人教版八数下册第18章平行四边形全套课件 347页

人教版八年级数学下册精 编版课件 第十八章 平行四边形 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 18.1.1 平行四边形的性质 18.1.2 平行四边形的判定 18.2.1 矩形的性质 18.2.2 菱形 18.2.3 正方形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 平行四边形边、角的性质 第一课时 返回 【 观察 】 上面图形给我们留下什么图形的形象？ 导入新知 1. 理解并掌握平行四边形的概念及 掌握平行四边形的定义和 对边相等、对角相等 的两条性质 . 2. 能够灵活运用 平行四边形的性质 解决问题 . 素养目标 3. 经历“ 实验 — 猜想 — 验证 — 证明 ”的过程 , 发展学生的思维水平 . 下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？ 知识点 1 平行四边形的定义 探究新知 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 探究新知 两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 . 读作：平行四边形 ABCD A D B C 记作 ： ABCD AB ∥ CD AD ∥ BC ∵ ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 AB ∥ CD AD ∥ BC ∴ 　 两组对边分别平行 四边形 C B A D 平行四边形 探究新知 注 ： 图形中字母的标识顺序应为 顺时针方向 或 逆时针方向。 例 1 如图是某区部分街道示意图，其中 BC ∥ AD ∥ EG ， AB // FH ∥ DC ．图中的平行四边形共有 _____ 个 . 并把它们表示出来 . 9 A B C D E G F H O 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形的定义判断平行四边形 解 ： ∵ DC ∥ FH ∥ AB ， DA ∥ EG ∥ CB ， ∴ 根据平行四边形的定义可以判定图中共有 9 个平行四边形，即 AEGD , ABHF , AEOF , GOFD , BEOH , CHFD , BEGC , CHFD , ABCD . 提示 ： 用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行 . 1. 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) 巩固练习 √ √ B A D c 方法一 观察、度量 平行四边形除两组对边分别平行外 , 你还能得到对边有什么关系 ? 用什么方法得到这个关系 ? 知识点 2 平行四边形边的特征 探究新知 D 方法二 剪开、叠合 C A B 已知 : 四边形 ABCD 是平行四边形 求证 : AD = BC , AB = CD 方法三 证明 点拨 : 先根据题目画图，再写“已知”与 “求证”，最后证明。 C B A D 该怎样证明呢？ 探究新知 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， 求证 : AB = CD , AD = BC 证明： 连接 AC ，　　 ABCD 中 ∵ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∠2 ＝ ∠4 又 AC ＝ CA ∴△ ABC ≌△ CDA （ ASA ） ∴ 　 AB ＝ CD ， CB ＝ AD 方法点拨： 作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题． A D C B 1 4 2 3 探究新知 几何语言： 平行四边形的两组 对边 分别 相等 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ．（平行四边形的对边相等） 或 探究新知 平行四边形的性质 C B A D 在　 ABCD 中， AB ＝ CD ， AD ＝ BC ． （平行四边形的对边相等） 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ BAE = ∠ DCF . ∴ △ ABE ≌ △ CDF . ∴ AB=CD ， AB ∥ CD 又 ∵ AE = CF ， ∴ BE = DF . A D B C E F 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形边的性质求证线段的关系 例 2 如图，在 ABCD 中, E ， F 是对角线 AC 上的两点，并且 A E= C F ， 求证 ： B E =D F . 2. 如图 , 小明用一根 36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边 AB 长为 8m ，其他三条边各长多少 ? 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB = CD , AD = BC ∵ AB =8m ∴ CD =8m 又 AB + BC + CD + AD =36m, ∴ AD = BC =10m A D B C 8cm 巩固练习 A B C D 测得 ∠ A =∠ C ， ∠ B =∠ D . 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠ A 与 ∠ C ， ∠ B 与 ∠ D 之间的数量关系吗 ? 猜想 : 平行四边形的两组对角有什么数量关系？ 两组对角分别相等 . 怎样证明这个猜想呢？ 探究新知 知识点 3 平行四边形角的特征 证明： 如图， 连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD∥BC ， AB ∥ CD , ∴ ∠1=∠2 ，∠ 3=∠4 . 又 ∵ AC 是△ ABC 和△ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA , ∴ ∠ ABC =∠ ADC . ∵∠ BAD = ∠1+∠4 ， ∠ BCD =∠2+∠3 ， ∴ ∠ BAD = ∠ BCD. A B C D 1 4 3 2 已知：四边形 ABCD 是平行四边形 . 求证 : ∠ BAD =∠ BCD ,∠ ABC = ∠ ADC . 探究新知 【 思考 】 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的 定义，证明其对角相等？ A B C D 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD∥BC ， AB ∥ CD , ∴∠ A +∠ B =180 °， ∠ A + ∠ D =180 °， ∴∠ B = ∠ D . 同理可得 ∠ A =∠ C . 探究新知 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 或 ∴ ∠ A = ∠ C , ∠ B = ∠ D （平行四边形的对角相等） ∠ A = ∠ C , ∠ B = ∠ D （平行四边形的对角相等） 平行四边形的两组 对角 分别 相等 . 探究新知 平行四边形的性质 C B A D 在　 ABCD 中， 解 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 且 ∠ A =52° （已知 ) ∴ ∠ A =∠ C =52 ° （ 平行四边形的对角相等 ） 又 ∵ AD ∥ BC （ 平行四边形的对边平行 ） ∴∠ A +∠ B =180 ° ∠ C +∠ D =180 ° （ 两直线平行，同旁内角互补 ） ∴ ∠ B =∠ D = 180 ° －∠ A = 180 º － 52 ° =128 ° A B C D 52 ° 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形角的性质求证角的关系 例 3 在 ABCD 中 , 已知 ∠ A =52 ° ， 求其余三个角的度数 . A D B C 100 ° 80 ° 解 : ∴ ∠ B = 180 ° －∠ A = 180 º － 100 ° =80 ° 又∵ AD ∥ BC ( 平行四边形的对边平行 ) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ ∠ A =∠ C =100 ° （ 平行四边形的对角相等 ） 且 ∠ A +∠ C =200 ° 巩固练习 3. 如图： 在 ABCD 中， ∠ A +∠ C =200 ° 则： ∠ A = ， ∠ B = . 如图，在 ABCD 中， DE ⊥ AB ， BF ⊥ CD ，垂足分别是 E ， F ．求证： AE = CF ． 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ A = ∠ C ， AD = CB . 又 ∠ AED = ∠ CFB =90° ， ∴ △ ADE ≌△ CBF （ AAS ） , ∴ AE = CF . 【 思考 】 在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE = BF 探究新知 知识点 4 平行线间的距离 C B F E A D 若 m // n ， 作 AB // CD // EF ， 分别交 m 于 A 、 C 、 E ，交 n 于 B 、 D 、 F. 由平行四边形的性质得 AB = CD = EF. 两条平行线之间的平行线段相等 . m n 由平行四边形的定义易知四边形 ABDC ， CDFE 均为平行四边形 . 探究新知 两条平行线间的距离相等 . 若 m // n ， AB 、 CD 、 EF 垂直于 n ， 交 n 于 B 、 D 、 F ， 交 m 于 A 、 C 、 E . B F E A n m C D 同前面易得 AB = CD = EF 两条平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 探究新知 点到直线的距离 4. 如图， AB ∥ CD ， BC ⊥ AB ，若 AB =4cm， S △ ABC =12cm 2 ， 求△ ABD 中 AB 边上的高． 解： ∵ S △ ABC = AB • BC , = ×4 × BC =12cm 2 ， ∴ BC =6 cm . ∵ AB ∥ CD ， ∴ 点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度 ， ∴ △ ABD 中 AB 边上的高为 6cm ． 巩固练习 1. （2018• 黔南州 ） 如图在 ▱ ABCD 中，已知 AC =4cm，若△ ACD 的周长为13cm，则 ▱ ABCD 的周长为（　　） A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm 巩固练习 连接中考 D 2. （2019• 福建 ） 在平面直角坐标系 xOy 中 ， ▱ OABC 的三个顶点 O （0，0）、 A （3，0）、 B （4，2）， 则其第四个顶点是 __________ ． （1，2） A D B C D 基础巩固题 1. 在 ABCD 中，∠ A ：∠ B ：∠ C ：∠ D 的值可能是 ( 　 ） A ． 1 ： 2 ： 3 ： 4 B ． 1 ： 2 ： 2 ： 1 C ． 1 ： 1 ： 2 ： 2 D ． 2 ： 1 ： 2 ： 1 A D B C D 课堂检测 2. 如图 , ABCD 的周长是 28cm,△ ABC 的周长是 22cm, 则 AC 的长为 ( ) A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm 3. 在 □ ABCD 中 , ∠ A =3∠ B , 求∠ C 和∠ D 的度数 . B C A D 解 : ∵ 在 □ ABCD 中 , AD ∥ BC ∴∠ A +∠ B = 180° 又已知 ∠ A =3∠ B 则 3∠ B +∠ B = 180° 解得：∠ B = 45°, ∠ A =3×45°=135 ° 所以 ∠ C =∠ A =135 °, ∠ D =∠ B = 45° 课堂检测 基础巩固题 4. 如图 , 小明用一根 48m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边 AB 长为 10m ，其他三条边各长多少 ? 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB = CD , AD = BC ∵ AB =10m ∴ CD =10m 又 AB + BC + CD + AD =48, ∴ AD = BC =14m A D B C 10m 课堂检测 基础巩固题 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE= 60cm ， BC= 80cm ， ∠ B= 60° 且 AE∥BC 、 AB∥CF , 你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和 ∠ D 的度数吗？ 解： ∵ AE//BC ， AB//CF ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ ∠ D=∠B= 60° ， AD=BC= 80cm . ∴ ED=AD-AE= 20cm . 答： DE 的长度是 20cm, ∠ D 的度数是 60°. 能力提升题 课堂检测 证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形 , 　 ∴ BM = EF , AB // EF . ∵ AD 平分 ∠ BAC , ∴∠ BAD =∠ CAD . ∵ AB // EF , ∴ ∠ BAD =∠ AEF , ∴∠ CAD =∠ AEF , ∴ AF = EF , ∴ AF = BM . 如图， 在 △ ABC 中, AD 平分 ∠ BAC ,点 M , E , F 分别 AB , AD , AC 上的点,四边形 BEFM 是平行四边形 . 求证： AF = BM . B D C E F A M 课堂检测 拓广探索题 平行 四边形 定义 两组 对边分别平行 的四边形 性质 两组对边分别 平行，相等 两条平行线间的距离 相等 , 两条平行线间的 平行线段 也相等 两组对角分别 相等 ，邻角 互补 课堂小结 平行四边形的对角线的性质 第二课时 返回 导入新知 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 老大 老二 老三 老四 2. 能综合运用平行四边形的 性质 解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题 . 1. 掌握平行四边形对角线 互相平分 的性质 . 素养目标 　　如图，在 　 ABCD 中 ，连接 AC ， BD ， 并设它们相交于点 O ． OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？ D A B C O 　　 猜想： 平行四边形的对角线互相平分．　 　　想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？ 知识点 1 平行四边形对角线的性质 探究新知 你能证明这个猜想吗？　 　　如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？ 　 求证： OA = OC ， OB = OD ． 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴　 AB = CD ， AB ∥ CD ； ∴ 　∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4 ； ∴ 　△ COD ≌△ AOB ； ∴ 　 OA = OC ， OB = OD ． D A B C O 1 2 3 4 　　 证明过程 探究新知 符号语言： 平行四边形的 对角线 互相 平分 . ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形 ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ． （平行四边形的对角线互相平分） 或 或 AC =2 AO =2 CO ， BD =2 BO =2 D O . 探究新知 ∵ 在 　 ABCD 中 ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ． （平行四边形的对角线互相平分） 平行四边形的性质 B O D A C 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB ＝ OD ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC . ∵△ AOB 的周长比 △ DOA 的周长长 5cm ， ∴ AB － AD ＝ 5cm. 又 ∵ ABCD 的周长为 60cm ， ∴ AB ＋ AD ＝30cm， 则 AB ＝ CD ＝17.5cm, AD ＝ BC ＝12.5cm. 例 1 已知 ABCD 的周长为 60cm ，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， △ AOB 的周长比 △ DOA 的周长长 5cm ，求这个平行四边形各边的长． 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形对角线的性质求线段的值 提示： 平行四边形被对角 线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差 . C B A D O 1. 如图， □ ABCD 的两条对角线相交于点 O , 已知 AB =8cm, BC =6cm , △ AOB 的周长是 18cm ，那么 △ AOD 的周长是 . C B A D O 16cm 巩固练习 例 2 如图， □ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， EF 过点 O 且与 AB ， CD 分别相交于点 E ， F . 求证： OE = OF . 探究新知 素养考点 2 利用平行四边形对角线的性质求线段的相等 B C D A O F E 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， OA = OC ( 平行四边形的性质 ) ∴∠ EAO =∠ FCO （两直线平行，内错角相等） 在△ AOE 和△ COF 中 ∠ AOE = ∠ COF ﹙ 对顶角相等 ﹚ OA = OC ∠ EAO = ∠ FCO ∴ △ AOE ≌△ COF ( ASA ) ∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等） 改变直线 EF 的位置， OE = OF 还成立吗 ? A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中， OE = OF 还成立吗？ 