苏教版数学八年级上册课件2-4线段、角的轴对称性（1） 14页

2.4 线段、角的轴对称性（1） 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸 边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码 头应建在什么位置？ A BC 讲授新课 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意 一点. 求证：PA=PB． A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）． 性质定理：线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等． P A B ∟ 温馨提示：这个结论是经常用来证明 两条线段相等的根据之一. ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. 你能写出下面这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真， 则需证明它；如果假，则需用反例说明． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端 点的距离相等． 定理的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上. A B P 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先作 出过点P的AB的垂线(或AB的中点)，然后证明另一个结 论正确. 想一想： 若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得征？ 逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直 平分线上. A C B P M N 如图， ∵PA=PB（已知）， ∴点P在AB的垂直平分线上（到一条 线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上）. 老师提示：这个结论是经常用来证明点在直线上(或 直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发，你还能联想到什么？ 例 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点 C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什 么？ 如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上的一点.试说 明:BE=DE 解:因为AB=AD,BC=DC, 所以点A、C在线段BD的垂直平分线上(到线段两端距 离相等的点在线段的垂直平分线上). 因为两点确定一条直线, 所以直线AC是线段BD的垂直平分线. 又因为点E在AC上,所以BE=DE. 当堂练习 如图,AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E,AC的垂直平 分线分别交BC、AC于点F、G.若△ADF的周长为20 cm,求线 段BC的长. 解:因为DE是AB的垂直平分线,FG是AC的垂直平分 线, 所以BD=AD,FC=FA. 因为△ADF的周长为20 cm,所以AD+DF+FA=20 cm, 所以BC=BD+DF+FC=AD+DF+FA=20 cm. 已知:如图,AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D, 交BC于点E,△ACD的周长是14 cm.求AB和AC的长. 如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,线段AC的垂直 平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,求∠BCD的度数 解:在△ABC中,∵∠B=90°,∠A=40°, ∴∠ACB=50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线, ∴DC=DA. ∴∠DCA=∠A=40°. ∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=50°-40°=10°. 如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且 PA=PB.则下列结论正确的有 (　　) ①AO=BO; ②PO⊥AB; ③∠APO=∠BPO; ④点P在线段AB的垂直平分线上. A.1个　　　　　B.2个 C.3个 D.4个 解:由已知只能知道点P在线段AB的垂直平分线上,而两点才能确定 一条直线,所以无法确定直线l是不是线段AB的垂直平分线,因此结论 ①②③都不一定正确. 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. 课堂小结 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等. A C B P M N