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- 2021-11-01 发布
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14.1.1 同底数幂的乘法
教学目的：
1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；
2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；
教学重点：同底数幂的乘法法则
难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程
一、创设情境，激发求知欲
课本第 页的引例
二、复习提问
1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2.指出下列各式的底数与指数：
(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23．
其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？
三、讲授新课
1．（课本 页 问题） 利用乘方概念计算：1014×103．
2、 计算观察，探索规律：完成课本第141页的“探索”，学生“概括”am×an=…=am+n；
3、 观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算；
右边的底数与左边相同，指数相加
4、 归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
三、实践应用，巩固创新
例1、计算：
(1)x2 ·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) xm ·x3m + 1
练习：
1． 课本第 页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）
2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。
①a6·a6＝2a6 ②a2+a4＝a6 ③ a2·a4 =a8
37
例2、计算：
要点指导： 底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。
例3、 （1）填空：⑴若xm+n×xm-n=x9；则m= ；
⑵2m=16，2n=8，则2m+n = 。
四、归纳小结，布置作业
小结：1、同底数幂相乘的法则；
2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；
3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；
4、要注意与加减运算的区别。
教学反思
14.1.2 幂的乘方
教学目标：
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；
2、了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
教学重点：幂的乘方的运算性质及其应用.
37
教学难点：幂的运算性质的灵活运用.
一：知识回顾
1．讲评作业中出现的错误
2．同底数幂的乘法的应用的练习
二：新课引入
探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：
（1）（32）3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞
（2）（a2）3 = a2·a2·a2 = a ﹝ ﹞
（3）（am）3 = am·am ·am = a﹝ ﹞
（4）（am）n = = = amn．
观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算．
引导学生归纳同底数幂的乘法法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即：（am）n＝amn（m、n都是正整数）．
二、知识应用
例题 ：（1）（103）5； （2）（a4）4； （3）（am）2；（4）－（x4）3；
说明：－（x4）3表示（x4）3的相反数
练习：课本第 页 （ 学生黑板演板）
补充例题：
（1）（y2）3·y （2）2（a2）6－（a3）4 （3）（ab2）3
(4) - ( - 2a 2b)4
说明：（1） （y2）3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y2）3·y = y2×3·y = y6+1 = y7；
（2） 2（a2）6－（a3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以，2（a2）6－（a3）4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12．
三 幂的乘方法则的逆用 ．
（1）x13·x7=x（ ）=（ ）5=（ ）4=（ ）10；
37
（2）a2m =（ ）2 =（ ）m （m为正整数）．
练习：
1．已知3×9n=37，求n的值．
2．已知a3n=5，b2n=3，求a6nb4n的值．
3．设n为正整数，且x2n=2，求9（x3n）2的值．
四、归纳小结、布置作业
小结：幂的乘方法则．
教学反思
14.1.3 积的乘方
教学目标：
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；
2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．
教学重点：积的乘方的运算性质及其应用．
教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用．
37
教学过程：
一． 创设情境，复习导入
1 ．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：
（1） （2）
（3） （4）
2．探索新知，讲授新课
（1）(3×5)7 ——积的乘方
= ——幂的意义
=× ——乘法交换律、结合律
=37×57； ——乘方的意义
（2） （ab）2 = (ab) · (ab) = (a·a) ·(b ·b) = a( ) b( )
(3) （a2b3）3 = (a2b3) · ( a2b3) ·( a2b3) = （a2 ·a2· a2 ) ·(b3·b3·b3) = a( ) b( )
(4) (ab)n
= ——幂的意义
=· ——乘法交换律、结合律
=anbn ． ——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：
积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘．
即：(ab)n=an·bn
二、知识应用，巩固提高
例题3 计算
（1）(2a )3； （2）(－5b)3； （3）( xy2 )2；
（4）(- 2／3x3)4． （5）(－2xy)4 （6）（2×103 ）2
说明： （5）意在将(ab)n=anbn推广，得到了(abc)n=anbncn