同例 2 易证明 OE = OF 还成立 . 探究新知 归纳总结： 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等 . 2. 如图 , 平行四边形 ABCD 中， AC 、 BD 交于 O 点，点 E 、 F 分别是 AO 、 CO 的中点，试判断线段 BE 、 DF 的数量关系并证明你的结论． 解： BE ＝ DF ， BE ∥ DF . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD , ∵ 点 E 、 F 分别是 AO 、 CO 的中点 ∴ OE ＝ OF . 在 △ OFD 和 △ OEB 中， OE ＝ OF ， ∠ DOF ＝ ∠ BOE ， OD ＝ OB ， ∴△ OFD ≌△ OEB ， ∴ BE ＝ DF . ∠ DFO ＝ ∠ BEO. ∴ BE ∥ DF . 巩固练习 解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 根据勾股定理得 ∴ BC = AD =8cm, CD = AB =10cm . ∴ △ ABC 是直角三角形 . 又 ∵ OA = OC , 　 如图，在 　 ABCD 中， AB =10cm ， AD =8cm ， AC ⊥ BC . 求 BC ， CD ， AC ， OA 的长，以及 　 ABCD 的面积． 探究新知 知识点 2 平行四边形的面积 ∵ AC ⊥ BC A B C D O 3. 已知 : □ ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AC =16cm ， BD =12cm ， BC =10cm ，则 □ABCD 的周长是 __________ ， □ ABCD 的面积是 __________. 40cm 96cm 2 16 12 10 10 6 8 10 10 巩固练习 B O D A C 如图， EF 过 ABCD 的对角线 AC 、 BD 的交点 O ， △ AOE 与 △ COF 的面积有何关系？四边形 AEFD 与四边形 BCFE 的面积有何关系？ F E C B O D ● A 探究新知 知识点 3 平行四边形中有关图形的面积 解： 相等 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . ∵ △ ADO 与△ ODC 等底同高， ∴ S △ ADO = S △ ODC . 同理可得 S △ ADO = S △ ODC = S △ BCO = S △ AOB . 探究新知 总结： 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等 . 还可结合全等来证哟 . B O D A C A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D ● ● 方案一 方案二 方案四 方案五 方案三 方案六 总结： 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分 探究新知 A B C D O F E 例 3 如图， AC , BD 交于点 O ， EF 过点 O, 平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ M N 解 ： 设直线 EF 交 AD , BC 于点 N , M . ∵ AD ∥ BC , ∴∠ NAO =∠ MCO ,∠ ANO =∠ CMO . 又 ∵ AO = CO , ∴ △ NAO ≌ △ MCO ， ∴ S 四边形 ANMB = S △ NAO + S △ AOB + S △ MOB = S △ MCO + S △ AOB + S △ MOB = S △ AOB + S △ COB = . ∴ S 四边形 ANMB = S 四边形 CMND , 即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等 . 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形的有关图形的面积证明相等 A B D O E F A B C D O E F C A B C D O E F 如图， AC , BD 交于点 O ， EF 过点 O, 平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 同例 3 易求得 平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等 . 总结： 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相 等的两部分 . 探究新知 4. 如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？ B M C ● D A O 解： 如图所示． 巩固练习 （2019 •柳州）如图，在 ▱ ABCD 中，全等三角形的对数共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 巩固练习 连接中考 C B O D A C 1. 平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（ ） A. 都 是等腰三角形 B. 都 是全等三角形 C. 都 是直角三角形 D. 是 面积相等的三角形 D A 课堂检测 基础巩固题 2. ABCD 的周长为 40cm ，△ ABC 的周长为 25cm ，则对角线 AC 长为（ ） A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm 课堂检测 基础巩固题 1 ＜ AD ＜ 9 O D B A C ● 3. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点 O ， AC ＝ 10 ， BD =8, 则 AD 的取值范围是 . 4. 把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm 2 和12cm 2 ，求平行四边形的面积． 解： （9+12）×2 =21×2 =42（ cm 2 ） 答： 平行四边形的面积是42 cm 2 ． 基础巩固题 课堂检测 如图，平行四边形 ABCD 中， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ BC 于 F ，若平行四边形 ABCD 的周长为48， DE =5， DF =10，求平行四边形 ABCD 的面积 . 解： 设 AB = x ，则 BC =24- x . 根据平行四边形的面积公式可得 5 x =10 ( 24- x ) ， 解得 x =16． 则平行四边形 ABCD 的面积为5×16=80． 课堂检测 能力提升题 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ，且 AB ≠ AD ，过 O 作 OE ⊥ BD ，交 BC 于点 E . 若△ CDE 的周长为10，则平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， BC = AD ， OB = OD . ∵ OE ⊥ BD ，∴ BE = DE . ∵△ CDE 的周长为10，∴ DE + CE + CD = BE + CE + CD = BC + CD =10， ∴平行四边形 ABCD 的周长为2× ( BC + CD ) =20． 课堂检测 拓广探索题 平行四 边形对角线的 性质 平行四边形对角线 互相平分 两条对角线分平行四边形为面积 相等 的四个三角形 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段 总相等 . 过对角线 交点 的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分 . 且与对角线围成的三角形相对的两个 全等 . 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 第三课时 利用平行四边形的定义、边、角、对角线判定平行四边形 第一课时 返回 昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片 , 只剩下如图所示部分 , 他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 ? 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？ ( A , B , C 为三顶点 , 即找出第四个顶点 D ) A B C 导入新知 1. 经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握 说理 的基本方法 . 2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的 判定定理 进行推理论证 . 素养目标 3. 在探索过程中发展我们的合理推理意识、 主动探究 的习惯 . 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 由上面的过程你得到了什么结论？ 是平行四边形 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 B 探究新知 知识点 1 平行四边形的判定定理 1 如何证明这个结论呢？ 已知： 四边形 ABCD 中， AB=DC ， AD=BC . 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形 . A B C D 连接 AC ， 在△ ABC 和△ CDA 中 , AB = CD ( 已知 ) ， BC = DA ( 已知 ) ， AC = CA ( 公共边 ) ， ∴△ ABC ≌ △ CDA (SSS) ∴ ∠ 1=∠4 , ∠ 2=∠3 ， ∴ AB∥ CD , AD∥ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 1 4 2 3 探究新知 你能用 平行四边形的定义 来证明吗？ 由上述证明可以得到平行四边形的 判定定理 1 ： 两组 对边 分别相等的四边形是平行四边形 . 几何语言： A B C D A B C D 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = CD , AD = BC , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 探究新知 例 1 如图，在 Rt△ MON 中， ∠ MON ＝ 90°. 求证： 四边形 PONM 是平行四边形． 证明 ： 在 Rt△ MON 中， 由勾股定理得 ( x － 5) 2 ＋ 4 2 ＝ ( x － 3) 2 ， 解得 x ＝ 8. ∴ PM ＝ 11 － x ＝ 3 ， ON ＝ x － 5 ＝ 3 ， MN ＝ x － 3 ＝ 5. ∴ PM ＝ ON ， OP ＝ MN ， ∴ 四边形 PONM 是平行四边形． 探究新知 素养考点 1 利用两组对边分别相等识别平行四边形 1. 如图 , AD ⊥ AC , BC ⊥ AC , 且 AB = CD , 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明 ： 在 Rt△ ABC 和 Rt△ C DA 中， ∵ AC = CA , AB = CD , ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ CDA (HL), ∴ BC=DA . 又 ∵ AB = CD , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 巩固练习 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片 , 只剩下如图所示部分 , 他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？ A B C 探究新知 知识点 2 平行四边形的判定定理 2 D A B C 观看上面的图形，李明想使∠ B =∠ D ，∠ A =∠ C 即可，你觉得可以 吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么 ? 探究新知 D A B C 猜想： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 猜想，对吗？ 探究新知 已知：四边形 ABCD , ∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ( 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) 同理可证 AB ∥ CD 又 ∵∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D =360 ° ∴ 2∠ A + 2∠ B =360 ° ∵∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D （ 已知 ） 即 ∠ A + ∠ B =180 ° ∴ AD ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行） A B C D 探究新知 两组 对角 分别相等的四边形是平行四边形 . 平行四边形的 判定定理 2 : 符号语言： A B C D ∵∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平行四边形） 探究新知 A B C D 例 2 如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ∠ B ＝ 55° ， ∠1 ＝ 85° ， ∠2 ＝ 40°. ( 1 ) 求 ∠ D 的度数； ( 2 ) 求证：四边形 ABCD 是 平行四边形． ( 1 ) 解： ∵∠ D ＋ ∠2 ＋ ∠1 ＝ 180° ， ∴∠ D ＝ 180° － ∠2 － ∠1 ＝ 55° ； ( 2 ) 证明： ∵ AB ∥ DC ， ∴∠2 ＝ ∠ CAB ， ∴∠ DAB ＝ ∠1 ＋ ∠2 ＝ 125°. ∵∠ DCB ＋ ∠ DAB ＋ ∠ D ＋ ∠ B ＝ 360° ， 又 ∵∠ D ＝ ∠ B ＝ 55° ， 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形的判定定理 2 判定平行四边形 ∴∠ DCB ＝ ∠ DAB ＝ 125°. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 2. 判断 下列四边形是 否为平行四边形： A D C B 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 3. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件： ∠ A :∠ B :∠ C :∠ D 的值为 （　　） A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 巩固练习 如图，将两根木条 AC 、 BD 的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD ，转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ 猜想： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . A B C D A C B D 探究新知 知识点 3 平行四边形的判定定理 3 已知：如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， OA = OC ， OB = OD . ∴△ ADO ≌△ CBO OA = OC 证明： OB=OD ∠ AOD =∠ COB ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 求 证：四边形 ABCD 是平行四边形 . A C D B O 2 1 在△ ADO 和△ CBO 中， ∴ ∠ 1=∠2 ∴ AD ∥ BC 同理 AB ∥ CD 探究新知 A D C B O 几何语言： ∵ OA=OC OB=OD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 探究新知 对角线互相平分 的四边形是平行四边形 . 平行四边形的 判定定理 3 : 例 3 如图， □ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF . 求证： 四边形 BFDE 是平行四边形 . B O D A C E F 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO . ∵ AE = CF ， ∴ AO - AE = CO - CF , 即 EO = OF . 又 ∵ BO = DO ， ∴四边形 BFDE 是平行四边形 . 探究新知 素养考点 1 利用平行四边形的判定定理 3 判断平行四边形 4. 根据下列条件 , 不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行 5. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O . 如果 AC =8cm, BD =10cm, 那么当 AO =_____cm, BO =_____cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形 . B O D A C C 4 5 巩固练习 1. （2018• 安徽 ） ▱ ABCD 中， E ， F 的对角线 BD 上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（　 ） A． BE = DF B． AE = CF C． AF ∥ CE D．∠ BAE =∠ DCF 巩固练习 连接中考 B 2. （2019• 柳州 ） 平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理． 已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD，AD＝BC ． