2020八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习（新版）华东师大版 8页

勾股定理 本章总结提升 ‎　 　　 　　　 　　 　　　　　 　‎ 问题1　勾股定理 例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．‎ ‎【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．‎ 8‎ 问题2　用拼图证明勾股定理 勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ ‎ 例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：‎ ‎　　　‎ ‎①　　　　　　　　　　 　②‎ 图14－T－1‎ 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.‎ 证明：连结DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.‎ ‎∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，‎ S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，‎ ‎∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．‎ 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.‎ 求证：a2＋b2＝c2.‎ ‎【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．‎ 问题3　勾股定理的应用 勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？‎ 8‎ 例3 如图14－T－2所示，一架‎2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯脚B到墙底端O的距离为‎0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑‎0.4米，那么梯脚将外移多少米？‎ 图14－T－2‎ 问题4　勾股定理与方程思想的综合运用 已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？‎ 例4 如图14－T－3，在一棵树的‎10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树‎20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？‎ 图14－T－3‎ ‎【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．‎ 例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.‎ 8‎ 图14－T－4‎ ‎【归纳总结】 将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．‎ 例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．‎ 图14－T－5‎ ‎【归纳总结】 确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．‎ 例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．‎ 图14－T－6‎ 8‎ 详解详析 ‎【整合提升】‎ 例1 12或 例2　证明：证法一：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.‎ ‎∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝ab＋b2＋ab，‎ S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，‎ ‎∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 证法二：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.‎ ‎∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝b(a＋b)＋ab，‎ S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，‎ ‎∴b(a＋b)＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 例3　[解析] 如图，AB＝CD＝‎2.5米，BO＝‎0.7米，由勾股定理求得AO＝‎2.4米．因此，OC＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD的长度，则可求出BD的长度，即梯脚外移的距离．‎ 解：如图，在Rt△OAB中，‎ 8‎ AO＝＝＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．‎ 在Rt△COD中，‎ OD＝＝＝1.5(米)，‎ ‎∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．‎ 即梯脚将外移‎0.8米．‎ 例4　解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．‎ 根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.‎ 即树的高度是10＋5＝15(米)．‎ 例5　[答案] 13‎ ‎[解析] 将台阶上表面展开，如图，‎ 因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，‎ 所以AB2＝AC2＋BC2＝169，‎ 所以AB＝13dm，‎ 所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.‎ 例6　[解析] 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．‎ 8‎ 解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：‎ ‎(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝＝＝25，即路线长l1＝25.‎ ‎(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝＝，即路线长l2＝.‎ ‎(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝＝，即路线长l3＝.‎ 因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.‎ 例7　解：如图，连结AC.‎ 在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝BC，‎ 所以∠BAC＝45°.‎ 由AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，‎ 设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.‎ 因为∠B＝90°，‎ 所以AC2＝AB2＋BC2＝8x2，‎ 所以AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，‎ 故∠DAC＝90°，‎ 所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.‎ 8‎ 8‎