浙教版数学八年级下册《一元二次方程的应用》（第2课时）同步练习 6页

第 2 课时 面积问题[学生用书 B16] 1．在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成 一幅矩形挂图，如图 2－3－2 所示，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2， 设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是 ( D ) 图 2－3－2 A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2－65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x 2＋65x－350＝0 【解析】 依题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，整理，得 x2＋65x－350＝0， 故选 D. 2．如图 2－3－3 所示，长方形 ABCD 的周长是 20 cm，以 AB，AD 为边向外作 正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方形 ABEF 和正方形 ADGH 的面积之和 为 68 cm2，那么长方形 ABCD 的面积是 ( B )[来 A．21 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．9 cm2 【解析】 设 AB＝x，则 AD＝10－x，可得方程 x2＋(10－x)2＝68，解得 x1＝8， x2＝2，所以长方形 ABCD 的面积等于 x(10－x)＝16，故选 B. 3．[2013·南京]已知如图 2－3－4 所示的图形的面积为 24.根据图中的条件，可列 出方程：__答案不唯一，如(x＋1)2＝25__. 图 2－3－4 4．[2012·青岛]如图 2－3－5 所示，在一块长为 22 米、宽为 17 米的长方形地面 上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)， 剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米．若设道路宽为 x 米，则根据 题意可列出方程为__(22－x)(17－x)＝300__． 图 2－3－5 5．[2012·湘潭]如图 2－3－6 所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌 三面墙，围成一个长方形花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25 m)，现在已备 足可以砌 50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300 m2. 图 2－3－6 解：设 AB 长为 x m，由题意可得 x(50－2x)＝300， 解得 x1＝10，x2＝15. 当 x＝10 时，AD＝30>25，所以 x＝10 应舍去； 当 x＝15 时，AD＝20<25，所以 x＝15 满足条件． 答：可设计矩形花园的长为 20 m，宽为 15 m. 6．[2013·连云港]小林准备进行如下操作实验：把一根长为 40 cm 的铁丝剪成两 段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58 cm2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2”，他的说法 对吗？请说明理由． 解：(1)设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm. 由题意，得 x2＋(10－x)2＝58，解得 x1＝3，x2＝7. 4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)， 所以小林应把绳子剪成 12 cm 和 28 cm 的两段． (2)假设能围成面积之和为 48 cm2 的两个正方形，由(1)，得 x2＋(10－x)2＝48， 化简，得 x2－10x＋26＝0. 因为 b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， 所以此方程没有实数根， 所以小峰的说法是对的． 7．[2012·襄阳]为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位 准备将院内一块长 30 m，宽 20 m 的长方形空地建成一个长方形花园，要求 在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如 图 2－3－7 所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道进出口的宽度应 为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形) 图 2－3－7[ 解：设小道进出口的宽度为 x m， 依题意，得(30－2x)(20－x)＝532， 整理，得 x2－35x＋34＝0， 解得 x1＝1，x2＝34. ∵34＞30(不合题意，舍去)， ∴x＝1. 答：小道进出口的宽度应为 1 m. 8．[2012·绍兴]把一张边长为 40 cm 的正方形硬纸板进行适当地裁剪，折成一个 长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)． (1)如图 2－3－8 所示，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方 形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． 图 2－3－8 要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多 少？ (2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些长方形(即剪掉的长方形至少有一条边 在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的 一个长方体盒子的表面积为 550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需 求出符合要求的一种情况)． 解：(1)设剪掉的正方形的边长为 x cm， 则(40－2x)2＝484， 即 40－2x＝±22，解得 x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9. ∴剪掉的正方形的边长为 9 cm. (2)在如答图所示的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为 x cm，由题意， 得 第 8 题答图 2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550， 解得 x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15， ∴剪掉的正方形的边长为 15 cm. 此时长方体盒子的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 5 cm. 9．如图 2－3－9，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发． 图 2－3－9 (1)几秒钟后，P，Q 间的距离等于 4 2 cm? (2)几秒钟后，△BPQ 的面积等于△ABC 面积的一半？ 解：(1)设 x 秒后 PQ＝4 2 cm， 则 BP＝6－x，BQ＝2x， ∴(6－x)2＋(2x)2＝(4 2)2， 解得 x1＝0.4，x2＝2(舍去)， ∴0.4 秒后，P，Q 间的距离等于 4 2 cm. (2)设 y 秒钟后，△BPQ 的面积等于△ABC 面积的一半， 则1 2(6－y)·2y＝1 2×3×6×1 2 ， 解得 y1＝6－3 2 2 ，y2＝6＋3 2 2 (舍去)] ∴6－3 2 2 秒后，△BPQ 的面积等于△ABC 面积的一半． 10．在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是 荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案，如图 2－3－10 所示． 图 2－3－10 (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同 意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理 由； (2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影， 并加以说明． 解：(1)不符合条件 设小路宽度均为 x m，根据题意，得 (16－2x)(12－2x)＝1 2×16×12， 解这个方程得 x1＝2，x2＝12， 但 x2＝12 不符合题意，应舍去， ∴x＝2， ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为 2 m. (2)答案不唯一，例如： 第 10 题答图