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 巩固练习 连接中考 证明： 连接 AC ，如图所示： 在 △ ABC 和 △ CDA 中，， ∴ △ ABC ≌△ CDA （SSS） ， ∴∠ BAC ＝∠ DCA ，∠ ACB ＝∠ CAD ， ∴ AB∥CD，BC∥AD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． B D A C 1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 ( ) A. AB∥CD，AD∥BC B. OA ＝ OC，OB ＝ OD C. AD ＝ BC，AB∥CD D. AB ＝ CD，AD ＝ BC C C 课堂检测 基础巩固题 B O D A C 2. 在四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O ， （ 1 ）若 AD =8cm ， AB =4cm ，那么当 BC =___ cm ， CD = ____cm 时，四边形 ABCD 为平行四边形； （ 2 ）若 AO =10cm ， BO =18cm ，那么当 AC =___ cm ， BD = ____cm 时，四边形 ABCD 为平行四边形． A B C D O 8 ㎝ 4 ㎝ 8 4 20 36 课堂检测 基础巩固题 3. 如图， AC ∥ DE 且 AC ＝ DE ， AD ， CE 交于点 B ， AF ， DG 分别是△ ABC ，△ BDE 的中线，求证：四边形 AGDF 是平行四边形. 课堂检测 ∵ AC ∥ DE ， AC ＝ DE ， ∴∠ C ＝∠ E ，∠ CAB ＝∠ EDB . ∴△ ABC ≌△ DBE . ∴ AB ＝ DB ， CB ＝ EB . ∵ AF ， DG 分别是△ ABC ，△ BDE 的中线， ∴ BG ＝ BF . ∴四边形 AGDF 是平行四边形. 基础巩固题 证明： 4. 如图，已知 E ， F ， G ， H 分别是▱ ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点，且 AE = CG ， BF = DH ． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 在平行四边形 ABCD 中，∠ A =∠ C ， AD = BC , 又∵ BF = DH ，∴ AH = CF . 又∵ AE = CG ， ∴△ AEH ≌△ CGF （SAS）， ∴ EH = GF . 同理得 △ BEF ≌△ DGH （SAS）， ∴ GH = EF ， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 课堂检测 基础巩固题 证明： 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD 、 CE ，交于点 P ． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形． 证明： ∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴正五边形的每个内角的度数是 AB = BC = CD = DE = AE ， ∴∠ DEC =∠ DCE = × ( 180°-108° ) =36°， 同理∠ CBD =∠ CDB =36°，∴∠ ABP =∠ AEP =108°-36°=72°， ∴∠ BPE =360°-108°-72° - 72°=108°=∠ A ， ∴四边形 ABPE 是平行四边形． A B C D E P 课堂检测 能力提升题 如图，在 △ ABC 中，分别以 AB 、 AC 、 BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ ABD 、等边 △ ACE 、等边 △ BCF . 试说明四边形 DAEF 是平行四边形． 证明： ∵△ ABD 和 △ BCF 都是等边三角形， ∴∠ DBF ＋ ∠ FBA ＝ ∠ ABC ＋ ∠ ABF ＝ 60° ， ∴∠ DBF ＝ ∠ ABC . 又 ∵ BD ＝ BA ， BF ＝ BC ， ∴△ DBF ≌△ ABC (SAS) ， ∴ AC ＝ DF . 又 ∵ △ ACE 是等边三角形， ∴ AC ＝ DF ＝ AE . 同理可证 △ ABC ≌△ EFC ， ∴ AB ＝ EF ＝ AD ， ∴ 四边形 DAEF 是平行四边形． 课堂检测 拓广探索题 平行四边形的判定 定义法 : 两组 对边分别平行 的四边形叫平行四边形 . 两组 对边分别相等 的四边形是平行四边形 . 两组 对角分别相等 的四边形是平行四边形 . 对角线互相平分 的四边形是平行四边形 . 课堂小结 利用一组对边判定平行四边形 第二课时 返回 取两根等长的木条 AB 、 CD ，将它们平行放置，再用两根木条 BC 、 AD 加固，得到的四边形 ABCD 是平行四边形吗？ 导入新知 2. 会综合运用平行四边形的 判定方法 和性质来证明问题 . 1. 掌握用一组对边 平行且相等 来判定平行四边形的方法 . 素养目标 以小组讨论的形式探讨这一问题. 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的 一组 对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？ 探究新知 知识点 1 平行四边形的判定定理 4 问题 1 ： 一组对边 平行 的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明 . xk 小学学习过的 梯形 满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形. 问题 2： 满足一组对边 相等 的四边形是平行四边形吗？ 如图 1 ，这个四边形 EFGH 满足一组对边 EF=HG 相等的条件，但它不是平行四边形. 探究新知 问题 3 ： 如果 一组 对边 平行 ，而 另一组 对边 相等 的四边形是平行四边形吗？ 如图 2 ， 等腰梯形 属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形． 图 2 E F G H 图 1 我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形 . 请你猜想，这个命题成立吗？ 命题：一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形． 探究新知 命题： 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 . 请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明. 已知：如图 ， 在四边 形 ABCD 中 ， AB // CD ， AB = CD . 求证：四边形 ABCD 是 平行四边形. 探究新知 B D A C 证明： 方法 1 ： 如图， 连接 AC . ∵ AB //CD ， ∴∠1=∠2． 又 ∵ AB =CD ， AC =CA ， ∴ △ABC ≌ △CDA． ∴ BC = D A ． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ． 探究新知 B D A C 2 1 证明： 方法 2 ： ∵ AB //CD ， ∴∠1 = ∠2 ． 又 ∵ AB =CD ， AC =CA ， ∴ △ ABC ≌ △ CDA ． ∴∠ BCA= ∠ DAC ． ∴ AD //BC ． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 如图， 连接 AC ． 探究新知 B D A C 2 1 平行四边形的 判定定理 4 ： 在四边形 ABCD 中 ， ∵ AB // CD ， AB = CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 符号语言 ： 提示： 同一组 对边平行且相等 . 探究新知 B D A C 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB =CD，EB //FD． 又 ∵ EB = AB ，FD = CD， ∴ EB =FD ． ∴四边形 EBFD 是平行四边形． 例 1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点 . 求证：四边形 EBFD 是平行四边形. 探究新知 素养考点 1 直接利用平行四边形的判定定理 4 判定平行四边形 证明： A B C D E F 证明： ∵ 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， ∴ AD∥ EF ， AD=EF ， EF ∥ BC ， EF=BC . ∴ AD ∥ BC ， AD=BC . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 1 . 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 巩固练习 例 2 如图，点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，点 E ， F 分别在直线 AD 的两侧， AE = DF ，∠ A =∠ D ， AB = DC ． 求证：四边形 BFCE 是平行四边形． ∵ AB = CD ，∴ AB + BC = CD + BC ， 即 AC = BD ， 在 △ ACE 和 △ DBF 中 ， AC ＝ BD , ∠ A ＝∠ D , AE ＝ DF , ∴△ ACE ≌△ DBF ( SAS ) ， ∴ CE = BF ，∠ ACE =∠ DBF ， ∴ CE ∥ BF ， ∴ 四边形 BFCE 是平行四边形． 素养考点 2 探究新知 平行四边形的判定定理 4 和全等三角形判定平行四边形 证明： 2. 如图，点 C 是 AB 的中点， AD = CE ， CD = BE ． （1）求证：△ ACD ≌△ CBE ； （2）求证：四边形 CBED 是平行四边形． 证明： （ 1 ）∵点 C 是 AB 的中点， ∴ AC = BC . 在 △ ADC 与 △ CEB 中， AD ＝ CE , CD ＝ BE , AC ＝ BC , ∴△ ADC ≌△ CEB （SSS）， （ 2 ） ∵△ ADC ≌△ CEB ，∴∠ ACD =∠ CBE ， ∴ CD ∥ BE . 又∵ CD = BE ， ∴四边形 CBED 是平行四边形． 巩固练习 例 3 如图，△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， DF∥BC ， EF∥AC ，试问 BF 与 CE 相等吗？为什 么？ 探究新知 素养考点 3 平行四边形的性质和判定的综合题目 解： BF ＝ CE ． 理由如下： ∵ DF∥BC ， EF∥AC ， ∴四边形 FECD 是平行四边形， ∠ FDB =∠ DBE ， ∴ FD = CE . ∵ BD 平分 ∠ ABC ，∴∠ FBD =∠ EBD ， ∴∠ FBD =∠ FDB . ∴ BF = FD . ∴ BF ＝ CE . 3 . 如图，在▱ ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，连接 DE ， EF ， BF ， 写出图中除▱ ABCD 以外的所有的平行四边形 . 解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD ∥ BC ， AD = BC . ∵ E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， ∴ AE = BF = DE = FC ， ∴四边形 A D FE 是平行四边形， 四边形 EFC B 是平行四边形， 四边形 BEDF 是平行四边形 . 巩固练习 （2019•遂宁）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，延长 BC 到 E ，使 CE ＝ BC ，连接 AE 交 CD 于点 F ，点 F 是 CD 的中点． 求证： （1）△ ADF ≌△ ECF ． （2）四边形 ABCD 是平行四边形． 巩固练习 连接中考 证明： （ 1 ） ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAF ＝∠ E ， ∵点 F 是 CD 的中点， ∴ DF ＝ CF ，在△ ADF 与△ ECF 中， ∴△ ADF ≌△ ECF （AAS）； （2） ∵△ ADF ≌△ ECF ，∴ AD ＝ EC ， ∵ CE ＝ BC ，∴ AD ＝BC， ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∠ DAF = ∠ E ， DF = CF ， ∠ AFD = ∠ EFC ， 1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件： A B ∥ CD ， AB = CD ， BC ∥ AD ， BC = AD ， 从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为 平行四边形的选项是（　　） A． AB ∥ CD ， AB = CD B． AB ∥ CD ， BC ∥ AD C． AB ∥ CD ， BC = AD D． AB = CD ， BC = AD C 课堂检测 基础巩固题 2. 四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，给出下列四个条件： ① AD ∥ BC ； ② AD ＝ BC ； ③ OA ＝ OC ； ④ OB ＝ OD . 从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有 ( 　　 ) A ． 3 种　　 B ． 4 种　　 C ． 5 种　　 D ． 6 种 B O D A C B 课堂检测 基础巩固题 3. 在 ▱ ABCD 中， E 、 F 分别在 BC 、 AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　） A． AF = CE B． AE = CF C．∠ BAE =∠ FCD D．∠ BEA =∠ FCE B 课堂检测 基础巩固题 4. 如图，点 E ， C 在线段 BF 上， BE = CF ，∠ B =∠ DEF ，∠ ACB =∠ F ，求证：四边形 ABED 为平行四边形． ∵ BE = CF ， ∴ BE + EC = CF + EC ． 即 BC = EF ． 又 ∵∠ B =∠ DEF , ∠ ACB =∠ F ， ∴△ ABC ≌△ DEF ， ∴ AB = DE . ∵∠ B =∠ DEF ，∴ AB ∥ DE ． ∴四边形 ABED 是平行四边形． 基础巩固题 课堂检测 证明： 如图，将▱ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E ，连接 BE ．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形 . 由题意得 ∠ DAE =∠ D′AE ，∠ DEA =∠ D′EA ， ∠ D =∠ AD′E ， ∵ DE ∥ AD′ ，∴∠ DEA =∠ EAD′ ， ∴∠ DAE =∠ EAD′ =∠ DEA =∠ D′EA ， ∴∠ DAD′ =∠ DED′ ， ∴四边形 DAD′E 是平行四边形， ∴ DE = AD′ . 课堂检测 能力提升题 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ DC ， AB = DC ， ∴ CE ∥ D′B ， CE = D′B ， ∴四边形 BCED′ 是平行四边形 . 能力提升题 课堂检测 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD =12cm， BC =15cm，点 P 自点 A 向 D 以1cm/s的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以2cm/s的速度运动，到 B 点即停止，点 P ， Q 同时出发，设运动时间为 t (s) ． （1）用含 t 的代数式表示： AP = _____ ； DP = ________ ； BQ = ________ ； CQ = ________ ； t cm (12- t ) cm (15-2 t ) cm 2 t cm 课堂检测 拓广探索题 （ 2 ）当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？ 解： 根据题意有 AP = t cm ， CQ =2 t cm ， PD = (12- t ) cm ， BQ = (15-2 t ) cm ． ∵ AD ∥ BC ， ∴ 当 AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形． ∴ t =15-2 t ， 解得 t =5 s ． ∴ t =5s 时四边形 APQB 是平行四边形； 课堂检测 拓广探索题 解： 由 P D = (12- t ) cm， CQ =2 t cm， ∵ AD ∥ BC ， ∴当 PD = QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形． 即 12- t =2 t ， 解得 t =4s ， ∴当 t =4s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形． （ 3 ）当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形 ？ 拓广探索题 课堂检测 平行四边形的判定 平行四边形的 性质与判定 的综合运用 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 . 课堂小结 三角形的中位线 第三课时 返回 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！ 【 想一想 】 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 导入新知 1. 理解三角形中位线的 概念 ，掌握它的 性质 . 2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的 添辅助线法 . 素养目标 3. 能利用 三角形的 中位线定理 解决有关证明和计算问题 . 1. 什么叫三角形的中线？有几条？ 2. 三角形的中线有哪些性质？ A B C D E F 　　连结三角形的顶点和对边中点的线段叫 三角形的中线 . ① 三角形的每一条中线把三角形的面积 平分 . ② 三角形的中线相交于 同一点 .…… 探究新知 知识点 1 三角形的中位线 三角形有 3 条中线 . A B C D E DE 是 △ ABC 的 中位线 什么叫三角形的 中位线 呢？ 探究新知 定义： 连接三角形 两边中点 的线段叫做 三角形的中位线 . A B C D E 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，连接 DE .则线段 DE 就称为△ ABC 的 中位线. 