判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
37
① ② ③
练习：课本第 页
三．综合尝试，巩固知识
补充例题： 计算：
（1）
（2）
四．逆用公式：，即
预备题：（1） （2）
例题：（1）0．12516·(－8) 17；（2）
（2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．
（注解）：23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675．
四、 归纳小结、
五、 布置作业
六、 教学反思
14．1．4 整式的乘法 （单项式乘以单项式）
教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。
教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索．
教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．
教学过程：
一． 复习巩固：
同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。
二． 提出问题，引入新课
37
（课本引例）：光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？
说明：（3×105） ×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．
一． 单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例4 （课本例题） 计算：（学生黑板演板）
（1）（－5a2b）（－3a）； （2）（2x）3（－5xy2）．
练习1（课本）计算：
（1）3x25x3； （2）4y（－2xy2）；
（3）（3x2y）3•（－4x）； （4）（－2a）3（－3a）2．
练习2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）3a3•2a2 = 6a6； （2）2x2 • 3x2 = 6x4 ；
（3）3x2 • 4x2 = 12x2； （4）5y3 • y5 = 15y15．
四．巩固提高
（补充例题）：
1．（-2x2y）·(1/3xy2)
2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)
3.(2×105)2·(4×103)
4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)
5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b)
6.(-ab3)·(-a2b)3
37
7.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)
8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2
五．小结作业
方法归纳：
（1） 积的系数等于各系数的积，应先确定符号。
（2） 相同字母相乘，是同底数幂的乘法。
（3） 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉。
（4） 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
（5） 单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
作业：
教学反思
14．1．4 整式的乘法 （单项式乘以多项式）
教学目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。
教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索．
教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．
教学过程：
一． 复习旧知
1． 单项式乘单项式的运算法则
2． 练习：9x2y3·(-2xy2) (-3ab)3·(1/3abz)
3． 合并同类项的知识
二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则
（课本内容）：三家连锁店以相同的价格m
37
（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：m（a＋b＋c）．
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：ma＋mb＋mc．
由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此
m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．
学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，
三．讲解例题
1. 例题5（课本） 计算：
（1）（－4x2）（3x+1）； （2）
2 .补充例题1：
化简求值: (-3x)2 － 2x ( x+3 ) + x·x +2x ·(- 4x + 3)+ 2007
其中：x = 2008
练习：课本 页
3.补充练习：
计算
1．2ab（5ab2+3a2b）； 2．（ab2－2ab）· ab；
3．－6x（x－3y）； 4．－2a2（ab+b2）．
5．（-2a2）·(1/2ab + b2)
6. (2/3 x2y － 6x y)·1/2xy2
7. (-3 x2)·(4x 2－ 4/9x + 1)
8 3ab·( 6 a2b4 －3ab + 3/2ab3 )
9. 1/3xny ·(3/4x2－1/2xy－2/3y－1/2x2y)
10. ( - ab)2 ·( -3ab)2·(2/3a2b + a3·a2·a －1/3a )
四．小结归纳
37
布置作业：
教学反思
14．1．4 整式的乘法（多项式乘以多项式）
教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．
教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索
教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．
教学过程：
m
n
a
b
ｂｎ
ｂｍ
aｍ
aｎ
一．复习旧知
讲评作业
二．创设情景，引入新课
（课本）如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn）米2．
另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a +b）（m＋n）米2．
37
由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此
（a +b）（m＋n）= am+an+bm+bn．
