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2018-2019学年山东省济南市商河县八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 若a0 B.−a>−b C.a+2>b+2 D.ac2x3的一个解,求a的取值范围为( )
A.a>3 B.a<3 C.a<4 D.a>4
10. 若关于x的不等式组x>3x3
11. 如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且AD=AE,则∠BAD与∠EDC的关系为( )
A.∠BAD=∠EDC B.∠BAD=2∠EDC
C.∠BAD+∠EDC=45∘ D.∠BAD+∠EDC=60∘
12. 把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90∘,∠A=45∘,∠D=30∘,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15∘得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为( )
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A.32 B.5 C.4 D.31
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
如图,在⊙O中,AB=AC,∠A=30∘,则∠B=________∘.
如图,将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF.若三角形ABC的周长为14cm,则四边形ABFD的周长为________.
如图,△ABC中,∠C=90∘,AD是角平分线,若CD=2,则点D到AB的距离等于________.
小明用30元钱买笔记本和练习本共30本,已知每个笔记本4元,每个练习本0.4元,那么他最多能买笔记本________本.
若关于x的不等式(1−a)x>2可化为x<21−a,则a的取值范围是________.
如图,在△ABC中,AB=AC=5,底边BC=6,点P是底边BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE=________.
三、解答题(本大题共8个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,)
因式分解:
①m3n−mn
②ax2−4ax+4a
解不等式(组)并将解集在数轴上表示出来:
(1)−2x+12×33,
∴ a<4,
10.
【答案】
A
【考点】
不等式的解集
【解析】
原不等式组无解,即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集.
【解答】
∵ 关于x的不等式组x>3x1
【考点】
不等式的性质
【解析】
依据不等式的性质解答即可.
【解答】
∵ 不等式(1−a)x>2可化为x<21−a,
∴ 1−a<0,
解得:a>1.
【答案】
4.8
【考点】
勾股定理
等腰三角形的性质
【解析】
连接AP,过A作AF⊥BC于F,由图可得:S△ABC=S△ABP+S△ACP,代入数值,解答出即可.
【解答】
连接AP,过A作AF⊥BC于F,
∵ AB=AC=5,
∴ BF=CF=12BC=3,
由勾股定理得:AF=52−32=4,
由图可得,S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∵ PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,
∴ 12BC⋅AF=12AB⋅PD+12AC⋅PE,
12×6×4=12×5PD+12×5PE,
24=5(PD+PE),
∴ PD+PE=4.8,
三、解答题(本大题共8个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,)
【答案】
①原式=mn(m2−1)=mn(m+1)(m−1).
②原式=a(x2−4x+4)=a(x−2)2.
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
①首先提公因式mn,再利用平方差进行二次分解即可;
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②首先提公因式a,再利用完全平方公式进行分解即可.
【解答】
①原式=mn(m2−1)=mn(m+1)(m−1).
②原式=a(x2−4x+4)=a(x−2)2.
【答案】
移项,得:−2x−x<4−1,
合并同类项,得:−3x<3,
系数化为1,得:x>−1,
将解集表示在数轴上如下:
解不等式2x−13−5x+12≤1,得:x≥−1,
解不等式5x−1<3(x+1),得:x<2,
则不等式组的解集为−1≤x<2,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
【考点】
解一元一次不等式组
解一元一次不等式
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
(1)根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】
移项,得:−2x−x<4−1,
合并同类项,得:−3x<3,
系数化为1,得:x>−1,
将解集表示在数轴上如下:
解不等式2x−13−5x+12≤1,得:x≥−1,
解不等式5x−1<3(x+1),得:x<2,
则不等式组的解集为−1≤x<2,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
【答案】
如图所示:
(2, −4),(−a, −b)
【考点】
作图-旋转变换
【解析】
(1)首先找出对应点的位置,再顺次连接即可;
(2)①根据图形可直接写出坐标;②根据关于原点对称点的坐标特点可得答案.
【解答】
如图所示:
①根据图形可得A1坐标为(2, −4);
②点P1的坐标为(−a, −b).
故答案为:(2, −4);(−a, −b).
【答案】
证明:∵ ∠A=∠D=90∘,AC=BD,BC=BC,
∴ Rt△BAC≅Rt△CDB(HL)
∴ ∠ACB=∠DBC.
∴ ∠OCB=∠OBC.
∴ OB=OC(等角对等边).
【考点】
全等三角形的性质
直角三角形全等的判定
【解析】
因为∠A=∠D=90∘,AC=BD,BC=BC,知Rt△BAC≅Rt△CDB(HL),所以∠ACB=∠DBC,即∠OCB=∠OBC,所以有OB=OC.
【解答】
证明:∵ ∠A=∠D=90∘,AC=BD,BC=BC,
∴ Rt△BAC≅Rt△CDB(HL)
∴ ∠ACB=∠DBC.
∴ ∠OCB=∠OBC.
∴ OB=OC(等角对等边).
【答案】
kx+b=0,y=kx+by=k1x+b1 ,kx+b>0,kx+b<0
x≥1
【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
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(1)①由于点B是函数y=kx+b与x轴的交点,因此B点的横坐标即为方程kx+b=0的解;
②因为C点是两个函数图象的交点,因此C点坐标必为两函数解析式联立所得方程组的解;
③函数y=kx+b中,当y>0时,kx+b>0,因此x的取值范围是不等式kx+b>0的解集;
同理可求得④的结论.
(2)由图可知:在C点右侧时,直线y=kx+b的函数值要小于直线y=k1x+b1的函数值.
