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- 2021-11-01 发布
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第十一章
三角形
11.1与三角形有关的
线段
第1课时
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形,了解三角
形分类.
2.掌握三角形的三边关系.(难点)
3.运用三角形三边关系解决有关的问题.(重点)
学习目标
导入新课
埃及金字塔
氨
气
分
子
结
构
示
意
图
飞机机翼
问题:
(1)从古埃及的金字塔到现代的飞机,从宏伟的建筑
物到微小的分子结构,都有什么样的形象?
(2)在我们的生活中有没有这样的形象呢?试举例.
问题1:观察下面三角形的形成过程,说一说什么叫三角形?
定义:由不在同一条直线上的三条线段
首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题2:三角形中有几条线段?有几个角?
A
B C
边:线段AB,BC,CA是三角形的边.
顶点:点A,B,C是三角形的顶点,
角:∠A,∠B,∠C叫作三角形的内角,简称三角
形的角.
有三条线段,三个角
讲授新课 三角形的概念
记法:三角形ABC用符号表示________.
边的表示:三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字
母分别表示为________.
△ABC
c,a,b
边c 边b
边a 顶点C
角 角
角
顶点A
顶点B
B C
A
在△ABC中,
AB边所对的角是:
∠A所对的边是:
∠C
B C
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角:
辨一辨:下列图形符合三角形的定义吗?
不符合 不符合 不符合
①位置关系:不在同一直线上;
②联接方式:首尾顺次相接.
u三角形应满足以下两个条件:
要点提醒
u表示方法:
三角形用符号“△”表示;记作“△ABC”,读作
“三角形ABC”,除此△ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
u基本要素:
三角形的边:边AB、BC、CA;
三角形的顶点:顶点A、B、C;
三角形的内角(简称为三角形的角):∠ A、 ∠ B、
∠ C.
u特别规定:
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作
a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
5个,它们分别是△ABE,△ABC,
△BEC,△BCD,△ECD.
找一找:(1)图中有几个三角形?用符号表示出这些三
角形?
A
B C
D
E(2)以AB为边的三角形有哪些?
△ABC、△ABE.
(3)以E为顶点的三角形有哪些?
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
(4)以∠D为角的三角形有哪些?
△ BCD、 △DEC.
(5)说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所
对应的边为DC,顶点C所对应的边为BD,顶点D所
对应的边为BC.
A
B C
D
E
问题1:观察下列三角形,说一说,按照三角形内角
的大小,三角形可以分为哪几类?
锐角三角形、 直角三角形、 钝角三角形.
三角形的分类
腰
不等边三角形 等腰三角形 等边三角形
底边
顶角
底角
问题2:你能找出下列三角形各自的特点吗?
三边均
不相等
有两条
边相等
三条边
均相等
Ø三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ;
Ø有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
Ø三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
思考:等边三角形和等腰三角形之间有什么关系?
总结归纳
三角形按边
分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的
等腰三角形
等边三角形
(三边都相等
的三角形)
判断:
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.( )
(1)一个钝角三角形一定不是等腰三角形.( )
√
×
(3)等腰三角形的腰和底一定不相等.( )×
(4)等边三角形是锐角三角形.( )
(5)直角三角形一定不是等腰三角形.( )×
√
在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它
选择A B 路线,而不选择A C
B路线,难道小狗也懂数学?
C
BA
AC+CB>AB(两点之间线段最短)
三角形的三边关系
A B
C
路线1:从A到C再到B的路线走;
路线2:沿线段AB走.
请问:路线1、路线2
哪条路程较短,你能
说出根据吗?
解:路线2较短;两点之间线段最短.
由此可以得到: ABBCAC
BCABAC
ACBCAB
归纳总结 三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.
议一议
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么
大小关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么
大小关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么?
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度
为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长
度为13cm的木棒呢?
判断三条线段是否可以组成三角形,只需
说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解:取长度为2cm的木棒时,由于2+5=7<8,出现了两边
之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.取长
度为13cm的木棒时,由于5+8=13,出现了两边之和等于
第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
归纳
典例精析
例2 一个三角形的三边长分别为4,7,x,那么
x的取值范围是( )
A.3<x<11 B.4<x<7
C.-3<x<11 D.x>3
判断三角形边的取值范围要同时运用两边
之和大于第三边,两边之差小于第三边.
归纳
解析:∵三角形的三边长分别为4,7,x,
∴7-4<x<7+4,即3<x<11.