教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a +b）（m＋n）=am+an+bm+bn进行分析，可以把m＋n看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得
（a +b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n），
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
a（m＋n）＋b（m＋n）= am+an+bm+bn．
学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、应用提高、拓展创新
例6（课本）：计算
（1）（3x+1）(x+2) ; (2) (x －8y)(x－y) ;
(3) (x+y)(x2－xy+y2)
进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项
练习：（课本）148页 1 2
补充例题：
1. (a+b)(a－b)－(a+2b)(a－b)
2. (3x4－3x2+1)(x4+x2－2)
3. (x－1)(x+1)(x2+1)
4. 当a=-1/2时，求代数式 (2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a)的值
四． 归纳总结，
五． 布置作业
六． 教学反思
37
14.2.1 平方差公式
教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
教学重点：平方差公式的推导和应用．
教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题．
过程：
一． 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x－1）； （2）（a+2）（a－2）；
（3）（3－x）（3+x）； （4）（2m+n）（2m－n）．
再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．
得出平方差公式
（a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．
活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
图1 图2
图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为
37
（a2－b2）．
在图2中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积为
（a+b）（a－b）．
这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）= a2－b2．
二、知识应用，巩固提高
例1 计算：
（1）（3x＋2）（3 x－2）； （2）（－x+2y）（－x－2y）
（3）（b+2a）（2a－b）； （4）(3+2a) (－3+2a)
练习：加深对平方差公式的理解 （课本 153页练习1有同种题型）
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
（1）（x+1）（1+x）； （2）（a+b）（b－a）；
（3）（－a+b）（a－b）； （4）（x2－y）（x+y2）；
（5）（－a－b）（a－b）； （6）（c2－d2）（d 2+c2）．
例题2：计算
（1）102×98
（2）（y+2）(y-2)－(y－1)(y+5)
（3）（a+b+c）(a－b+c)（补充）
(4) 20042－20032（补充）
（5） （a + 3 ）(a － 3)( a2 + 9 ) （补充）
说明：（3）意在说明公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式
(4) 意在说明公式的逆用
练习：课本 页 2
四、 归纳小结、布置作业
五、 课本习题 页 习题
教学反思
37
14.2.2 完全平方公式 （第1课时）
教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．
教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；
（2）完全平方公式的应用．
教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用．
教学过程：
一、 激发学生兴趣，引出本节内容
活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；
（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；
（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；
（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．
答案：（1）p2+2p+1； （2）m2+4m+4； （3）p2－2p+1； （4）m2－4m+4．
活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得
（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2
=a2－2ab+b2．
二、问题引申，总结归纳完全平方公式
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即
（a + b）2=a2+2ab+b2，
37
（a－b）2=a2－2ab+b2．
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：
（1）左边为两个数的和或差的平方；
（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．
活动4 你能根据教材中的图14．2-2和图14．2-3中的面积说明完全平方公式吗?
三．例题讲解，巩固新知
例3：（课本）运用完全平方公式计算
（1） （4m+ n）2 ; (2) (y－1/2)2
补充例题：运用完全平方公式计算
（1）（－x+2y）2； （2）（－x－y）2； (3) ( x + y ）2－（x－y）2．
说明：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；
（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；
（3）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算．
例 4：（课本） 运用完全平方公式计算
（1）1022； （2）992．
思考：（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么?
（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么?
（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么?
