2020-2021冀教版八年级数学上学期期中测试卷共3套（附答案） 33页

‎2020-2021学年八年级数学上学期期中测试卷01（冀教版）‎ 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）‎ ‎1．（2020•渝中区二模）分式有意义，的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：．‎ 故选：．‎ ‎2．（2019秋•江油市期末）能使分式的值为零的所有的值是　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【解答】解：，即，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎3．（2020•随州）的计算结果为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：原式 ‎．‎ 故选：．‎ ‎4．（2020•营口模拟）若方程的根为正数，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．且 ‎【解答】解：方程两边都乘以得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 33‎ ‎，‎ 方程的根为正数，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 分式方程的解为正数，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 即的范围是，‎ 故选：．‎ ‎5．（2020•松北区一模）方程解是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：两边都乘以，得：，‎ 解得：，‎ 检验：时，，‎ 原分式方程的解为，‎ 故选：．‎ ‎6．（2020•恩平市模拟）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，不能判定，故错误；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确．‎ 故选：．‎ 33‎ ‎7．（2019秋•肇庆期末）如图，已知，，，不正确的等式是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，，，‎ ‎，，，，‎ 故、、正确；‎ 的对应边是而非，所以错误．‎ 故选：．‎ ‎8．（2019秋•兴安盟期末）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由画法得，，‎ 而，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即平分．‎ 故选：．‎ ‎9．（2020春•嘉荫县期末）有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：（1）是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；‎ ‎（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；‎ 33‎ ‎（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；‎ ‎（4）正确；‎ 故选：．‎ ‎10．（2009秋•招远市期末）下列结论中，正确的是　　‎ A．1的平方根是1 B．的平方根是 ‎ C．的平方根是 D．0没有平方根 ‎【解答】解：、1的平方根是，故本选项错误；‎ ‎、没有平方根，故本选项错误；‎ ‎、的平方根是，故本选项正确；‎ ‎、0的平方根是0，故本选项错误，‎ 故选：．‎ ‎11．（2020•广饶县一模）的算术平方根为　　‎ A．9 B． C．3 D．‎ ‎【解答】解：，‎ 的算术平方根为3．‎ 故选：．‎ ‎12．（2019•开平区一模）某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是　　‎ A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成 ‎ B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成 ‎ C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成 ‎ D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成 ‎【解答】解：，‎ 由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成．‎ 故选：．‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎13．（2020春•莲湖区期末）多项式与多项式的公因式是　　．‎ 33‎ ‎【解答】解：①；‎ ‎②；‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2019秋•遂宁期末）若、为实数，且，则的值　3　．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，，‎ 解得，，，‎ 则，‎ 故答案为：3．‎ ‎15．（2020春•牡丹江期末）若，，则　293.8　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎．‎ 故答案为：293.8．‎ ‎16．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件个，可列方程　　．‎ ‎【解答】解：设原计划每天加工零件个，则实际每天加工零件个，‎ 依题意，得：．‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2019•东营二模）若关于的方程无解，则的值是　1或　．‎ ‎【解答】解：去分母得：，‎ 整理得：，‎ 当，即时，方程无解；‎ 33‎ 当时，，即时，方程无解，此时，即，‎ 故答案为：1或．‎ ‎18．（2020春•雨花区校级期末）如图所示，已知在中，，，平分交于点，于点，的周长为，则　　．‎ ‎【解答】解：，，平分，‎ ‎．‎ 在与，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 的周长，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 三．解答题（共8小题，满分46分）‎ ‎19．（4分）（2017春•黔南州期末）比较与0.5的大小．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ 33‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎20．（6分）（2020春•西华县期中）求下列各式中的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎【解答】解：（1）开方得：或，‎ 解得：或；‎ ‎（2）方程整理得：，‎ 开立方得：，‎ 解得：；‎ ‎（3）方程整理得：，‎ 开立方得：．