A
例3 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么 ?
解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰,也可能是底边,
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm,设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm,则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边,
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
例4 如图,D是△ABC 的边AC上一点,AD=BD,
试判断AC 与BC 的大小.
解:在△BDC 中,
有 BD+DC >BC(三角形的
任意两边之和大于第三边).
又因为 AD = BD,
则BD+DC = AD+DC = AC,
所以 AC >BC.
当堂练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么?
(1) 3,4,8 ( )
(2) 2,5,6 ( )
(3) 5,6,10 ( )
(4) 3,5,8 ( )
不能
能
能
不能
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以
其中三条线为边长可以构成________个三角形.3
22cm
18cm或21cm
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求
第三边的长.
解:设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得,
7-2<x<7+2,即5<x<9,
又x为奇数,则第三边的长为7.
6.若a,b,c是△ABC的三边长,化简|a-b-c|
+|b-c-a|+|c+a-b|.
解:根据三角形的三边关系,两边之和
大于第三边,得
a-b-c<0,b-c-a<0,c+a-b>0.
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|
=b+c-a+c+a-b+c+a-b
=3c+a-b.
拓展提升
课堂小结
三角形
定义及其
基本要素 顶点、角、边
分 类
按角分类
按边分类分类
不重不漏
三边关系
原理 两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为
第三边)
应用
第十一章
三角形
11.1与三角形有关的
线段
第2课时
学习目标
1.掌握三角形的高,中线及角平分线的概念.(重点)
2.掌握三角形的高,中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.(难点)
复习回顾导入新课
定义 图示
垂线
线段
中点
角平
分线
O
B
A
A B
当两条直线相交所成的四个角中,有
一个角是直角时,就说这两条直线互
相垂直,其中一条直线叫做另一条直
线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的
角,这条射线叫做这个角的平分线
你还记得 “过一点画已
知直线的垂线” 吗?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
放、靠、过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
画.
思考:过三角形的一个顶点,
你能画出它的对边的垂线吗?
复习导入
导入新课
三角形的高的定义 A
从三角形的一个顶点,
B C
向它的对边所在直线作垂线,
顶点和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线,
简称三角形的高.
如右图, 线段AD是BC边上的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
讲授新课
和垂足的字母.
注意
标明垂直的记号
三角形的高
思考:你还能画出一条高来吗?
一个三角形有三个顶点,
应该有三条高.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系? O
锐角三角形的三条高交于同一点;
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示;
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
直角三角形的三条高
A
B C
(1) 画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系? D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高 A
B CD
E
F
(2) AC边上的高呢?AB边上呢? BC边上呢?
BF CE AD
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗?
(4)它们所在的直线交于
一点吗?
钝角三角形的三条高
不相交于一点;
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
例1 作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正
确的是( )
典例精析
方法总结:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边
所对的顶点;(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.
D
例2 如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,
BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,若点P在
边AC上移动,则BP的最小值为____.
方法总结:可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高,此解题方法通常称为“面积法”.
24
5
例3 如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE
是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,
求∠ADB的度数.
解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
∴∠DAC=∠BAD=30°.
∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,
∴∠B=50°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-30°-50°=100°.
在三角形中,连接一个顶
点与它对边中点的线段,叫作
这个三角形的中线(median).
AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
三角形的中线
(1)在纸上画出一个锐角三角形,确定它的中线.
你有什么方法?它有多少条中线?它们有怎样的
位置关系?
议一议
三条中线, 交于一点
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的?
折一折,画一画,并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点,这个交点
就是三角形的重心.
要点归纳
典例精析
例4 在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的
中线,若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm,
则BA=________.
提示:将△ABD与△ADC的周长之差转化为
边长的差.
7cm
思考
在一张薄纸上任意画一个三角形,你能设
法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折
纸的方法得到它吗?
三角形的角平分线
B
A
C
用量角器画最简便,用圆规也能.
在一张纸上画出
一个一个三角形并剪
下,将它的一个角对
折,使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A B
C
三角形的角平分线的定义:
在三角形中,一个内
角的平分线与它的对边相
交,这个角的顶点与交点
之间的线段叫三角形的角
平分线.
1 2
A
B CD
注意:“三角形的角平分线”是一条线段.
∠1=∠2
做一做
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的性质
解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=68°,
∴∠DAC=∠BAD=34°.
在△ABD中,
∠B+∠ADB+∠BAD=180°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-36°-34°=110°.