练习：课本 页
补充例题：
(1) 如果x 2 + kxy + 9y2是一个完全平方式，求k的值
(2) 已知x+y=8，xy=12，求x2 + y2 ； （x － y ）2的值
(3) 已知 a + 1/a = 3 ,求 a2 + 1/a2
四、归纳小结、布置作业
小结：完全平方公式．
作业：课本 页 习题
教学反思
37
14.2.2 完全平方公式(第2课时)
教学目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法
重点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用
难点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用
内容：
一 复习旧知，引入添括号法则
去括号法则：a +(b+c) = a+b+c a －(b+c) = a － b － c
添括号法则：a+b+c = a +(b+c) a － b － c = a －(b+c)
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
练习：（课本 页 练习 1 有同种类型题）
a + b －c = a +(b － c ) = a － (- b + c )
a － b + c = a + ( - b + c ) = a － ( b － c )
二 讲解例题，巩固新知
例题5 运用乘法公式计算：(课本)
（1）（ x + 2y － 3 ） ( x -2y + 3)
37
（2）（a + b +c ）2．
练习 ： 课本 156页 练习 2
三 补充例题，开阔眼界
1 利用乘法公式化简求值题
（2x + y ）2 － ( x + y )(x – y) ，其中x = 1 ,y = - 2
2 乘法公式在解方程和不等式中的应用
①已知(a +b )2 = 7 ,( a － b )2 = 4 求 a 2+ b 2 和 ab的值
②解不等式：
( 2x －5 ) (- 5 －2x) + (x + 5 )2﹥ 3x (- x + 2 )
3 与三角形知识相结合的应用
已知三角形ABC的三边长a 、b、c ，满足a2 + b2 + c2- ab – bc - ac = 0，试判断三角形的形状。
四 总结归纳，布置作业
添括号法则
作业： 课本 页 （根据学生情况酌定）
教学反思
14. 3. 1 同底数幂的除法
教学目标：
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解一些实际问题。
教学重点：公式的实际应用。
教学难点：a0＝1中a≠0的规定。
37
教学过程：
一、 探索同底数幂的除法法则
1、根据除法的意义填空，并探索其规律
（1）5 5÷5 3＝5（ ）
（2）107÷105＝10（ ）
（3）a6÷a3＝a（ ）
推导公式：a m ÷a n ＝ a m － n（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）
归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、比较公式
a m·an＝am + n （am）n＝ am n
（ab）m ＝ a m bm am ÷an ＝am - n
比较其异同，强调其适用条件
二、 实际应用
例1：计算
（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2
例2：一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M（1M＝210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
解：26 M＝26×210 K＝216 K
216÷28＝28（张）＝256（张）
三、 探究a0的意义
根据除法的意义填空，你能得什么结论？
（1）32÷32＝
（2）103÷103＝
（3）am÷am＝ （a≠0）
由除法意义得：am÷an＝1 （a≠0）
如果依照am÷am＝am - m＝a0
于是规定：a0＝1 （a≠0）
37
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
四、练习：
五、作业：
教学反思
14.3. 2 整式的除法（1）
教学目标：经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项式的运算。
教学重点：运用法则计算单项式除法
37
教学难点：法则的探索
教学过程：
一、提出问题，引入新课］
问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
如何计算：（1.90×1024）÷（5.98×1021），并说明依据。
二、讨论问题，得出法则
讨论如何计算：