‎ ‎21．（4分）（2020•锦江区模拟）先化简，再求值：，其中．‎ ‎【解答】解：‎ ‎．‎ ‎，‎ 原式．‎ ‎22．（4分）（2019秋•南开区期末）解方程：．‎ ‎【解答】解：两边都乘以，得：，‎ 33‎ 解得：，‎ 检验：当时，，‎ 所以原分式方程的解为．‎ ‎23．（6分）（2020•开远市模拟）已知：如图，点、、、在一条直线上，，且 求证：．‎ ‎【解答】证明：，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎．‎ ‎24．（6分）（2020•雁塔区校级三模）如图，已知，为上一点，请用尺规作图的方法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎【解答】解：如图，点即为所求．‎ ‎25．（8分）（2018春•庆阳期中）已知是的算术平方根，是 33‎ 的立方根，试求的值．‎ ‎【解答】解：是的算术平方根，是的立方根，‎ ‎，，‎ 解得：，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎26．（8分）（2020•安徽模拟）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．‎ ‎（1）这项工程的规定时间是多少天？‎ ‎（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？‎ ‎【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，‎ 依题意，得：，‎ 解得：，‎ 经检验，是原方程的解，且符合题意．‎ 答：这项工程的规定时间是30天．‎ ‎（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，‎ ‎（天）．‎ 答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．‎ 33‎ ‎2020-2021学年八年级数学上学期期中测试卷02（冀教版）‎ 一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）‎ ‎1．（2020•昆明模拟）若，，且，则的值为　　‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【解答】解：，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ ‎，，‎ 则的值为：或．‎ 故选：．‎ ‎2．（2020•江汉区校级一模）分式有意义的条件是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据分式有意义的条件，得 解得．‎ 故选：．‎ ‎3．（2019春•建邺区校级月考）下列各分式中，是最简分式的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：．，不符合题意；‎ ‎．，不符合题意；‎ ‎．是最简分式，符合题意；‎ ‎．，不符合题意；‎ 故选：．‎ ‎4．（2020•恩平市模拟）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是　　‎ 33‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，不能判定，故错误；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确．‎ 故选：．‎ ‎5．（2020•龙岗区模拟）的立方根是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：‎ 的立方根是，‎ 的立方根是．‎ 故选：．‎ ‎6．（2019秋•东台市期末）已知的三边长分别为3，4，5，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则的值为　　‎ A．2 B．2或 C．或 D．2或或 ‎【解答】解：与全等，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故选：．‎ ‎7．（2019秋•永安市期末）下面四个数中与最接近的数是　　‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：，，‎ 又 与最接近的数是3．‎ 33‎ 故选：．‎ ‎8．（2020春•宁阳县期末）　　‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎【解答】解：；‎ 故选：．‎ ‎9．（2019秋•琼中县期末）计算的结果是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：原式；‎ 故选：．‎ ‎10．（2019秋•江阴市期中）若实数、满足，则等于　　‎ A．0 B．5 C．4 D．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，，‎ 解得，，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎11．（2019秋•长春期末）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：去分母得：，‎ 故选：．‎ ‎12．（2020春•渭滨区期末）若分式方程有增根，则等于　　‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：分式方程去分母得：，‎ 由分式方程有增根，得到，即，‎ 把代入整式方程得：，‎ 故选：．‎ 33‎ ‎13．（2019秋•高邑县期末）如图，已知，，于，且，若，，则的长为　　‎ A．3 B．5 C．4 D．不确定 ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎14．（2019秋•新宾县期末）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说套，由题意列方程正确的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：若设书店第一次购进该科幻小说套，‎ 由题意列方程正确的是，‎ 故选：．‎ ‎15．（2019秋•丰南区期末）如图，，，，则　　‎ 33‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎16．（2015秋•碑林区期中）已知大家以相同的效率做某件工作，人做天可以完工，若增加人，则提前完工的天数为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设工作总量为1，一人一天的效率是，增加人后的天数是，‎ 故提前天数为．‎ 故选：．‎ 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）‎ ‎17．（2020春•大兴区校级期中）的相反数是　　，的绝对值是　 　．‎ ‎【解答】解：的相反数：．‎ ‎．‎ 故答案是：；．‎ ‎18．（2020春•陇西县期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　．