【解答】
根据观察得:①kx+b=0,②y=kx+by=k1x+b1 ,③kx+b>0,④kx+b<0;
故答案为:kx+b=0,y=kx+by=k1x+b1 ,kx+b>0,kx+b<0;
∵ 点C的坐标为(1, 3),
∴ 不等式kx+b≤k1x+b1的解集为x≥1.
故答案为:x≥1.
【答案】
结论:AO=CM.理由如下:
∵ ∠OBM=60∘,OB=BM,
∴ △OBM是等边三角形,
∴ BM=OB=10,∠ABC=∠OBC=60∘,
∴ ∠ABO=∠CBM,
在△AOB和△CMB中,
∵ OB=BM,∠ABO=∠CBM,AB=BC,
∴ △AOB≅△CMB(SAS),
∴ OA=MC.
△OMC是直角三角形;理由如下:
在△OMC中,OM2=100,OC2+CM2=62+82=100,
∴ OM2=OC2+CM2,
∴ △OMC是直角三角形.
【考点】
勾股定理
旋转的性质
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
(1)结论:AO=CM.证明△AOB≅△CMB(SAS)即可解决问题.
(2)利用勾股定理的逆定理即可解决问题.
【解答】
结论:AO=CM.理由如下:
∵ ∠OBM=60∘,OB=BM,
∴ △OBM是等边三角形,
∴ BM=OB=10,∠ABC=∠OBC=60∘,
∴ ∠ABO=∠CBM,
在△AOB和△CMB中,
∵ OB=BM,∠ABO=∠CBM,AB=BC,
∴ △AOB≅△CMB(SAS),
∴ OA=MC.
△OMC是直角三角形;理由如下:
在△OMC中,OM2=100,OC2+CM2=62+82=100,
∴ OM2=OC2+CM2,
∴ △OMC是直角三角形.
【答案】
从纸箱厂定制购买纸箱费用:y1=4x,
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用:y2=2.4x+16000.
y2−y1=2.4x+16000−4x=16000−1.6x,
由y1=y2得,16000−1.6x=0,
解得x=10000,
∴ 当x<10000时,y1<y2,
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.
当x>10000时,y1>y2,
选择方案二,加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低.
当x=10000时,y1=y2,
选择两个方案的费用相同.
【考点】
一次函数的应用
【解析】
(1)由已知条件可以得出两个方案的解析式y1=4x,y2=2.4x+16000.
(2)使y2−y1得,16000−1.6x=0,解得x=10000,讨论x的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点.
【解答】
从纸箱厂定制购买纸箱费用:y1=4x,
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用:y2=2.4x+16000.
y2−y1=2.4x+16000−4x=16000−1.6x,
由y1=y2得,16000−1.6x=0,
解得x=10000,
∴ 当x<10000时,y1<y2,
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.
当x>10000时,y1>y2,
选择方案二,加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低.
当x=10000时,y1=y2,
选择两个方案的费用相同.
【答案】
60∘,2α
小扬同学猜想是正确的,证明如下:
过B作BN⊥CD于N,过E作EM⊥AC于M,如图3,
∵ ∠ACB=
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∠DCE=90∘,
∴ ∠1+∠2=90∘,∠3+∠2=90∘,
∴ ∠1=∠3,
∵ BN⊥CD于N,EM⊥AC于M,
∴ ∠BNC=∠EMC=90∘,
∵ △ACB≅△DCE,
∴ BC=EC,
在△CBN和△CEM中,
∠BNC=∠EMC,∠1=∠3,BC=EC,
∴ △CBN≅△CEM(AAS),
∴ BN=EM,
∵ S△BDC=12⋅CD⋅BN,S△ACE=12⋅AC⋅EM,
∵ CD=AC,
∴ S△BDC=S△ACE.
【考点】
旋转的性质
【解析】
(1)①证明△ADC是等边三角形即可.
②如图2中,作CH⊥AD于H.想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题.
(2)小扬同学猜想是正确的.过B作BN⊥CD于N,过E作EM⊥AC于M,如图3,想办法证明△CBN≅△CEM(AAS)即可解决问题.
【解答】
①∵ ∠B=30∘,∠ACB=90∘,
∴ ∠CAD=90∘−30∘=60∘,
∵ CA=CD,
∴ △ACD是等边三角形,
∴ ∠ACD=60∘,
∴ 旋转角为60∘,
故答案为60∘.
②如图2中,作CH⊥AD于H.
∵ CA=CD,CH⊥AD,
∴ ∠ACH=∠DCH,
∵ ∠ACH+∠CAB=90∘,∠CAB+∠B=90∘,
∴ ∠ACH=∠B,
∴ ∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α,
∴ 旋转角为2α.
故答案为2α.
小扬同学猜想是正确的,证明如下:
过B作BN⊥CD于N,过E作EM⊥AC于M,如图3,
∵ ∠ACB=∠DCE=90∘,
∴ ∠1+∠2=90∘,∠3+∠2=90∘,
∴ ∠1=∠3,
∵ BN⊥CD于N,EM⊥AC于M,
∴ ∠BNC=∠EMC=90∘,
∵ △ACB≅△DCE,
∴ BC=EC,
在△CBN和△CEM中,
∠BNC=∠EMC,∠1=∠3,BC=EC,
∴ △CBN≅△CEM(AAS),
∴ BN=EM,
∵ S△BDC=12⋅CD⋅BN,S△ACE=12⋅AC⋅EM,
∵ CD=AC,
∴ S△BDC=S△ACE.
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