（1）8a3÷2a （2）6x3y÷3xy （3）12a3b3x3÷3ab2
［注：8a3÷2a就是（8a3）÷（2a）］
由学生完成上面练习，并得出单项式除单项式法则。
单项式除以单项式法则：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
三、法则的应用
例1：计算
（1）28x4y2÷7x3y （2）－5a5b3c÷15a4b
练习：P162 1、2
例2：计算下列各题
（1）（a＋b）4÷（a＋b）2
（2）［（x－y）3］3÷［（y－x）2］4
（3）（－6x2y）3÷（－3xy）3
例3：当x＝－2，y＝1/4时，求代数式：
（－4x2）÷(-4x)2＋12x3y2÷(-4x2y)－24x4y3÷(-4x3y2)的值
例4：已知 5m＝3 25m＝11，求 5 3m － 2n的值。
四、归纳小结，布置作业
本节所学法则可与前面所学的三个法则比较，理解并记忆。
37
五、 学校作业：
六、 补充作业：
1、月球距离地球大约3.84×105km，一架飞机的速度约为
8×102km/h，如果坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多长时间？
2、观察下面一列式子，根据你所看到的规律进行填空：
a，－2a2，4a2，－8a2，……，第10项为 ，第n项为 。
3、已知am＝4，an＝3，ak＝2
则am - 3k + 2n＝
4、16m÷4n÷2等于（ ）
（A）2m-n-1 (B)22m-n-2 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1
教学反思
14. 3. 3 整式的除法（2）
教学目标：经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算。
教学重点：运用法则计算多项式除以单项式。
教学难点：
（1）法则的探索；
37
（2）法则的逆应用；
教学过程:
一、复习旧知:
计算:
（1）am÷m＋bm÷m
（2）a2÷a＋ab÷a
（3）4x2y÷2xy＋2xy2÷2xy
二、探索多项式除以单项式法则
计算：（am＋bm）÷m，并说明计算的依据
∵（a＋b）m = am＋bm
∴（am＋bm）÷m=a＋b
又am÷m＋bm÷m＝a＋b
故（am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m
用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
根据法则：（a2＋ab）÷a＝ ＋
三、实践应用
例1：计算
（1）（4x2y＋2xy2）÷2xy
（2）（12a3－6a2＋3a）÷3a
（3）（21x4y3－35x3y2＋7x2y2）÷（－7x2y）
（4）［（x＋y）2－y（2x＋y）－8x］÷2x
练习：课本 页
例2:计算
（1）（2/5a3x4－0.9ax3）÷3/5ax3
（2）（2/5x3y2－7xy2＋2/3y3）÷2/3y2
例3：化简求值
37
（1）（x5＋3x3）÷x3－（x＋1）2 其中x＝－1/2
（2）［（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）］÷4y
其中x＝2，y＝1
四、归纳小结，布置作业
思考题：
（1） ÷（－4x2）＝－3x2＋4x－2
（2）长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一个边长为2a，则它的周长是 。
（3）已知3n＋11m能被10整除，求证：3n＋4＋11m＋2能被10整除。
教学反思
14. 4.1 提公因式法
教学目标：
1、理解因式分解的概念。
2、会确定多多项式的公因式。
3、会用提公因式法分解因式。
教学重点：用提公因式法分解因式
教学难点：公因式的确定
教学过程：
37
一、分解因式（因式分解）的概念
计算：
（1）x（x＋1） （2）（x＋1）（x－1） （学生练习，并演板）
x（x＋1）＝x2＋x （x＋1）（x－1）＝x2－1
上面二式都是整式乘法，即把整式的乘积化为多项式的形式。
反过来：x2＋x＝x（x＋1） x2－1＝（x＋1）（x－1）
即把多项式化为整式积的形式。
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解：
（1）6＝2×3 （2）a（b＋c）＝ab＋ac
（3）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
（4）a2－2a＝a（a－2） （5）a＋1＝a（1＋1/a）
二、提公因式法
1、公因式
多项式ma＋mb＋mc中，各项都有一个公共的因式m，称为该多项式的公因式。
一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。
