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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

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勾股定理 本章总结提升 ‎                   ‎ 问题1 勾股定理 例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5,13,则第三条边长为________.‎ ‎【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长,并且未表明直角边和斜边时,一定要分类讨论,防止漏解.若题目中已知直角三角形的两条相等的边长,则这两条边一定是直角边.‎ 8‎ 问题2 用拼图证明勾股定理 勾股定理的证明方法有哪些?赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? ‎ 例2 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图14-T-1①或②摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:‎ ‎   ‎ ‎①            ②‎ 图14-T-1‎ 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.‎ 证明:连结DB,DC,过点D作BC边上的高DF,DF=EC=b-a.‎ ‎∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,‎ S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),‎ ‎∴b2+ab=c2+a(b-a).‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ 请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.‎ 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°.‎ 求证:a2+b2=c2.‎ ‎【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”,这两种方法体现的是同一种思想——化归思想.‎ 问题3 勾股定理的应用 勾股定理有哪些应用?运用勾股定理解决实际问题的关键是什么?‎ 8‎ 例3 如图14-T-2所示,一架‎2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上,这时梯脚B到墙底端O的距离为‎0.7米,如果梯子的顶端沿墙垂直下滑‎0.4米,那么梯脚将外移多少米?‎ 图14-T-2‎ 问题4 勾股定理与方程思想的综合运用 已知一个三角形的三边长,怎样判断它是不是直角三角形?你判断的依据是什么?证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?‎ 例4 如图14-T-3,在一棵树的‎10米高B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树‎20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的路程相等,则这棵树有多高?‎ 图14-T-3‎ ‎【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键.‎ 例5 如图14-T-4是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,点A有一只蚂蚁,想到点B去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.‎ 8‎ 图14-T-4‎ ‎【归纳总结】 将立体图形展开为平面图形,构造直角三角形,利用勾股定理求线段的长度.‎ 例6 如图14-T-5所示,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,求这只蚂蚁要爬行的最短路程.‎ 图14-T-5‎ ‎【归纳总结】 确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题,解题思路是将立体图形展开,转化为平面图形,并借助勾股定理解决.当长方体的长、宽、高不同时,不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论,展开方式不同,两点间的距离也可能不同.‎ 例7 如图14-T-6,在四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°,试求∠DAB的度数.‎ 图14-T-6‎ 8‎ 详解详析 ‎【整合提升】‎ 例1 12或 例2 证明:证法一:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.‎ ‎∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△AED=ab+b2+ab,‎ S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),‎ ‎∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ 证法二:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.‎ ‎∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=b(a+b)+ab,‎ S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),‎ ‎∴b(a+b)+ab=ab+c2+a(b-a).‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ 例3 [解析] 如图,AB=CD=‎2.5米,BO=‎0.7米,由勾股定理求得AO=‎2.4米.因此,OC=2.4-0.4=2(米).再由勾股定理求出OD的长度,则可求出BD的长度,即梯脚外移的距离.‎ 解:如图,在Rt△OAB中,‎ 8‎ AO===2.4(米),OC=2.4-0.4=2(米).‎ 在Rt△COD中,‎ OD===1.5(米),‎ ‎∴BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8(米).‎ 即梯脚将外移‎0.8米.‎ 例4 解:设BD=x米,则AD=(10+x)米,CD=(30-x)米.‎ 根据题意,得(30-x)2-(10+x)2=202,解得x=5.‎ 即树的高度是10+5=15(米).‎ 例5 [答案] 13‎ ‎[解析] 将台阶上表面展开,如图,‎ 因为AC=3×3+1×3=12,BC=5,‎ 所以AB2=AC2+BC2=169,‎ 所以AB=13dm,‎ 所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.‎ 例6 [解析] 沿长方体表面从点A爬到点B,考虑路线最短的问题有三种途径:(1)从右侧面和前面走;(2)从右侧面和上底面走;(3)从后侧面和上底面走.‎ 8‎ 解:沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种:‎ ‎(1)沿右侧面和前面走时,如图①所示,由勾股定理,得AB===25,即路线长l1=25.‎ ‎(2)沿右侧面和上底面走时,如图②所示,由勾股定理,得AB==,即路线长l2=.‎ ‎(3)沿后侧面和上底面走时,如图③所示,由勾股定理,得AB==,即路线长l3=.‎ 因为l1<l2<l3,故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.‎ 例7 解:如图,连结AC.‎ 在Rt△ABC中,∠B=90°,且AB=BC,‎ 所以∠BAC=45°.‎ 由AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,‎ 设AB=BC=2x,CD=3x,DA=x.‎ 因为∠B=90°,‎ 所以AC2=AB2+BC2=8x2,‎ 所以AC2+AD2=8x2+x2=9x2=CD2,‎ 故∠DAC=90°,‎ 所以∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°.‎ 8‎ 8‎