‎ ‎【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，‎ 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，‎ 33‎ 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．‎ ‎19．（2019秋•武侯区期末）若实数，满足，则的平方根是　　．‎ ‎【解答】解：和有意义，则，‎ 故，‎ 则，‎ 的平方根是：．‎ 故答案为：．‎ ‎20．（2020•西宁二模）如图，已知线段，作，使；连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则长为　　．‎ ‎【解答】解：：，则，‎ 由勾股定理得，，‎ 则，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ 三．解答题（共6小题，满分40分）‎ ‎21．（6分）（2017春•吴中区期中）（1）先化简，再求代数式的值：，其中．‎ ‎（2）解方程：．‎ ‎【解答】解：（1）原式，‎ 当时，原式；‎ ‎（2）去分母得：，‎ 解得：，‎ 33‎ 经检验是分式方程的解．‎ ‎22．（4分）（2014秋•白银校级期中）已知的平方根是3和，4是的算术平方根，求的值．‎ ‎【解答】解：的平方根是3和，‎ ‎．‎ ‎．‎ 是的算术平方根，‎ ‎，即．‎ 解得：．‎ ‎．‎ ‎23．（6分）（2019秋•瑶海区期末）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分．其中正确的有　②　（请写序号，少选、错选均不得分）．‎ ‎【解答】（1）证明：，‎ ‎，‎ 即，‎ 在和中，‎ ‎，‎ 33‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（3）结论：②‎ 理由：作于，于．‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，作于，于，‎ 平分．‎ 不妨设①成立，则，则，显然不可能，故①错误．‎ 故答案为②．‎ ‎24．（8分）（2020春•会宁县期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则 33‎ 是“和谐分式”．‎ ‎（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是　①③④　（填序号）；‎ ‎①；②；③；④‎ ‎（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：‎ ‎　　（要写出变形过程）；‎ ‎（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．‎ ‎【解答】解：（1）①，是和谐分式；‎ ‎②，不是和谐分式；‎ ‎③，是和谐分式；‎ ‎④，是和谐分式；‎ 故答案为：①③④．‎ ‎（2），‎ 故答案为：．‎ ‎（3）原式 ‎，‎ 当或时，分式的值为整数，‎ 此时或或1或，‎ 又分式有意义时、1、、，‎ 33‎ ‎．‎ ‎25．（8分）（2020•温岭市一模）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，另一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．‎ ‎【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需小时，则走普通公路需小时，‎ 根据题意得：，‎ 解得 经检验，原方程的根，‎ 答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．‎ ‎26．（8分）（2016春•海门市期末）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．‎ ‎（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；‎ ‎（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，，‎ 又，‎ 在和中，‎ 33‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 即线段与线段垂直．‎ ‎（2）①若，‎ 则，，‎ ‎，‎ 解得 ‎；‎ ‎②若，‎ 则，，‎ ‎，‎ 解得 ‎；‎ 综上所述，存在 或 使得与全等．‎ 33‎ ‎2020-2021学年八年级数学上学期期中测试卷03（冀教版）‎ 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）‎ ‎1．（2020•广饶县一模）的算术平方根为　　‎ A．9 B． C．3 D．‎ ‎【解答】解：，‎ 的算术平方根为3．‎ 故选：．‎ ‎2．（2019秋•江油市期末）能使分式的值为零的所有的值是　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【解答】解：，即，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎3．（2019秋•陈仓区期末）下列四个命题中，真命题有　　‎ ‎①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．‎ ‎②如果和是对顶角，那么．‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个内角．‎ ‎④如果，那么．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；‎ 如果和是对顶角，那么，所以②正确；‎ 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；‎ 如果，那么，所以④错误．‎ 故选：．‎ ‎4．（2020春•资阳期末）在代数式中，，，，分式共有　　‎ 33‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：代数式中，是整式，，，是分式．‎ 故选：．‎ ‎5．（2020•恩平市模拟）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，不能判定，故错误；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确；‎ ‎、添加，可根据判定，故正确．‎ 故选：．‎ ‎6．（2020春•瑶海区校级月考）有一个数轴转换器，原理如图所示，则当输入的为64时，输出的是　　‎ A．8 B． C． D．18‎ ‎【解答】解：64的算术平方根是8，‎ ‎8的算术平方根是．‎ 故选：．‎ ‎7．（2019春•岳麓区校级期中）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　　‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【解答】解：，，，且墨迹覆盖的范围是，‎ 能被墨迹覆盖的数是．‎ 33‎ 故选：．‎ ‎8．