连CF.
求证:
若,连接BE,BE平分,AC平分,求的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
证明:在和中
≌,
,
;
解:平分,
,
,
,
,,
,
.
21.(2019·河南汤阴期中)在直角中,,,AD,CE分别是和的平分线,AD,CE相交于点F.
求的度数;
判断FE与FD之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)120°;(2) FE=FD;见解析.
【解析】
【分析】
(1)由已知条件易得∠BAC=30°,结合AD,CE分别是∠BAC和∠ACB的角平分线可得∠FAC=15°,∠FCA=45°,由此结合三角形内角和定理可得∠AFC=120°,由此即可得到∠EFD=∠AFC=120°.
(2)如下图,在AC是截取AG=AE,连接FG,在由已知条件易证△AGF≌△AEF,由此可得∠AFG=∠AFE=∠FAC+∠ECA=60°,结合∠AFC=120°,可得∠CFG=60°,∠CFD=60°,这样结合∠GCF=∠DCF,CF=CF即可得到△GCF≌△DCF,由此可得FG=FD,结合FE=FG即可得到FE=FD.
【详解】
(1)∵中,,
∴,
∵、CE分别是、的平分线,
∴,,
∴,
∴;
与FD之间的数量关系为;
在AC上截取,连接FG,
∵是的平分线,
∴
在和中,∵,
∴≌,
∴,∠AFG=∠AFE=∠FAC+∠ECA=60°,
∴∠CFD=∠AFE=60°,
∴∠CFD=∠CFG,
∵在和中,,
∴≌,
∴,
∴.
22.(2020·广西月考)如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点D作AC的垂线,垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.
(1)证明:AE=CE=BE;
(2)若DA⊥AB,BC=6,P是直线DE上的一点.则当P在何处时,PB+PC最小,并求出此时PB+PC的值.
【答案】(1)详见解析;(2)当点P与点E共点时,PB+PC的值最小,最小值为12.
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形“三线合一”的性质证得DE垂直平分AC;然后由等腰三角形的判定知AE=CE,根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE=∠B;最后根据等角对等边证得CE=BE,所以AE=CE=BE;
(2)由(1)知,DE垂直平分AC,故PC=PA;由等量代换知PB+PC=PB+PA;根据两点之间线段最短可知,当点P、B、A在同一直线上最小,所以点P在E处时最小.
【详解】
解:(1)∵△ADC是等边三角形,DF⊥AC,
∴DF垂直平分线段AC,
∴AE=EC, ∴∠ACE=∠CAE, ∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCE=90°=∠CAE+∠B=90°,
∴∠BCE=∠B, ∴CE=EB, ∴AE=CE=BE.
(2)连接PA,PB,PC.
∵DA⊥AB, ∴∠DAB=90° ,∵∠DAC=60°,
∴∠CAB=30°, ∴∠B=60°,
∴BC=AE=EB=CE=6. ∴AB=12,
∵DE垂直平分AC, ∴PC=AP, ∴PB+PC=PB+PA,
∴当PB+PC最小时,也就是PB+PA最小,即P,B,A共线时最小,
∴当点P与点E共点时,PB+PC的值最小,最小值为12.
23.(2020·内蒙月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
【答案】(1)∠BAD=54°;(2)见解析
【解析】
解:(1)∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−36°=54°.
∴∠BAD=54°;
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
又∵EF∥BC,
∴∠EBC=∠BEF,
∴∠EBF=∠FEB,
∴BF=EF.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质,平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
24.(2020·全国)如图,在中,,O为的中点,D,E分别在上,且.求证:.
【答案】证明见解析.
【解析】
如图,连接,
∵,O为的中点,
∴,(等腰三角形的三线合一),
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
,
∴,
在和中,,
∴,
∴,
∵,
∴.
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