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- 2021-05-13 发布
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专题综合训练(八)
[专题八 数学思想方法]
(时间:60分钟 分值:100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设函数f(x)=x3-4x+a(0-1 B.x2<0
C.02
2.已知实数x,y满足不等式组则2x-y+3的最小值是( )
A.3 B.4 C.6 D.9
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=3x+x-3的零点为x1,函数g(x)=log3x+x-3的零点为x2,则x1+x2=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
图Z8-1
6.阅读程序框图(如图Z8-1),如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数x的取值范围是( )
A.{x∈R|0≤x≤log2 3}
B.{x∈R|-2≤x≤2}
C.{x∈R|0≤x≤log2 3或x=2}
D.{x∈R|-2≤x≤log2 3或x=2}
7.已知函数f(x)=2x+1,x∈N*.若x0,n∈N*,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.函数f(x)的“生成点”共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x∈R都有f(2-x)+f(x)=0恒成立.
如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是( )
A.(3,7) B.(9,25)
C.(13,49) D.(9,49)
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知cos x=(x∈R),则cos=________.
10.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
11.若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为________.
12.已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时,f(x)=x3.若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点,则a的取值范围是________.
三、解答题(共40分)
13.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)求△ABC的面积.
14.(13分)已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2 an+1,求数列{an·bn}的前n项和Sn.
15.(14分)已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1,g(x)=(ln x-1)·ex+x,(其中e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值,若不存在,请说明理由;
(3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:nnem≥mnen.
专题综合训练(八)
1.C [解析] f′(x)=3x2-4,令f′(x)=3x2-4=0,x=±.故
x
-
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
又因为f(-1)=3+a>0,f(0)=a>0,f(1)=a-3<0,f(2)=a>0,综合以上信息可得示意图如图,由图可知,03,所以点(m,n)为平面上以(3,4)为圆心,2为半径的圆的右半部分的内部,故m2+n2∈(13,49).
9.± [解析] 因为cos x=,sin x=±,所以cos=cos xcos +sin xsin =±.
10. [解析] ∵⊥,∴·=·=-λ2+2+·=0,即-λ×9+4+×3×2×=0,解得λ=.
11. [解析] 令t=(t>0),则a≥=.令m=1+2t>1,则t=,所以a≥===.由于≤=,故a≥.
12.∪(5,+∞) [解析] 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期是2.由g(x)=f(x)-loga|x|=0,得f(x)=loga|x|,在同一平面直角坐标系下,分别作出函数y=f(x)与y=m(x)=loga|x|的图像.若a>1,由图像可知要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点,则满足m(5)=loga5<1,此时a>5.若00,f(x)在(0,e]上单调递增;
②若00,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增;
③若a≥e,则f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减.
(2)∵g(x)=(ln x-1)ex+x,x∈(0,+∞),
∴g′(x)=+(ln x-1)ex+1=ex+1.
由(1)易知,当a=1时,f(x)=+ln x-1在(0,+∞)上的最小值f(x)min=f(1)=0,即当x∈(0,+∞)时,+ln x-1≥0.
又∵ex>0,
∴g′(x)=ex+1≥1>0.
由于曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,
而g′(x)>0,则方程g′(x)=0无实数解.
故不存在满足条件的x0.
(3)证明:nnem≥mnen≥en-mnln ≥n-mln ≥1-+ln -1≥0.由(2)知+ln x-1≥0,令x=,则+ln -1≥0,故原不等式成立.