指出下列各多项式的公因式
（1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn
（3）－6abc＋3ab2－9a2b
通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结）
2、提公因式法
由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到ma＋mb＋mc＋=m(a＋b＋c),其中，一个因式是公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
三、例1：把（1）2a2b－4ab2 (2)8a3b2＋12ab3c分解因式
解：（1）2a2b－4ab2
37
＝2ab×a－2ab×2b
＝2ab（a－2b）
（2）8a3b2＋12ab3c
＝4ab2×2a2＋4ab2×3bc
＝4ab2（2a2＋3bc）
练习：P167 1（1）（2）
例2：把2a（b＋c）－3（b＋c）分解因式
练习：P167 1（3）（4） 2
例3：用简便方法计算
（1）9992＋999 （2）20072－2006×2007
四、归纳小结，
（1）分解因式 （2）确定公因式 （3）提公因式方法
五 作业
补充练习：
1、分解因式：
（1）m2(a－2)＋m(2－a) （2）m－n－mn＋1
（3）a2n－an
（4）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）
2、计算：210－29－28
3、已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2
4、若a为实数，则多项式a2（a2－1）－a2＋1的值（ ）
A、不是负数 B、恒为正数
C、恒为负数 D、不等于0
5、证明：817－279－913能被45整除
6、若关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式结果为（3x＋2）（x－1），则m＝ ，n＝ 。
37
教学反思
14. 4.2 公式法（1）
教学目标：
（1）进一步理解分解因式的概念。
（2）能熟练运用平方差公式分解因式。
教学重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。
教学难点：（1）确定多项式中的a、b;（2）分解彻底;
教学过程：
一、 复习巩固
1、什么叫分解因式？
2、用提公因式法分解因式
（1）2xy－4y （2）－2x（x＋1）+（x＋1）2
37
二、用平方差公式分解因式
把公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2反过来就得到
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
该公式用语言叙述为：
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。
注：（1）使用平方差公式分解因式时，必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式，再分解因式，即用公式分解因式时，必须认准其中的“a”与“b”。
（2）公式中的a、b即可以是单项式，也可以是多项式。
三、公式的应用
例1：分解因式
（1）4x2－9 （2）（x＋p）2－（x＋q）2
解：（1）4x2－9
＝（2x）2－32
＝（2x＋3）（2x－3）
（2）（x＋p）2－（x＋q）2
＝［（x＋p）＋（x＋q）］［（x＋p）－（x＋q）］
＝（2x＋p＋q）（p－q）
练习P168 1 2
例2：分解因式
（1）x4－y4 （2）a3b－ab
注：分解因式，必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。
练习：分解因式
（1）a3－a （2）－（1＋xy）2＋（1－xy）2
（3）x2（x－y）＋y2（y－x） （4）1－x4
（5）2x2－8 （6）m2（a－2)＋m（2－a）
（7）m2－n2＋2m－2n
四、小结
37
（1）应用平方差公式分解因式，必须认准的a与b。
（2）分解因式必须彻底。］
（3）有公因式的先提公因式，再用公式分解。
五、作业：
教学反思
14. 4. 3 公式法（2）
教学目标：熟练应用完全平方公式分解因式
教学重点：把多项式写成符合公式的形式，并分解因式。
教学难点：（1）辨认多项式中的“a”与“b”；（2）分解到底。
教学过程：
一、复习平方差公式，并练习下列各题
（1）－a2＋b2 （2）（x＋2）2－（x－2）2 （3）2a－8a2
二、用完全平方公式分解因式
把整式乘法的完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2