（2019秋•天峨县期末）如图，和相交于点，若，用“”证明还需　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：、，不能根据证两三角形全等，故本选项错误；‎ ‎、在和中 ‎，‎ ‎，故本选项正确；‎ ‎、两三角形相等的条件只有和，不能证两三角形全等，故本选项错误；‎ ‎、根据和，不能证两三角形全等，故本选项错误；‎ 故选：．‎ ‎9．（2014春•富平县期末）如图，，且，是对应边．下面四个结论中不正确的是　　‎ A．和的面积相等 B．和的周长相等 ‎ C． D．，且 ‎【解答】解：，，是对应边 ‎，，和的面积相等，和的周长相等 则选项，，一定正确．‎ 由不一定能得到，因而不一定成立 故选：．‎ 33‎ ‎10．（2020•枣庄）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，得，‎ 去分母得：，‎ 解得：，‎ 经检验是分式方程的解．‎ 故选：．‎ ‎11．（2020•南岸区模拟）如图，已知，用尺规在上确定一点，使，则下列四种不同方法的作图中，作法正确的是　　‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：用尺规在上确定一点，使，如图所示：‎ 33‎ ‎，‎ 先做出的垂直平分线，即可得出，即可得出．‎ 故选：．‎ ‎12．（2014•吉林）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为千米小时，则所列方程正确的为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设小军骑车的速度为千米小时，则小车速度是千米小时，由题意得，‎ ‎．‎ 故选：．‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎13．（2019秋•镇江期末）小亮用天平称得一个罐头的质量为，近似数2.026精确到0.1是　2.0　．‎ ‎【解答】解：（精确到．‎ 故答案为2.0．‎ ‎14．（2019秋•宜兴市期中）已知，，，则的值是　　．‎ ‎【解答】解：①，‎ ‎②，‎ ‎③，‎ ‎①②得：‎ ‎②③得：④‎ ‎①④得：‎ 所以原式．‎ 故答案为．‎ 33‎ ‎15．（2020春•三台县期中）已知，则的值约为　0.048　．‎ ‎【解答】解：把0.0023向右移动4位，即可得到23，‎ 显然只需对4.80向左移动2位得到0.048．‎ 故答案为：0.048．‎ ‎16．（2020春•新蔡县期末）若分式方程要产生增根，则　2或0　．‎ ‎【解答】解：去分母得：，‎ 由分式方程有增根，得到或，‎ 当时，；当时，，‎ 综上，或0．‎ 故答案为：2或0．‎ ‎17．（2020•宿州模拟）在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于　　．‎ ‎【解答】解：延长到使，连接，如图，‎ ‎，，‎ 为等边三角形，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 33‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 而，‎ 为等边三角形，‎ ‎，，‎ 在和 中 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎18．（2020•贵州三模）的平方根是　　．‎ ‎【解答】解：，9的平方根是，‎ 的平方根是．‎ 故答案为．‎ ‎19．（2020春•木兰县期中）如图，在正方形中，点在上，点在上，连接、、，，，，则正方形的边长为　6　．‎ 33‎ ‎【解答】解：延长至点，使，并连接，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设正方形的边长为，，，，‎ 在中，，‎ 即，‎ 解得：，‎ 33‎ 即正方形的边长为6，‎ 故答案为：6．‎ ‎20．（2020春•塔河县校级期末）由下列等式，，所提示的规律，可得出一般性的结论是　为大于等于2的自然数）　（用含的式子表示）‎ ‎【解答】解：由等式，，所提示的规律，用含的式子表示可得出一般性的结论是为大于等于2的自然数）．‎ 故答案为为大于等于2的自然数）．‎ 三．解答题（共5小题，满分40分）‎ ‎21．（6分）（2015秋•南陵县期末）（1）先化简，再求值：，其中．‎ ‎（2）解方程：．‎ ‎【解答】解：（1）原式，‎ 当时，原式；‎ ‎（2）方程整理得：，‎ 去分母得：，‎ 移项合并得：，‎ 解得：，‎ 经检验是分式方程的解．‎ ‎22．（8分）（2015春•乌兰察布校级期中）若，求的立方根．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 33‎ 或27，‎ 的立方根为或3．‎ ‎23．（8分）（2019秋•瑶海区期末）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分．其中正确的有　②　（请写序号，少选、错选均不得分）．‎ ‎【解答】（1）证明：，‎ ‎，‎ 即，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ 33‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（3）结论：②‎ 理由：作于，于．‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，作于，于，‎ 平分．‎ 不妨设①成立，则，则，显然不可能，故①错误．‎ 故答案为②．‎ ‎24．（9分）（2019秋•五峰县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．‎ ‎（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？‎ ‎（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？‎ ‎【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天，‎ 依题意得：，‎ 解得，‎ 33‎ 检验，当时，，‎ 所以原方程的解为．‎ 所以（天）．‎ 答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；‎ ‎（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，‎ 则有，‎ 解得．‎ 需要施工的费用：（万元）．‎ ‎，‎ 工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．‎ ‎25．（9分）（2019秋•正定县期中）如图（1），中，，中，，现把两个三角形的点重合，且使，连接，．求证：．‎ 若将绕点旋转至图（2），（3）所示的情况时，其余条件不变，与还相等吗？利用图（3）说明理由．‎ ‎【解答】证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 33‎ 解：图（2），图（3）中，和还相等，‎ 理由是：如图（3），，，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 33‎