探究新知 问题 1 ： 一个三角形有几条中位线？你能在△ ABC 中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有 三 条，如图，△ ABC 的中位线是 DE 、 DF 、 EF . 问题 2 ： 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形 两边中点 的线段 . 中线是连结一个 顶点 和它的 对边中点 的线段 . 探究新知 问题 3 ： 如图， DE 是 △ ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE 与 BC 的关系 猜想： DE ∥ BC ？ 探究新知 度量 一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析 1 ： D E 猜想： 三角形的中位线 平行于 三角形的第三边且等于第三边的 一半 ． 问题 4 ： 如何证明你的猜想？ 探究新知 分析 2 ： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长 DE 探究新知 证明： D E 延长 DE 到 F ，使 EF = DE ． 连接 AF 、 CF 、 DC ． ∵ AE = EC ， DE = EF ， ∴四边形 ADCF 是平行四边形． F ∴四边形 BCFD 是平行四边形， ∴ CF AD , ∴ CF BD , 又 ∵ ， ∴ DF BC ． ∴ DE ∥ BC ， ． 如图，在△ ABC 中，点 D , E 分别是 AB , AC 边的中点， 求证： 探究新知 D E 延长 DE 到 F ，使 EF = DE ． F ∴四边形 BCFD 是平行四边形． ∴△ ADE ≌△ CFE ． ∴∠ ADE = ∠ F ， 连接 FC ． ∵∠ AED = ∠ CEF ， AE = CE ， 证法 2 ： AD = CF , ∴ BD CF ． 又 ∵ ， ∴ DF BC ． ∴ DE ∥ BC ， ． ∴ CF AD , 探究新知 证明： A B C D E 如图， D 、 E 、 F 分别是 △ ABC 的三边的中点，那么， DE 、 DF 、 EF 都是 △ ABC 的中位线 . F DE ∥ BC 且 DE = BC 同理 : DF ∥ AC 且 DF = AC ； EF ∥ AB 且 EF = AB 探究新知 三角形的中位线 平行于 三角形的第三边，且等于第三边的 一半 . 三角形 中位线定理 ： A B C D E ∵ DE 是 △ ABC 的中位线， ∴ DE ∥ BC 且 DE = BC 符号语言： 有何作用？ （ ∵ AD = BD , AE = CE ) 这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据 . 探究新知 A B C D E F 提示： ①中位线 DE 、 EF 、 DF 把△ ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形 ADFE 和 BDEF ，四边形 BFED 和 CFDE ，四边形 ADFE 和 DFCE . ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一 . 探究新知 由此你知道怎样分蛋糕了吗 ? 例 1 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别为 AC 、 BC 的中点， AF 平分∠ CAB ，交 DE 于点 F .若 DF ＝3，求 AC 的长 . 解： ∵ D 、 E 分别为 AC 、 BC 的中点， ∴ DE ∥ AB ， ∴∠2 ＝ ∠3. 又 ∵ AF 平分 ∠ CAB ， ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∴∠1 ＝ ∠2 ， ∴ AD ＝ DF ＝ 3 ， ∴ AC ＝ 2 AD ＝ 2 DF ＝ 6. 探究新知 素养考点 1 利用中位线定理求线段 1. 三角形各边的长分别为 6 cm 、 10 cm 和 12cm ，连接各边中点所成三角形的周长是 ________. A B C D E F 6 10 12 14 cm 6 5 3 巩固练习 A B C 测出 MN 的长，就可知 A 、 B 两点的距离 . M N 分别找出 AC 和 BC 的中点 M 、 N . 若 MN =36 m ，则 AB = 2 MN =72 m 如果， MN 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 2. 如图， A 、 B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC 和 BC ，怎样测出 A 、 B 两点的实际距离？根据是什么？ 巩固练习 例 2 如图， D 、 E 分别是 △ ABC 的边 AB 、 AC 的中点，点 O 是 △ ABC 内部任意一点，连接 OB 、 OC ，点 G 、 F 分别是 OB 、 OC 的中点，顺次连接点 D 、 G 、 F 、 E . 求证：四边形 DGFE 是平行四边形 . A B C G F E D O ∴ 四边形 DGFE 是平行四边形 = = = 证明： 探究新知 素养考点 2 利用三角形的中位线判断平行四边形 在 △ ABC 中，∵ AD=BD,AE=CE 在 △ OBC 中，∵ OG=BG,OF=CF 3. 已知 : 如图 , 点 E 、 F 、 G 、 H 分别是四边形 ABCD 各边中点， 求证：四边形 EFGH 为平行四边形 . 证明： 连接 AC . ∵ E 、 F 是 AB 、 BC 边中点 ∴ EF ∥ AC 且 EF ＝ AC 同理： HG ∥ AC 且 HG ＝ AC ∴ EF ∥ HG 且 EF ＝ HG ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形 . E F G H A B C D 巩固练习 例 3 如图，在四边形 ABCD 中， AB = CD ， M 、 N 、 P 分别是 AD 、 BC 、 BD 的中点，∠ ABD =20°，∠ BDC =70°，求∠ PMN 的度数． 解 ： ∵ M 、 N 、 P 分别是 AD 、 BC 、 BD 的中点， ∴ PN ， PM 分别是△ CDB 与△ DAB 的中位线， ∴ PM = AB ， PN = DC ， PM ∥ AB ， PN ∥ DC ， ∵ AB = CD ，∴ PM = PN ，∴△ PMN 是等腰三角形， ∵ PM ∥ AB ， PN ∥ DC ， ∴∠ MPD =∠ ABD =20°，∠ BPN =∠ BDC =70°， 素养考点 3 利用三角形的中位线求角度 探究新知 ∴∠ MPN =∠ MPD + ( 180°−∠ NP B ) =130°， ∴∠ PMN = ( 180°−130° ) ÷ 2 =25°． A C B D E 5cm 5. 如图， △ ABC 中 , D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，∠ A =50°, ∠ B =70°, 则∠ AED= . 60° 巩固练习 60° 4. 如图 , MN 为△ ABC 的中位线 , 若∠ ABC =61° 则∠ AMN = . 61° A M B C N 1. （2018•宁波）如图，在 ▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， E 是边 CD 的中点，连结 OE ．若∠ ABC =60°，∠ BAC =80°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 连接中考 巩固练习 B 2. （2019•铜仁市）如图， D 是△ ABC 内一点， BD ⊥ CD ， AD ＝7， BD ＝4， CD ＝3， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BD 、 CD 、 AC 的中点，则四边形 EFGH 的周长为（　　） A．12 B．14 C．24 D．21 连接中考 巩固练习 A 1. 如图，在△ ABC 中， AB =6， AC =10，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 （　　） A . 8 B . 10 C . 12 D . 16 D 课堂检测 基础巩固题 2. 如图，点 D 、 E 、 F 分别是 △ ABC 的三边 AB 、 BC 、 AC 的中点 . （ 1 ）若 ∠ ADF =50° ，则 ∠ B = ； （ 2 ）已知三边 AB 、 BC 、 AC 分别为 12 、 10 、 8 ， 则 △ DEF 的周长为 . 50° 15 A B C D F E 课堂检测 基础巩固题 3. 如图，▱ ABCD 的周长为36，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点， BD =12，求△ DOE 的周长． 解： ∵▱ ABCD 的周长为36， ∴ BC + CD =18． ∵点 E 是 CD 的中点， ∴ OE 是△ BCD 的中位线， DE = CD ， ∴ OE = BC ， ∴△ DOE 的周长为 OD + OE + DE = （ BD + BC + CD ）=15 . 课堂检测 基础巩固题 4. 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， E 为 AB 的中点，在 AB 的延长线上取一点 D ，使 BD ＝ AB ，求证： CD ＝ 2 CE . 证明： 取 AC 的中点 F ，连接 BF . ∵ BD ＝ AB ， ∴ BF 为 △ ADC 的中位线， ∴ DC ＝ 2 BF . ∵ E 为 AB 的中点， AB ＝ AC ， ∴ BE ＝ CF ， ∠ ABC ＝ ∠ ACB . ∵ BC ＝ CB ， ∴△ EBC ≌△ FCB , ∴ CE ＝ BF ， ∴ CD ＝ 2 CE . F 基础巩固题 课堂检测 如图， E 、 F 、 G 、 H 分别为四边形 ABCD 四边之中点． 求证：四边形 EFGH 为平行四边形 . 证明： 如图， 连接 BD . ∵ E 、 F 、 G 、 H 分别为四边形 ABCD 四边之中点， ∴ EH 是△ ABD 的中位线， FG 是△ BCD 的中位线， ∴ EH ∥ BD 且 EH = BD ， FG ∥ BD 且 FG = BD ， ∴ EH ∥ FG 且 EH = FG ， ∴四边形 EFGH 为平行四边形 . 能力提升题 课堂检测 G 如 图，在四边形 ABCD 中， AC ⊥ BD ， BD =12， AC =16， E ， F 分别为 AB ， CD 的中点，求 EF 的长． 解： 取 BC 边的中点 G ，连接 EG 、 FG ． ∵ E ， F 分别为 AB ， CD 的中点， ∴ EG 是△ ABC 的中位线， FG 是△ BCD 的中位线， 又 BD =12， AC =16， AC ⊥ BD ， ∴ EG =8， FG =6， EG ⊥ FG ， ∴ ∴ EG∥AC , FG∥BD , 拓广探索题 课堂检测 三角形的中位线 三角形中位线 平行 于第三边，并且等于它的 一半 三角形的 中位线定理 三角形的中位线 定理的 应用 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 18.2 特殊的平行四边形 18.2 .1 矩形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 矩形的性质 第一课时 返回 在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？ 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？ 导入新知 1. 理解 矩形的概念 ，明确矩形与平行四边形的区别与联系 . 2. 探索并证明矩形的 性质 ，会用矩形的性质解决简单的问题 . 素养目标 3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的 中线 等于斜边的 一半 ”这个定理 . 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形 —— 矩形 探究新知 知识点 1 矩形的定义 【 思考 】 从图形上看 , 矩形是平行四边形吗 ? 若是它们之间有何关系呢 ? 探究新知 有一个角是 直角 的 平行四边形 是矩形 . 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形 是特殊的平行四边形 探究新知 具备平行四边形 所有的性质 . A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 矩形的 一般性质 ： 知识点 2 矩形的性质 探究新知 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些 特殊性质 呢？ A B C D 探究新知 做一做 ： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等 . （ 1 ）请同学们以小组为单位 , 测量身边的矩形（如书本 , 课桌 , 铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数 , 并记录测量结果 . 探究新知 A B C D O AB AD AC BD ∠ BAD ∠ ADC ∠ ABC ∠ BCD 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （ 实物 ） （ 形象图 ） （ 2 ）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想 1 矩形的四个角都是直角 . 猜想 2 矩形的对角线相等 . 探究新知 你能证明吗？ 求证： 矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形 求证： ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90° A B C D 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ ∠ A =90° 又 矩形 ABCD 是平行四边形 ∴ ∠ A =∠ C ∠ B = ∠ D ∠ A +∠ B = 180° ∴ ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90° 即矩形的 四个角都是直角 . 探究新知 已知：如图 , 四边形 ABCD 是矩形 求证： AC = BD A B C D 证明： 在矩形 ABCD 中 ∵∠ ABC = ∠ DCB = 90° 又 ∵ AB = DC ， BC = CB ∴△ ABC ≌△ DCB (SAS) ∴ AC = BD 即矩形的 对角线相等 . 求证 : 矩形的对角线相等 探究新知 矩形特殊的性质 : 矩形的 四个角都是直角． 矩形的 两条对角线相等． 从 角 上看： 从 对角线 上看： 探究新知 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD ∥ BC ， CD ∥ AB ∴ AD = BC ， CD = AB ∴ AC = BD A B C D O ∴ AO = CO ， OD = OB 探究新知 矩形的性质 ∴ ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90° 例 1 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线 AC , BD 相交于点 O , ∠ AOB =60°, AB =4 , 求矩形对角线的长 . 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ， OA = OC = AC , OB = OD = BD , ∴ OA = OB . 又 ∵ ∠ AOB =60°, ∴ OA = AB =4 ， ∴ AC = BD =2 OA =8. A B C D O 探究新知 素养考点 1 利用矩形的性质求线段的长 矩形的对角线相等且互相平分 ∴ △ OAB 是等边三角形， 1. 如图 ， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ， 且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ， 那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 _________. 　　　　　　　　　　　　　 巩固练习 例 2 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 对折，再折叠使 AD 与对角线 BD 重合，得折痕 DG ， 若 AB =8 ， BC =6 ， 求 AG 的长 . G D C B A A′ 解 : 矩形纸片 ABCD 中， ∠ DAB =90° ， AD = BC , AB = CD ， 又∵△ ADG 沿 DG 折叠得到△ A′DG ∴△ ADG ≌ △ A′DG 方法点拨 ： 在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法。 ∴ x 2 +4 2 =(8- x ) 2 解得 ： x= 3 . 设 AG=x ， 则 BG=AB-AG=8-x ， 在 Rt△ GA′B 中， 由 勾股定理 得： A′B 2 + A′G 2 = BG 2 ∴ AD = A′D , AG = A′G ， A′B=AB-A′D= 10-6=4 ， 探究新知 素养考点 2 利用矩形的性质解答折叠问题 2. 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C ′ 处， BC ′ 交 AD 于点 E ， AD ＝ 8 ， AB ＝ 4 ， 求 △ BED 的面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠ A ＝ 90° ， 又由折叠知 ∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∴ BE ＝ DE. 设 BE ＝ DE ＝ x ，则 AE ＝ 8 － x . ∵ 在 Rt△ ABE 中， AB 2 ＋ AE 2 ＝ BE 2 ， ∴4 2 ＋ (8 － x ) 2 ＝ x 2 ， 解得 x ＝ 5 ，即 DE ＝ 5. ∴ S △ BED ＝ DE · AB ＝ ×5×4 ＝ 10. 巩固练习 ∴∠2 ＝ ∠3. 【 思考 】 矩形 ABCD 是轴对称图形吗？ 它的对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？ A B C D E F G H . O 知识点 3 探究新知 矩形的对称性及相关性质 矩形的性质 ： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2 条 矩形的性质： 中心对称： . 