反过来，得到： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
37
注：（1）形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
三、例题或练习：
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2
（4）a2＋ab＋b2 （5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4
2、分解因式
（1）16x2＋24x＋9 （2）－x2＋4xy－4y2
解：16x2＋24x＋9
＝（4x）2＋2·4x·3＋32
［a2＋2·a·b＋b2］
＝（4x＋3）2
［（a＋b）2］
3、分解因式
（1）3ax2＋6axy＋3ay2 （2）（a＋b）2－12（a＋b）＋36
练习：课本 页
四、归纳小结，布置作业
（1）用完全平方公式分解因式时，必须认准a与b。
（2）分解因式要“完全彻底”。
五 作业：
教学反思
37
14. 4. 4 习题课
教学目标：综合应用提出因式法和公式法分解因式
教学重点：（1）熟练应用分解因式的两种方法分解因式；
（2）两种方法的综合应用;
教学难点：（1）选择恰当的分解方法；（2）把多项式分解彻底;
教学过程：
一、分解因式有哪些方法？你认为在使用这些方法时，应注意什么？
二、例题或练习
1、下边从左到右的变形，是因式分解的有 。
（1）x2－4y2＝（x＋2y）（x－2y）
（2）a2－2ab＋b2＝（b－a）2
（3）x2－4x＋5＝（x－2）2＋1
（4）x2－4x＋5＝x（x－4）＋5
37
（5）（x＋3）（x－3）＝x2－9
（6）－ma＋mb－mc＝－m（a＋b＋c）
2、－m（a－x）（x－b）－mn（a－x）（b－x）的公因式是（ ）
3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋4y2 B、x2－2xy＋4y 2
C、－x2－4xy＋4y2 D、（x－y）2－10（y－x）＋25
4、填空：
（1）－1/9a2＋1/4＝（ ）2－（ ）2
（2）4x2＋1＋ ＝（ ＋1）2
（3）1/9x2＋ ＋1/4y2＝（9/3x－1/2y）2
（4）若x2＋kx＋64是完全平方式，则k的值为 。
（5）x2＋5x＋ ＝（ ）2
5、把下列各式分解因式：
（1）a4＋3a2 （2）5（a－2）3－3（2－a）2
（3）（x－2）2－x＋2 （4）a（a－b－c）＋b（b＋c－a）
（5）（a－b）2（a＋b）3－（b－a）3（b＋a）2
（6）－2xy＋6x2y2－8x2y
6、把下列各式分解因式：
（1）1/2x2－2y2 （2）－6a－a2－9
（3）（1/36x－1/3）x＋1 （4）（a＋b）2－4（a＋b－1）
（5）x2＋8x（x＋1）＋16（x＋1）2
（6）2（a2＋b2）（a＋b）2－（a2－b2）2
（7）x3＋x2＋0.25x
（8）（x2－x）2＋1/2（x2－x）＋1/16
（9）x3－x2＋4
7、（1）求证对于任意自然数n，2n+4 －2n是30的倍数。
（2）求证：248 －1可以被63和65整除。
37
作业：
教学反思：
14. 4. 5 十字相乘法（二次项系数为1）
教学目标：
使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解。
教学重点：准确、迅速进行十字相乘分解因式。
教学难点：p与q异号的情形。
教学过程：
一、复习巩固
课本： 页 练习2，观察规律，得到
（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq
反过来，有x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
它告诉我们：对于二次项系数为1的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，并且它们的和恰好等于一次项系数，那么，它就可以分解成两个一次因式的积。
如：x2＋（1＋2）x＋1×2＝（x＋1）（x＋2）
37
X2＋（－1＋2）x＋（－1）×2＝（x－1）（x＋2）
二、例题与练习
例1：分解因式 x2＋6x＋8
解：x2＋6x＋8＝x2＋（2＋4）x＋2×4
＝（x＋2）（x＋4）
熟练后，中间步骤可省去。
练习：分解因式
（1）x2＋7x＋12 （2）x2＋12x＋20
例2：分解因式 x2－8x＋15
分析：因为－8为负数，所以15应分解为两个负数之积。
解：x2－8x＋15
＝x2＋［（－3）＋（－5）］x＋（－5）×（－3）
＝［x＋（－3）］［x＋（－5）］
＝（x－3）（x－5）
练习：分解因式：（1）x2－3x＋30 （2）x2－8x＋12
例3：分解因式 （1）x2－3x－10 （2）x2＋9x－10