例5 如图,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,
AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数.
A
B D C
D
C
B
A
D
C
B
A
2
1
D
C
B
A
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点
向它的对边所在的直
线作垂线,顶点和垂足
之间的线段
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶
点和它对边中的线段
∵ AD是△ABC的BC上
的中线.
∴ BD=CD= ½BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平
分线与它的对边相交,
这个角顶点与交点之
间的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC
的平分线
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
知识归纳
当堂练习
1.下列说法正确的是 ( )
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可
能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
B
2.在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,则在
以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;
③BD=DC;④AE=EC.其中正确的是 ( )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
D
3.如图,△ABC中∠C=90°,CD⊥AB,图中线段中可以作
为△ABC的高的有 ( ) (
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
B
D
5.填空:
(1)如图①,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则
AB= 2__,BD= __,AE= __
(2)如图②,AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,
则∠1= __, ∠3=_________, ∠ACB=2______.
图① 图②
AF DC
∠2 2∠4
AC1
2
∠ABC1
2
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长. A
D
B C
解:∵CD是△ABC的中线,
∴BD=AD,
∴△DBC的周长=BC+BD+CD=25cm,
则BD+CD=25-BC.
∴△ADC的周长=AD+CD+AC
=BD+CD+AC
=25-BC+AC
=25-(BC-AC)=25-5=20cm.
7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A B
C
E解:∵AE是△ABC的角平分线,
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-
60°=75°,∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C,∠CAE=∠BAE=37.5°,
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.1
2
8.如图,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是
△ABC的角平分线,已知∠BAC=82°,∠C=40°,
求∠DAE的大小.
解: ∵ AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
∴ ∠DAC=180°-(∠ADC+∠C )
=180°-90°-40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线,且∠BAC=82°,
∴∠CAE=41°,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°= 9°.
B
A
CD E
课堂小结
三 角 形 重
要 线 段
高 钝角三角形两短边上的高的画法
中 线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两
个三角形,这两个三角形的周长
差等于原三角形其余两边的差
角平分线
第十一章
三角形
11.1与三角形有关的
线段
第3课时
1.了解三角形的稳定性.(重点)
2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用.
(难点)
学习目标
生活小常识
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先
在窗框上斜钉一根木条,如图,为什么要这样做呢?
导入新课
动手做一做
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架.
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
讲授新课 三角形的稳定性
请同学们看看:三角形和四边形的模型,
扭一扭模型,它们的形状会改变吗?
不会 会
1.三角形具有稳定性.
2.四边形没有稳定性.
发现
u理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形
状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做
“三角形的稳定性”.
这就是说,三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”
的问题,其实质应是“三角形边长确定,其形状和
大小就确定了”.
你能举出一些现实生活中的应用了三角形
稳定性的例子吗?
观察上面这些图片,你发现了什么?
这说明三角形有它所独有的性质,是什
么呢?我们通过实验来探讨三角形的特性.
发现这些物体都用到了三角形,为什么呢?
讨论
具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性
具有稳定性 具有稳定性不具有稳定性
练一练
下列图形中哪些具有稳定性.
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,
那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价
值呢?如果有,你能举出实例吗?
想一想
四边形不稳定性的应用
四边形的不稳定性有广泛的应用
活
动
晾
衣
架
伸缩门
遮
阳
棚
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接
起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?
做一做
思考:四边形没有稳定性,怎样使它稳定呢?
1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门,由于年久
失修已经变成如图甲,为什么会变形?
2.为了恢复成原样图乙,而且要保持形状不
变,他该怎么做呢?
(甲) (乙)
帮帮忙
盖房子时,在窗框未安装好之前,工人师傅常常先在窗
框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?
三角形的稳定性
回顾情景引入问题:
钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定?
例:要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成
两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边
形木架保持稳定该怎么办呢?
典例精析
方法总结:为了使多边形具有稳定性,一般需要用木条
将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.
1.下列图中具有稳定性有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
当堂练习
2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说
法正确的是 ( )
A.稳定性总是有益的,而不稳定性总是有害的
B.稳定性有利用价值,而不稳定性没有利用价值
C.稳定性和不稳定性均有利用价值
D.以上说法都不对
C
3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定门框
ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )D
B
A E
F
C
D
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
4.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是
为了 ( )
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D美观漂亮
C
课堂小结
应用稳 定 性三 角 形
独 有 性 质
四边形具有不稳定性
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