对称中心： . 中心对称图形 对角线的交点 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 中心对称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线 互相 平分且 相等 中心对称图形 轴对称图形 O 这是矩形所 特有 的性质 探究新知 A B C D O 两对全等的 等腰三角形 . 你在矩形中还发现了哪些基本图形？ 探究新知 A B C D O 四个全等的 直角三角形 . 探究新知 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 　　如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能 得到什么结论？ B C O A 　　 Rt △ ABC 中， BO 是一条怎样的线段？它的长度与斜边 AC 有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？ 知识点 4 直角三角形的性质 探究新知 猜想： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 . O C B A D 证明 : 延长 BO 至 D , 使 OD = BO , 连接 AD 、 DC . ∵ AO = OC , BO = OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵ ∠ ABC =90° , ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC =90° ， BO 是 AC 上的中线 . 求证 : BO = AC . ∴ BO = BD = AC . 直角 三角形斜边上的 中线 等于斜边的 一半 . 探究新知 例 3 如图，在 △ ABC 中， AD 是高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点． ( 1 ) 若 AB ＝ 10 ， AC ＝ 8 ，求四边形 AEDF 的周长； 解 ： ∵ AD 是 △ ABC 的高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ＝ AE ＝ AB ＝ ×10 ＝ 5 ， DF ＝ AF ＝ AC ＝ ×8 ＝ 4 ， ∴ 四边形 AEDF 的周长 ＝ AE ＋ DE ＋ DF ＋ AF ＝ 5 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 18 ； 探究新知 素养考点 1 利用直角三角形的性质解答题目 ( 2 ) 求证： EF 垂直平分 AD . 证明： ∵ DE ＝ AE ， DF ＝ AF ， ∴ E 、 F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD . 探究新知 提示： 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 3. 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角 三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个 人的位置对每个人公平吗？请说明理由． A B C O 巩固练习 答： 公平 . 因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 . 1. （2018•株洲）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交 于 点 O ， AC =10， P 、 Q 分别为 AO 、 AD 的中点，则 PQ 的长度为 _____ ． 巩固练习 连接中考 2.5 2. （ 2019 • 福建 ） 如图，点 E 、 F 分别是矩形 ABCD 的边 AB 、 CD 上的一点，且 DF ＝ BE ． 求证： AF ＝ CE ． 巩固练习 连接中考 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ D ＝∠ B ＝ 90 °， AD ＝ BC ， ∴ △ ADF ≌△ CBE （ SAS ）， ∴ AF ＝ CE ． AD ＝ BC ， ∠ D ＝∠ B ， DF ＝ BE ， 在△ ADF 和△ CBE 中， 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，下列说法错误的是 （　　） A． AB ∥ DC B． AC = BD C． AC ⊥ BD D． OA = OB A B C D O C 课堂检测 基础巩固题 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12 , 则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D. 不能确定 C 3. 如图，在△ ABC 中 , ∠ ABC = 90°, BD 是斜边 AC 上的中线 . ( 1 ) 若 BD =3cm , 则 AC =_____cm ; ( 2 ) 若 ∠ C = 30° , AB = 5cm , 则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 课堂检测 基础巩固题 4. 如图 , 在矩形 ABCD 中 , E 是 BC 上一点 , AE = AD , DF ⊥ AE , 垂足为 F . 求证： DF = DC . A B C D E F 证明： 连接 DE . ∵ AD = AE ,∴∠ AED =∠ ADE . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AD∥BC ,∠ C =90°. ∴∠ ADE =∠ DEC , ∴∠ DEC =∠ AED . 又∵ DF ⊥ AE , ∴∠ DFE =∠ C =90° . 又 ∵ DE = DE , ∴△ DFE ≌△ DCE , ∴ DF = DC . 课堂检测 基础巩固题 如图，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于 E ， ∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ， 求 ∠ BAE 和 ∠ EAO 的度数． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB ＝ 90° ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD ， AC ＝ BD ， ∴∠ BAE ＋ ∠ DAE ＝ 90° ， AO ＝ BO . 又 ∵∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ， ∴∠ BAE ＝ 22.5° ， ∠ DAE ＝ 67.5°. ∵ AE ⊥ BD ， ∴∠ OAB ＝ ∠ ABE ＝ 67.5° ∴∠ EAO ＝ 67.5° － 22.5° ＝ 45° . 课堂检测 能力提升题 ∴∠ ABE ＝ 90° － ∠ BAE ＝ 90° － 22.5° ＝ 67.5° ， 如图，已知 BD ， CE 是 △ ABC 不同边上的高，点 G ， F 分别是 BC ， DE 的中点，试说明 GF ⊥ DE . 解： 连接 EG ， DG . ∵ BD ， CE 是 △ ABC 的高， ∴∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ 90° . ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG ＝ BC ， DG ＝ BC . ∴ EG ＝ DG . 又 ∵ 点 F 是 DE 的中点， 课堂检测 拓广探索题 ∴ GF ⊥ DE . 矩形的相关概念及性质 具有 平行四边形 的一切性质 四个内角都是直角， 对角线 相等 既是 轴对称 图形也是 中心对称 图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形 课堂小结 定义 性质 矩形的判定 第二课时 返回 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形 . 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？ 导入新知 2. 能应用矩形 定义、判定 等知识，解决简单的证明题和计算题 . 1. 理解并掌握矩形的 判定方法 . 素养目标 小明利用周末的时间，为自己做了一个相框． 问题 1 : 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 　　除了矩形的定义外，有没有 其他判定矩形的方法呢？ 知识点 1 矩形的判定定理 1 探究新知 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立 . 矩形是特殊的平行四边形 . 证明 逆命题 （修正） 问题 2 : 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？ 性质　 猜想　 判定定理 　 探究新知 同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 　　 小明的猜想 : 　对角线相等的四边形是矩形． 　　 　　 问题 3 上节课我们已经知道 “ 矩形的对角线相等 ” ，反过来， 小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 【 讨论 】 你能证明这一猜想吗？ 探究新知 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 . 不对，等腰梯形的对角线也相等 . 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分 . 猜想： 对角线相等的 平行四边形 是矩形 . 已知：平行四边形 ABCD 中， AC = BD . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证明 : ∴ AB=DC ∴ △ ABC ≌ △ DCB （ SSS ） ∵ AB//CD ∴ ∠ ABC +∠ DCB =180° ∴ ∠ ABC =∠ DCB =90° 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . ∴ ∠ ABC =∠ DCB ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 又 ∵ AC=DB ， BC=CB 探究新知 对角线相等 的 平行四边形 是矩形 . 矩形的 判定定理 1 ： 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 且 AC=BD ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . （对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形 . ） A B C D O （或 OA=OC=OB=OD ） 探究新知 　 例 1 如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OD ，∠ OAD =50° ．求 ∠ OAB 的度数． 　 A 　 B 　 C 　 D 　 O 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° ， ∴ ∠ OAB =40°. 探究新知 素养考点 1 利用对角线判定矩形 A B C D O 1 2 1. 如图 ABCD 中 , ∠1= ∠2 . 此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ 解： 四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 ， ∴ AO = BO ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 巩固练习 问题 1 : 前边我们学习了 矩形的四个角，知道它们都是直角， 它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形 . 成立 . 问题 2 : 四边形至少有几个角是直角就是矩形呢 ？ A B D C ( 有一个角是直角 ) A B D C ( 有二个角是直角 ) A B D C ( 有三个角是直角 ) 探究新知 知识点 2 矩形的判定定理 2 做一做： 李芳同学由“边 —— 直角、边 —— 直角、边 —— 直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 猜想： 有三个角是直角的四边形是矩形 . 你能证明上述结论吗？ 探究新知 已知：如图 , 在四边形 ABCD 中 , ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . 证明 : ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A +∠ B =180 ° ,∠ B +∠ C =180 ° ， ∴ AD∥BC , AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 探究新知 有三个角是 直角 的四边形是矩形 . A B C D ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 几何语言： 探究新知 矩形的 判定定理 2 ： 探究新知 归纳总结 矩形的几种判定方法 : 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . （ 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . ） 有三个角是直角的四边形是矩形 . 方法 1 ： 方法 2 ： 方法 3 ： 例 2 如图 , 在 △ ABC 中 , 点 O 是 AC 边上的一个动点 , 过点 O 作直线 MN∥BC , 若 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E , 交 ∠ BCA 的外角平分线于点 F . A B C M N O ) 1 ) 2 ( 5 ( 4 ( 3 ( 6 ( 1 ) 求证 : OE=OF E F 证明： ∵ CF 平分 ∠ ACD ， ∴∠1=∠2 又 ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ 1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ， 同理可证： OC=OE ∴ OE=OF D ( 2 ) 当 O 运动到何处时 , 四边形 AECF 为矩形 ? 素养考点 1 利用角判断四边形是矩形 探究新知 ∴ OC=OF ( 1 ) 答 ： 当点 O 为 AC 的 中点 时，四边形 AECF 是矩形 . 理由 ： 由（ 1 ）知 O E=OF 又 AO=CO ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 又 ∵ EC 、 FC 分别平分 ∠ ACB 、 ∠ ACD ∴∠2+∠4=90° 即 ∠ ECF =90° ∴ 四边形 AECF 是矩形 探究新知 ( 2 ) A B C M N O ) 1 ) 2 ( 5 ( 4 ( 3 ( 6 E F D 2. 如图， □   ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E 、 F 、 G 、 H ， 求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明 ： 在 □   ABCD 中 ， AD∥BC , ∴∠ DAB +∠ ABC =180 ° . ∵ AE 与 BG 分别为 ∠ DAB 、∠ ABC 的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证 ∠ AED = ∠ EHG =90°, ∴∠ AFB =90° ， ∴∠ GFE =90°. ∴ ∠ BAE + ∠ ABF = ∠ DAB + ∠ ABC =90 ° . 巩固练习 1. （2018•上海）已知平行四边形 ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠ A =∠ B B．∠ A =∠ C C． AC=BD D． AB ⊥ BC 巩固练习 连接中考 B 2. （2019•怀化）已知：如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC ， CF ⊥ AD ， E ， F 分别为垂足． （1）求证： △ ABE ≌△ CDF ； （2）求证：四边形 AECF 是矩形． 巩固练习 连接中考 （ 1 ） 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ CD，AD∥BC ， ∴∠ AEB ＝∠ AEC ＝∠ CFD ＝∠ AFC ＝90°， 在△ ABE 和△ CDF 中， ∴△ ABE ≌△ CDF （AAS）； （2） 证明： ∵ AD∥BC ， ∴∠ EAF ＝∠ AEC ＝∠ AFC ＝90°， AB ＝ CD ， ∠ B ＝∠ D ， ∠ AEB ＝∠ CFD ， ∴四边形 AECF 是矩形． ∴∠ EAF ＝∠ AEB ＝90°， ∵ AE ⊥ BC ， CF ⊥ AD ， 1. 如图，在▱ ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O ，则下面条件能判定▱ ABCD 是矩形的是 （　　） A ． AC = BD B ． AC = BC C ． AD = BC D ． AB = AD A 基础巩固题 课堂检测 A B C D O 2. 如图 , 直线 EF∥MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、∠ CAF 的平分线 , 则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯 形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 课堂检测 基础巩固题 3. 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 上的一点 , 且 AE = BF = CG = DH . 