分析（由学生分析，解答）
练习：分解因式 （1）x2－3x－4 （2）x2＋10x－24
（3）a2＋a－20 （4）a2－9a－36
例4：分解因式 （1）x2－7xy－18y2 （2）x2y2＋7xy－44
（3）x2－20xy＋96y2 （4）a4－21a2－100
例5：分解因式 （1）－a2＋6ab－9b2 （2）－x2－3x＋4
（3）x－x2＋42 （4）x2（x2－20）＋64
（5）3x2y2－9xy－12
（6）（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24
（7）（x2＋x）（x2＋x－1）－2
例6：求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是某个自然数的平方。
37
作业：课本 页
教学反思
14. 4. 6 小结与复习
教学目标：把握本章知识脉络，掌握本章基础知识。
教学重点：（1）整的乘除法;（2）因式分解;
教学难点： （1）正确使用公式；（2）逆用公式解题；
教学过程：
一、本章知识结构图：
整式乘法 乘法公式
整式除法 分解因式
二、回顾与思考：
1、幂的运算性质是整式乘除法的基础，单项式的乘除是整式乘除的关键，举例说明怎样将多项式乘（除以）单项式，多项式乘多项式转化为单项式的乘除。
2、把一些特殊形式的多项式乘法写成公式的形式，可以简化运算，本章学习了哪些乘法公式？你能从图形角度解释公式的合理性吗？
3、举例说明因式分解与整式乘法之间的关系，你学习了哪几种分解因式的方法？请举例说明。
37
三、例题与练习：
（一）1、－x2（－x）2（－x）3＝
2、（－x5）＋（－x7）5＝
3、已知xn＝5，yn＝3，则（x2 y）2n值为
4、（－x）9÷x4÷（－x）3＝
（二）计算下列各题
1、（9/4×102）×（25×103）2×（－2×106）2
2、（4x4 y）（－xy3 ）5
3、当a＝－3/4时，求－2a（3a2－4a－1）－a（－6a2 ＋5a－2）的值。
4、若（x＋a）（x2－6x＋b）的展开式中，不含x2次和x项，则a＝ ，b＝ 。
5、（a＋2）2－2a（a＋2）
6、（x＋3）（x＋4）－x（x＋2）－5
7、若x－y＝2，x2 －y2 ＝10，则x＋y＝
8、（2m＋1）（2m－1）（4m2＋1）＝
9、（x＋2y－1）（x＋1－2y）＝
10、（－x－1/2）2＝
11、若（x＋y）2 ＝9，（x－y）2 ＝5，则xy＝
12、若a2 ＋ma＋9是完全平方式，那么m＝
13、a2 ＋b2 ＝（a＋b）2 －
14、（y＋3）2－（3－y）2 ＝
15、（6×106 ）÷（－3×103 ）＝
16、16m ÷4m ÷2＝2( )
17、（2/5x2 y2 －7xy2 ＋2/3y3 ）÷2/3y2
18、长方形面积为4a2 －6ab＋2a，一边长为2a，则周长
是
三、分解因式
37
1、4x3 －6x2 ＝
2、m(a－b)－n（b－a）＝
3、m2 －36 m2 ＝
4、（2x＋y）2 －（x＋2y）2 ＝
5、p4 －1＝
6、若x2 －2（m＋3）x＋16是完全平方式，则m的值为
7、a2 －2a（b＋c）＋（b＋c）2
8、1/2x2 －xy＋1/2y2
9、xy2 －2xy＋x
10、a2 b2 －a2 －b2 －1
11、（x＋y）2 －2（x2 －y2 ）＋（x－y）2
12、x2 －5x＋6
13、x2 －5x－6
14、x2 ＋5x－6
15、2x2 －20x＋50
16、（a＋2）（a－8）＋25
17、a2 ＋2ab＋b2 ＋4a＋4b＋4
18、已知a－b＝3，ab＝－1，求a2 b－ab2 的值。
19、证明：817 －279 －913 能被45整除。
20、已知：a、b为自然数且a2 －b2 ＝45，求a、b的值。
21、若x2 ＋y2 ＋2x－8y＋17＝0，求y/x的值。
22、若一个三角形边长为a、b、c，且a2 ＋2b2 ＋c2 －2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由。
23、若非零实数a、b满足4a2 ＋b2 ＝4ab，求b/a的值。
24、若两个两位数的十位数字相同，而它们的个位数字之和为10，研究它们积的规律，并证明你的结论。
作业：课本 页
37
思考题：
（1）设y＝（x－1）（x－3）（x－4）（x－6）＋10
证明：不论x取任何实数，y的值总大于0。
（2）分解因式：x2＋4xy＋4y2－4x－8y＋3
（3）①若a2＋ba＋12能分解为两个一次因式的乘积，且b为整数，则b＝ 。
②若a＋12a＋b能分解为两个一次因式的乘积，且b为正整数，则b＝ 。
（4）在实数范围内分解因式
①x2－3 ②5x2－4
（5）证明：两个相邻奇数的平方差是8的倍数。
教学反思
37
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