求证 : 四边形 EFGH 是矩形 . B C D E F G H O A 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ AC = BD ， AO = BO = CO = DO ， ∵ AE = BF = CG = DH ， ∴ OE = OF = OG = OH ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 ， ∵ EO + OG = FO + OH ， 即 EG = FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 课堂检测 基础巩固题 4. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD = 90 °， AB = 5 ， BC = 12 ， AC = 13 ． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明： 四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD = 90 °， ∴∠ ADC = 90 ° . 又∵△ ABC 中， AB = 5 ， BC = 12 ， AC = 13 ，满足 13 2 = 5 2 + 12 2 ， 即 ∴△ ABC 是直角三角形，且 ∠ B = 90 ° ， ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 课堂检测 基础巩固题 如 图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， CE ⊥ AN ，垂足为 E ， 求证：四边形 ADCE 为矩形． 证明： 在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ DAC ，即 ∠ DAC ＝ ∠ BAC . 又 ∵ AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， ∴ ∠ MAE ＝ ∠ CAE ＝ ∠ CAM , ∴∠ DAE ＝ ∠ DAC ＋ ∠ CAE ＝ (∠ BAC ＋ ∠ CAM ) ＝ 90° . 又 ∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AN ， ∴∠ ADC ＝ ∠ CEA ＝ 90° , ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 课堂检测 能力提升题 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90° ， AD ＝ 24cm ， BC ＝ 26cm ，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动．点 P 、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． ( 1 ) 经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ 解： 设经过 x s ，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 PD ＝ CQ ， 所以 24 － x ＝ 3 x ， 解得 x ＝ 6. 即 经过 6s ，四边形 PQCD 是平行四边形； 拓广探索题 课堂检测 ( 2 )经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解： 设经过 y s ，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP ＝ BQ ， ∴ y ＝ 26 － 3 y ， 解得 y ＝ 6.5 ， 即 经过 6.5s ，四边形 PQBA 是矩形． 课堂检测 拓广探索题 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形 . 对角线 相等 的平行四边形是矩形 . 有 三个角是直角 的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 18.2 特殊的平行四边形 18.2 .2 菱形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 菱形的性质 第一课时 返回 下面的图形中有你熟悉的吗？ 导入新知 越王勾践剑，一把在地下埋藏了 2000 多年的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列的黑色 菱形 暗花纹 . 导入新知 菱形有哪些性质呢？ 1. 理解菱形的 概念 ，会用菱形的性质解决简单的问题 . 2. 探索并证明菱形的 性质定理 . 素养目标 3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般 步骤和方法 . 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角 时 , 成为什么图形 ? 有一个角是直角 有一组邻边相等 ( 矩形 , 由角变化得到 ) 如果从边的角度 , 将平行四边形特殊化 , 让它 有一组邻边相等 , 这个特殊的四边形叫什么呢 ? 四边形 ? 探究新知 知识点 1 菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变 边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ ``x``xk 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 邻边相等 探究新知 有一组 的 邻边相等 平行四边形 叫做 A D C B ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB=BC ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 菱形 . 探究新知 菱形的定义： 几何语言： 菱形就在我们身边！ 探究新知 三菱汽车标志欣赏 探究新知 可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可 . 你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 做一做： 探究新知 知识点 2 菱形边的性质 画出菱形的两条折痕 , 并通过折叠手中的图形回答以下问题： 探究新知 问题： 菱形的四 条 边在数量上有什么关系 ? 猜想： 菱形的四条边都相等 . 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中 ， AB = AD ，对角线 AC 与 B D 相交 于点 O . 求证 : AB = BC = CD = AD ； 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， AD = BC （平行四边形的对边相等）. 又∵ AB = AD , ∴ AB = BC = CD = AD . A B C O D 探究新知 探究新知 菱形的性质： 菱形的 四条边都相等 . B D A C 符号语言： ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD 1. 已知菱形的周长是 36cm ，那么它的边长是 ______. 巩固练习 9cm 2. 已知一个正方形花坛的周长是 48m ， 菱形花坛的边长 是正方形花坛边长的 2 倍，则菱形花坛的周长是（ ） A.24m B.12m C.96m D.48m C 观察： 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形 . 探究新知 知识点 3 菱形对角线的性质 操作： 在自己剪出的菱形上画出两条折痕 , 折叠手中的图形 ( 如图），并回答以下问题 : 问题 1 : 菱形是轴对称图形吗 ? 如果是 , 指出它的对称轴 . 是 ，两条对角线所在直线都是它的对称轴 . 问题 2 : 根据上面折叠过程， 菱形的两对角线有什么关系 ? 猜想 : 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 . 探究新知 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中 ， AB = AD ，对角线 AC 与 B D 相交 于点 O . 求证 : AC ⊥ BD ； ∠ DAC= ∠ BAC ， ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . A B C O D 探究新知 证明： ∵ AB = AD, ∴△ ABD 是等腰三角形 . 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分） . 在等腰三角形 ABD 中 , ∵ OB = OD ， ∴ AO ⊥ BD ， AO 平分 ∠ B A D ， 即 AC ⊥ BD ， ∠ DAC= ∠ BAC . 同理可证 ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . 探究新知 菱形的 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 . B D A C 菱形的性质： 符号语言 : ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AC ⊥ BD AC 平分∠ BAD 和∠ BCD ； BD 平分∠ ABC 和∠ ADC 对边相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 比一比，猜一猜，填写下表： 探究新知 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， BD ＝ 12cm ， AC ＝ 6cm ， 求菱形的周长． 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD . ∵ AC ＝ 6cm ， BD ＝ 12cm ， ∴ AO ＝ 3cm ， BO ＝ 6cm. 在 Rt△ ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长＝ 4 AB ＝ 4× ＝ ( cm ) ． 探究新知 素养考点 1 利用菱形的性质求线段的长 3. 菱形 ABCD 中 , O 是两条对角线的交点，已知 AB ＝ 5cm, AO =4cm ，求两对角线 AC 、 BD 的长 . O C B D A 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ OA=OC ， OB=OD AC ⊥ BD ∵ Rt△AOB 中， OB 2 + OA 2 = AB 2 AB = 5 ， AO = 4 ∴ OB = 3 ∴ BD = 2 OB = 6 cm ， AC = 2 OA = 8 cm . 5 4 3 巩固练习 例 2 如图， E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE ， AE 交 BD 于 O ， 且 ∠ DAE =2∠ BAE ， 求证： OA = EB . A B C D O E 证明： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥BC ， AD = BA ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝ 2∠ ADB ， ∴∠ DAE ＝ ∠ AEB ， ∵ AB = AE ,∴∠ ABC ＝ ∠ AEB ， ∴∠ ABC =∠ DAE ，   ∵∠ DAE ＝ 2∠ BAE ，   又 ∵ AD ＝ BA ， ∴△ AOD ≌△ BEA ， 素养考点 2 利用菱形的性质求证线段相等 探究新知 ∴ AO ＝ BE . ∴∠ BAE ＝ ∠ ADB .  4. 如图，在菱形 ABCD 中， CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ AD 于点 F ， 求证： AE ＝ AF . 证明： 连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分 ∠ BAD ， 即 ∠ BAC ＝ ∠ DAC . ∵ CE ⊥ AB ， CF ⊥ AD ， ∴∠ AEC ＝ ∠ AFC ＝ 90° . 又 ∵ AC ＝ AC ， ∴△ ACE ≌△ ACF . ∴ AE ＝ AF . 巩固练习 　 菱形是特殊的平行四边形 , 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积呢 ? 菱形 A B C D O E 【 思考 】 计算菱形的面积除了上式方法外 , 利用对角线能计算菱形的面积吗 ? 探究新知 知识点 4 菱形的面积 S 菱形 = BC × AE 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O , 试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积 . A B C D O 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD , ∴ S 菱形 ABCD = S △ ABC + S △ ADC = AC · BO + AC · DO = AC ( BO + DO ) = AC · BD . 菱形的面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半 探究新知 例 3 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m ， ∠ ABC ＝ 60 ° ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01m 和 0.1m 2 ） . A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 解： ∵ 花坛 ABCD 是菱形， 探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题 在 Rt △ OAB 中， 5. 菱形 ABCD 的两条对角线 BD 、 AC 长分别是 6cm 和 8cm ，求菱形面积 . C B D A O 解： 巩固练习 O ( cm 2 ) 1 . （2018•淮安）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 巩固练习 连接中考 A O D C A B 巩固练习 连接中考 证明： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD＝CD ， 在△ ADF 和△ CDE 中， ∴△ ADF ≌△ CDE （SAS）， ∴∠1＝∠2． 2. （ 2019 •岳阳）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 、 F 分别为 AD 、 CD 边上的点， DE ＝ DF ，求证： ∠ 1 ＝∠ 2 ． AD ＝ CD ， ∠ D ＝ ∠ D ， DF ＝ DE ， 1. 如图，已知菱形的两条对角线分别为 6cm 和 8cm ，则这个菱形的高 DE 为（　　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D. 9.6cm B 2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC = 8 ， BD = 6 ，则△ ABD 的周长等于（　　） A.18 B.16 C.15 D.14 B 课堂检测 基础巩固题 3. 如图，在菱形 ABCD 中，已知 ∠ A ＝ 60° ， AB ＝ 5 ，则 △ ABD 的周长是 ( 　　 ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 4. 如图，菱形 ABCD 的 周长为 48cm ，对角线 AC 、 BD 相交于 O 点， E 是 AD 的中点，连接 OE ，则线段 OE 的长为 _______. 第 3 题图 第 4 题图 6 cm 课堂检测 基础巩固题 A B C D O A B C D E 5. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在 △ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h . 解： 在 Rt△ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12 ， ∴ S △ AOB ＝ OA · OB ＝ ×5×12 ＝ 30 ， ∴ S 菱形 ABCD ＝ 4 S △ AOB ＝ 4×30 ＝ 120. ∵ 又 ∵ 菱形两组对边的距离相等， ∴ S 菱形 ABCD ＝ AB · h ＝ 13 h ， ∴13 h ＝ 120 ， 得 h ＝ . 课堂检测 基础巩固题 A B C D O 如图，在菱形 ABCD 中， ∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为 1 ： 2 ，周长是 8cm ．求： （ 1 ）两条对角线的长度； （ 2 ）菱形的面积． 解： （ 1 ）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC ， AC ⊥ BD ， AD ∥ BC ， ∴∠ ABC +∠ BAD = 180 ° . ∵∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为 1 ： 2 ， ∴ ∠ ABC = × 180 ° =60 °，∴∠ ABO = ×∠ ABC =30 °， △ ABC 是等边三角形 . 课堂检测 能力提升题 O A B C D ∴ OA = AB = 1cm ， AC = AB = 2cm ， ∴ BD = 2 OB = cm ； （2） S 菱形 ABCD = AC • BD = ×2× = （cm 2 ）． 课堂检测 能力提升题 ∵菱形 ABCD 的周长是 8cm ． ∴ AB = 2cm ， O A B C D 如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E． 求证：∠ AFD =∠ CBE ． 证明： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD ， CA 平分∠ BCD ． ∴∠ BCE =∠ DCE ． 又 CE = CE ， ∴△ BCE ≌△ DCE （SAS）． ∴∠ CBE =∠ CDE ． ∵在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ∴∠ AFD =∠ EDC .∴∠ AFD =∠ CBE ． A D C B F E 课堂检测 拓广探索题 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1 . 周长 = 边长的四倍 2 . 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的 一半 角 对角线 1 . 两组对边 平行且相等 ； 2 . 四条边 相等 两组对角分别相等，邻角互补 1 . 两条对角线互相 垂直平分 ； 2 . 每一条对角线 平分 一组对角 课堂小结 菱形 的判定 第二课时 返回 菱形的两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 A D C B O 导入新知 菱 形 的 性 质 怎样判断一个四边形是菱形？ 2. 经历 菱形判定定理 的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路 . 1. 掌握菱形的 三种判定方法 ，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 . 素养目标 根据菱形的定义 , 可得菱形的第一个判定方法： ∵四边形 ABCD 是 平行四边形 且 AB=AD ∴四边形 ABCD 是菱形 数学语言： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 还有其他的方法吗? 探究新知 知识点 1 菱形的判定定理 1 O A B C D 用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个四边形 . 转动木条 , 这个四边形什么时候变成菱形 ? 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 探究新知 求证 ： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 中， AC ⊥ BD ABCD 求证： ABCD 是菱形 A B C D O ∟ 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC 又 ∵ AC ⊥ BD ; ∴ BA=BC 探究新知 ∴ ABCD 是菱形 对角线互相 垂直 的 平行四边形 是菱形 AC ⊥ BD 几何语言： ∵ 在 □ ABCD 中， AC ⊥ BD , ∴ □ ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的 判定定理 1 ： 探究新知 A B C D O 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA =4, OB =3, AB =5 ， 即 AC ⊥ BD ， ∴ AB 2 = OA 2 + OB 2 ， ∴ △ AOB 是直角三角形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 探究新知 素养考点 1 利用对角线判定菱形 例 1 如图， ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB =5 ， AO =4 ， BO =3. 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 证明： 1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A ．∠ ABC = 90 ° B ． AC ⊥ BD C ． AB = CD D ． AB ∥ CD B 巩固练习 猜想： 四条边都相等 的四边形是菱形 . A 　 B 　 C 　 D 　 李芳同学先画两条等长的线段 AB 、 AD ，然后分别以 B 、 D 为圆心， AB 为半径画弧，得到两弧的交点 C ，连接 BC 、 CD ，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 探究新知 知识点 2 菱形的判定定理 2 证明： ∵ AB = BC = CD = AD ; ∴ AB = CD , BC=AD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中 , AB = BC=CD=AD . 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 探究新知 四条边都相等 的四边形是菱形 . AB=BC=CD=AD A B C D 菱形 ABCD 四 边形 ABCD A B C D 菱形的 判定定理 2 ： 探究新知 几何语言 ： ∵ 在四边形 ABCD 中 ， A B = BC=CD=AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 文字语言 图形语言 符号语言 判定方法 1 判定 方法 2 判定方法 3 菱形的判定： A B C D ∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形 ABCD 是菱形 ∵在 □ ABCD 中 AC ⊥ BD ∴四边形 ABCD 是菱形 ∵在 □ ABCD 中 AB=AD ∴四边形 ABCD 是菱形 A B C D O A B C D 一组 邻边相等 的平行四边形是菱形 探究新知 对角线互相垂直 的平行四边形是菱形 四边相等 的四边形是菱形 H G F E D C B A 证明： 连接 AC 、 BD . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 例 2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH ，求证：四边形 EFGH 是菱形 . 素养考点 1 探究新知 利用边相等判断四边形是菱形 2 . 如图，△ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 O ， CE ∥ AB 交 MN 于点 E ，连接 AE 、 CD . 求证：四边形 ADCE 是菱形 . C A D O E M N ∵ MN 是 AC 的垂直平分线 ∴ AD=CD ， OA=OC ， AE=CE ∵ CE ∥ AB ，∠ DAO = ∠ ECO ∴ △ ADO ≌ △ CEO ∴ AD=CE ∴ AD=CD=CE=AE ∴四边形 ADCE 是菱形 巩固练习 证明： B 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， BE ＝2 DE ， 延长 DE 到点 F ，使得 EF ＝ BE ，连接 CF . ( 1 )求证：四边形 BCFE 是菱形； ( 1 ) 证明： ∵ D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ∥ BC 且2 DE ＝ BC . 又∵ BE ＝2 DE ， EF ＝ BE ， ∴ EF ＝ BC ， EF ∥ BC ， ∴四边形 BCFE 是平行四边形 ． 又 ∵ EF ＝ BE ， ∴四边形 BCFE 是菱形； 探究新知 知识点 3 菱形性质和判定的综合应用 ( 2 ) 解： ∵∠ BCF ＝120°，∴∠ EBC ＝60°， ∴△ EBC 是等边三角形， 过点 E 作 EH ⊥ BC , 则 HE = ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . ( 2 ) 若 CE ＝4，∠ BCF ＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 探究新知 H 探究新知 方法点拨 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明 四条边相等 ，可直接证出菱形；如果只能证出 一组邻边相等 或 对角线互相垂直 ，可以先尝试证出这个四边形是 平行四边形 ． 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 平分∠ DAB ， AB =2，求平行四边形 ABCD 的周长 . 解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD ， ∴∠ BAC =∠ ACD ， ∵ AC 平分∠ DAB ， ∴∠ DAC =∠ BAC ， ∴∠ DAC =∠ ACD ， ∴ AD = DC ，∴四边形 ABCD 为菱形 ， ∴四边形 ABCD 的周长=4×2=8． 巩固练习 A B C D （2019•兰州）如图， AC ＝8 ，分别以 A 、 C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交于点 B 和 D ．依次连接 A 、 B 、 C 、 D ， 连接 BD 交 AC 于点 O ． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长． 巩固练习 连接中考 解： （ 1 ） 四边形 ABCD 为菱形 ； 由作法得 AB ＝ AD ＝ CB ＝ CD ＝ 5 ，所以四边形 ABCD 为菱形； （ 2 ）∵四边形 ABCD 为菱形， 在 Rt △ AOB 中， OB ＝ ， ∴ OA ＝ OC ＝ 4 ， OB ＝ OD ， AC ⊥ BD ， ∴ BD ＝ 2 OB ＝ 6 ． 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 2 . 下列条件中，不能判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） A . AC ⊥ BD , AC 与 BD 互相平分 B . AB = BC = CD = DA C . AB = BC , AD = CD , 且 AC ⊥ BD D . AB = CD , AD = BC , AC ⊥ BD C 课堂检测 基础巩固题 24 cm ² 菱形 3. 一边长为 5cm 平行四边形的两条对角线的长分别为 6cm 和 8cm ，则这个平行四边形为 ，其面积为 . A B C D E F 4. 如图，在菱形 ABCD 中 , CE ⊥ AB , CF ⊥ AD . 则 CE CF ， BE DF . 课堂检测 ＝ ＝ 基础巩固题 证明 ： ∵ ∠ 1= ∠ 2, 又∵ AE = AC , AD = AD , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS). 同理 △ ACF ≌△ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又∵ EF = ED , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 2 5. 如图 ,在△ ABC 中 , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 1 课堂检测 基础巩固题 ∴ CD = ED = CF = EF , 如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm. 将 △ ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm ，得到 △ DEF ， A ， B ， C 的对应点分别是 D ， E ， F ， 连接 AD . 求证：四边形 ACFD 是菱形． 由平移变换的性质得 CF ＝ AD ＝ 10cm ， DF ＝ AC . ∵∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm ， ∴ AC ＝ DF ＝ AD ＝ CF ＝ 10cm ， ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 课堂检测 能力提升题 证明： 已知：如图, □ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ， BC 分别交于 E ， F ． 求证：四边形 AFCE 是菱形 . A B F C D E O ∟ ∵ EF 垂直平分 AC ∴ AO = CO , ∠ AOE = 90 ° ∴∠ FOC =∠ AOE = 90 ° ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AD ∥ BC ∴ AE ∥ FC ∴∠ AEO =∠ CFO ∴△ AEO ≌△ CFO ∴ OE = OF 又 ∵ AO = CO ∴四边形 AFCE 是平行四边形 又 ∵ EF ⊥ AC ∴ 四边形 AFCE 是菱形 课堂检测 拓广探索题 证明： 有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形 . 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形 . 四边相等 的四边形是菱形 . 运用定理进行 计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 18.2 特 殊的平行四边形 18.2 .3 正方形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 正方形的性质 第一课时 返回 　 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？ 　　　 正方形 　 　 怎样研究这类图形？ 　想一想我们是怎样研究矩形和菱形的 . 导入新知 1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的 联系和区别 . 2. 能用正方形的 定义、性质 进行推理与计算 . 素养目标 平行四边形 情境一： 观察体会 探究新知 知识点 1 正方形的定义 探究新知 探究新知 有一个直角 探究新知 有一个直角 矩形 探究新知 有一个直角 矩形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 平行四边形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 平行四边形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 平行四边形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 探究新知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 有一个直角 正方形 平行四边形 你能给正方形下一个定义吗？ 探究新知 问题 1 ： 图中 CD 在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 问题 2 ： 当 CD 移动到 C  D  位置，此时 AD  ＝ AB ，四边形 ABCD 还是矩形吗？ A B C D A B C  D  正方形是特殊的矩形 情景二 ： 两组互相垂直的平行线围成矩形 ABCD 探究新知 矩 形 正方形 〃 〃 【 思考 】 1. 探究新知 矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢? 菱 形 ∟ ∟ ∟ ∟ 正方形 【 思考 】 2. 菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢? 探究新知 小结： 矩 形 〃 〃 正方形 邻边 相等 〃 〃 发现： 一组 邻边相等 的矩形叫正方形 . 菱 形 一个角 是直角 正方形 ∟ 发现： 一个角为 直角 的菱形叫正方形 . 如何来给正方形下定义？ 探究新知 有一组 邻边相等 并且有一个角是 直角 的平行四边形叫正方形 . 请同学们拿出准备好的正方形纸片 , 折一折 , 观察并思考 . 正方形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 探究新知 知识点 2 正方形的性质 总结： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性 平行四边形 中心对称图形 （对角线的交点） 即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形， 又是轴对称 图形 （四条） 探究新知 矩形 菱形 正方形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 (1) (2) (3) (4) 探究新知 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 矩形 菱形 正方形 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 探究新知 性质： 1 . 正方形的 四个角都是直角 , 四条边相等 . 2 . 正方形的 对角线相等 且互相 垂直平分 . 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证：正方形 ABCD 四边都相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明 ： ∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴ ∠ A =90°, AB = BC （正方形的定义） . 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形 （矩形的定义） , 正方形是菱形 ( 菱形的定义 ). ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90°, AB= BC = CD = AD . 探究新知 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证： AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 证明： ∵正方形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = BO = CO = DO . ∵正方形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . 探究新知 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . A D C B O 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . 素养考点 1 探究新知 利用正方形的性质求线段相等 1. 已知正方形 ABCD ， 若 E 为对角线上一点，连接 EA 、 EC . EA = EC 吗？说说你的理由 . E A B C D 1 2 ？ ？ 巩固练习 解 ： EA = EC . 理由如下 ： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC ，∠ 1=∠2=45 °， 又∵ BE=BE ∴△ ABE ≌△ CBE ∴ AE=CE . 例 2 如图，在正方形 ABCD 中， Δ BEC 是等边三角形， 求证： ∠ EAD ＝∠ EDA ＝ 15° . 证明 ： ∵ Δ BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC ,∠ EBC =∠ ECB =60 ° ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD ,∠ ABC =∠ DCB =90 °， ∴ AB = BE = CE = CD , ∠ ABE = ∠ DCE =30 °， ∴△ ABE ，△ DCE 是等腰三角形， ∴∠ BAE = ∠ BEA = ∠ CDE = ∠ CED =75 °， ∴∠ EAD = ∠ EDA =90 ° -75 ° =15 ° . 探究新知 素养考点 2 利用正方形的性质求角度 2. 已知：如图，在正方形 ABCD 中， F 为 CD 延长线上一点， CE ⊥ AF 于 E ， 交 AD 于 M ， 求证： ∠ MFD ＝45° 证明： ∵ CE ⊥ AF ， ∴∠ ADC ＝∠ AEM ＝90° 又 ∵∠ CMD ＝∠ AME ， ∴∠1＝∠2 　 又 ∵ CD ＝ AD ，∠ ADF ＝∠ MDC 　 ∴Rt△ CDM ≌Rt△ ADF 　(ASA) ∴ DM=DF. ∴∠ DMF =∠ DFM ∵∠ ADF =90 °，∴∠ MFD =45 ° . 巩固练习 例 3 如图四边形 ABCD 和 DEFG 都是正方形，试说明 AE=CG. 解 ： ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AD=CD 又∵ 四边形 DEFG 也是正方形 ∴ DE=DG 又∵ 正方形的每个内角为 90° ∴∠ ADE ＋ ∠ EDC ＝ ∠ CDG ＋ ∠ EDC ， ∴∠ ADE ＝ ∠ CDG ∴△ AED ≌△ CGD . ∴ AE=CG A B C D E F G 素养考点 3 利用正方形的性质求线段相等 探究新知 3. 已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE = BF ． 求证：（ 1 ） AE = AF ；（ 2 ） EA ⊥ AF ． 1 2 3 巩固练习 证明 ： （ 1 ）∵ ABCD 是正方形 ∴ AD = AB ，∠ ADE =∠ ABF = 90 ° 在 △ ABF 与 △ ADE 中， AD = AB , ∠ ADE =∠ ABF = 90 °， DE = BF ∴ △ ABF ≌△ ADE （SAS） ∴ AE = AF , ∠ 1 =∠ 3 （ 2 ）∵∠2 +∠ 3 = 90 ° ∴∠ 1 +∠ 2 = 90 °，∴ EA ⊥ FA （2018•吉林）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，且 BE=CF ，求证： △ ABE ≌△ BCF ． 巩固练习 连接中考 证明： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC ，∠ ABE =∠ BCF = 90 ° ， 在 △ ABE 和 △ BCF 中， ∴ △ ABE ≌△ BCF ． AB = BC ∠ ABE =∠ BCF BE = CF A D B C E F 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 课堂检测 基础巩固题 3 ． 在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 4. 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 AE=AB ，则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 3 题图 第 4 题图 45° 课堂检测 基础巩固题 5. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AO ＝ 2 ， 求正方形的周长与面积． ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD ， OA ＝ OD ＝ 2. 在 Rt△ AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 正方形的 周长为 4 AD ＝ ， 面积为 AD 2 ＝ 8 . 课堂检测 基础巩固题 解 : A D B C O 如图，在正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE ⊥ BC 于 E ， PF ⊥ DC 于 F . 试说明： AP = EF . A B C D P E F 解 : 连接 PC ， AC . 又 ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90° ， AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . 课堂检测 能力提升题 四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边作等边 △ ADE ，求 ∠ BEC 的大小． 解： 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 外部时 ，如图 ① ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150°. ∴∠ AEB ＝ 15° . ∴∠ BEC ＝ 60° － 15° － 15° ＝ 30° ； 课堂检测 拓广探索题 同理可得 ∠ DEC ＝ 15°. 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 内部时 ，如图 ② ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， ∴∠ AEB ＝ 75°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 75°. ∴∠ BEC ＝ 360° － 75° － 75° － 60° ＝ 150°. 综上所述， ∠ BEC 的大小为 30° 或 150° . 课堂检测 拓广探索题 1 . 四个角都是 直角 2 . 四条边都 相等 3 . 对角线 相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组 邻边相等 ，并且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形 . 课堂小结 正方形的判定 第二课时 返回 宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合 . 阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？ 导入新知 2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的 证明题和计算题 . 1. 理解并掌握正方形的 判定方法 . 素养目标 做一做： 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状 . 量量看是不是正方形 . 正方形 菱形 【 讨论 】 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 或对角线 相等 探究新知 知识点 1 正方形的判定 已知：如图 , 在菱形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形 . A B C D O 求证 ： 对角线 相等 的 菱形 是正方形 . 探究新知 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = BC = CD = AD , AC ⊥ DB . ∵ AC = DB , ∴ AO = BO = CO = DO , ∴△ AOD , △ AOB , △ COD , △ BOC 是等腰直角三角形， ∴ ∠ DAB =∠ ABC =∠ BCD =∠ A D C =90 ° , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证明： 做一做： 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠 , 然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证 . 正方形 【 讨论 】 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 或对角线互相垂直 探究新知 矩形 已知：如图 , 在矩形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC ⊥ DB . 求证：矩形 ABCD 是正方形 . 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = CO = BO = DO ， ∠ ADC =90 ° . ∵ AC ⊥ DB , ∴ AD = AB = BC = CD , ∴矩形 ABCD 是正方形 . 求证： 对角线 互相垂直 的 矩形 是正方形 . 探究新知 A B C D O 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 且有一个角是直角 正方形常见的判定方法 先证是矩形再证是菱形 或 先证是菱形再证是矩形 探究新知 平行四边形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的 判定小结 探究新知 例 1 已知：如图， △ ABC 中， ∠ C =90° ， CD 平分 ∠ ACB ， DE ⊥ BC 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ． 求证：四边形 CFDE 是正方形． ∵ ∠ C =90° ， DE ⊥ BC 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ∴∠ DEC =90 °， ∠ DFC =90 °， ∴ 四边形 CFDE 有三个直角， 它是矩形 又 ∵ CD 平分 ∠ ACB ∴ DE=DF ∴ 四边形 CFDE 是正方形 探究新知 素养考点 1 由矩形到正方形的识别 证明： ∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC ， ∴∠ DEC =∠ DFC =90° . 又∵ ∠ C =90 ° ， ∴ 四边形 ADFC 是矩形 . 过点 D 作 DG ⊥ AB ，垂足为 G . ∵ AD 是∠ CAB 的平分线 DE ⊥ AC ， DG ⊥ AB ， 同理得 DG = DF ， ∴四边形 EDFC 是正方形 . 1. 如图，在直角三角形中，∠ C =90° ，∠ A 、∠ B 的平分线交于点 D . DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC . 求证 : 四边形 CEDF 为正方形 . A B C D E F G 巩固练习 证明： ∴ DE = DG . ∴ ED = DF ， 证明： ∵四边形 ABCD 为正方形 , ∴ OB = OC , ∠ ABO= ∠ BCO =45°, ∠ BOC =90°=∠ COH +∠ BOH . ∵ EG ⊥ FH , ∴∠ COH= ∠ BOE , ∴ OE = OH . B A C D O E H G F 例 2 如图， EG , FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O , 且 EG ⊥ FH . 求证：四边形 EFGH 是正方形 . 探究新知 素养考点 2 由菱形到正方形的识别 ∴ OE=OF=OG=OH . ∵ EO + GO = FO + HO , 即 EG = HF , ∴∠ BOE +∠ BOH =90°, ∴△ CHO ≌△ BEO , 同理可证： OE = OF = OG , 又 ∵ EG ⊥ FH , ∴四边形 EFGH 为菱形 . ∴四边形 EFGH 为正方形 . 2. 在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、 M 、 N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN ． 四边形 EFMN 是正方形吗 ? 为什么 ? ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA ， ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90 ° . ∵ AE = BF = CM = DN ， ∴ AN = BE = CF = DM . 巩固练习 解： 四边形 EFMN 是正方形 . 理由如下： AE = BF = CM = DN , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D , AN = BE = CF = DM , ∴△ AEN ≌△ BFE ≌△ CMF ≌△ DNM , ∴ EN = FE = MF = NM ， ∠ ANE =∠ BEF , ∴ 四边形 EFMN 是菱形 ， ∠ NEF =180° －（∠ AEN +∠ BEF ） =180° －（∠ AEN +∠ ANE ） =180° － 90 ° =90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形 . 巩固练习 在 △ AEN 、△ BFE 、△ CMF 、△ DNM 中， （ 2019 •北京）在矩形 ABCD 中， M ， N ， P ， Q 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 _______ ． 巩固练习 连接中考 ① ② ③ 1. 在四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A ． AC = BD ， AB∥CD ， AB = CD B ． AD∥BC ，∠ A =∠ C C ． AO = BO = CO = DO ， AC ⊥ BD D ． AO = CO ， BO = DO ， AB = BC C A B C D O 基础巩固题 课堂检测 2. 下列判断中正确的是（ ） A. 四 边相等的四边形是正方形 B. 四 角相等的四边形是正方形 C. 对 角线垂直的平行四边形是正方形 D. 对 角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D 课堂检测 基础巩固题 3. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC ⊥ BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 ∠ ABC = 90 ° 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 课堂检测 基础巩固题 B D A C 4. 如图，在四边形 ABCD 中 , AB = BC , 对角线 BD 平分  ABC , P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM  AD , PN  CD , 垂足分别为 M 、 N . ( 1 ) 求证：  ADB =  CDB ; ( 2 ) 若  ADC =90  , 求证：四边形 MPND 是正方形 . C A B D P M N 证明： （ 1 ）∵ AB = BC , BD 平分 ∠ ABC . ∴∠1=∠2. ∴△ ABD ≌△ CBD (SAS). ∴∠ ADB= ∠ CDB . 1 2 课堂检测 基础巩固题 C A B D P M N （ 2 ） ∵∠ ADC =90 °, 又∵ PM ⊥ AD , PN ⊥ CD, ∴∠ PMD =∠ PND =90° . ∴四边形 NPMD 是矩形 . ∵∠ ADB =∠ CDB, ∴∠ ADB =∠ CDB =45°. ∴ DM = PM,DN = PN . ∴ 四边形 NPMD 是正方形 . 课堂检测 基础巩固题 如图， △ ABC 中， D 是 BC 上任意一点， DE ∥ AC ， DF ∥ AB ． （ 1 ）试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由． （ 2 ）连接 AD ，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？ 解： （ 1 ） ∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ， ∴四边形 AEDF 为平行四边形 . （ 2 ）∵四边形 ADEF 为菱形， ∴ AD 平分∠ BAC ， 则 AD 平分∠ BAC 时，四边形 AEDF 为菱形 . 课堂检测 能力提升题 （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，当△ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由． 解： 由四边形 AEDF 为正方形 ∴∠ BAC = 90 °， ∴△ ABC 是 以 BC 为斜边的直角三角形 即可． 能力提升题 课堂检测 如图，正方形 ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF ⊥ AC ，垂足为 A ， AF = AE ． （ 1 ）求证： BF = DE ； （ 2 ）当点 E 运动到 AC 中点时 ( 其他条件都保持不变 ) ，问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由． （ 1 ） 证明： ∵正方形 ABCD ， ∴ AB = AD ，∠ BAD = 90 °， ∵ AF ⊥ AC ，∴∠ EAF = 90 °， 在 △ ABF 和 △ A DE 中， AB ＝ A D ，∠ BAF ＝∠ EAD ， AF ＝ AE , ∴△ ABF ≌△ ADE （ SAS ）， 拓广探索题 课堂检测 ∴∠ BAF =∠ EAD ， ∴ BF = DE ； （ 2 ） 解： 当点 E 运动到 AC 的中点时 , 四边形 AFBE 是 正方形 ， 理由：∵点 E 运动到 AC 的中点， AB = BC ， ∴ BE ⊥ AC ， BE = AE = AC ， ∵ AF = AE ， 又∵ BE ⊥ AC ，∠ FAE =∠ BEC = 90 °， ∴ BE ∥ AF ， ∴四边形 AFBE 是平行四边形 ， ∵ ∠ FAE = 90 °， AF = AE ， ∴四边形 AFBE 是正方形． 课堂检测 拓广探索题 ∴ BE = AF = AE . ∵ BE = AF ， 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的 判定小结 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 七彩课堂 伴你成长 QICAIKETANG