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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第13章专题训练(四)等腰三角形性质与判定的三种思想方法练习

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专题训练(四) 等腰三角形性质与判定的三种思想方法 ‎► 类型一 分类讨论与等腰三角形 ‎1.等腰三角形两边的长分别为5和6,则其周长为________.‎ ‎2.等腰三角形两边的长分别为4和9,则其周长为________.‎ ‎3.若等腰三角形的一个内角为70°,则其顶角的度数为________.‎ ‎4.若等腰三角形的一个角为100°,则其底角的度数为________.‎ ‎5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角的度数为________.‎ 图4-ZT-1‎ ‎6.如图4-ZT-1所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两个格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰直角三角形,那么点C的个数是(  )‎ A.6 B.‎7 C.8 D.9‎ ‎► 类型二 方程思想 ‎7.如图4-ZT-2,点K,B,C分别在GH,GA,KA上,且AB=AC,BG=BH,KA=KG,求∠A的度数.‎ 10‎ 图4-ZT-2‎ ‎8.如图4-ZT-3,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE.求∠A的度数.‎ 图4-ZT-3‎ ‎9.如图4-ZT-4,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点D,AD=BC.‎ ‎(1)求∠B的度数;‎ ‎(2)若点E在BC的延长线上,且CE=CD,连结AE,求∠CAE的度数.‎ 图4-ZT-4‎ ‎► 类型三 转化思想 一、运用“三线合一”进行转化 ‎10.如图4-ZT-5,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF.求证:DE=DF.‎ 图4-ZT-5‎ 10‎ ‎11.如图4-ZT-6,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A的直线EF∥BC,且AE=AF.连结DE,DF.‎ 求证:DE=DF.‎ 图4-ZT-6‎ ‎12.如图4-ZT-7,△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点,求证:DG⊥EF.‎ 图4-ZT-7‎ 二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化 ‎13.如图4-ZT-8,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.‎ 图4-ZT-8‎ ‎14.如图4-ZT-9,△ABC中,∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于点D,求证:AB=CD+BC.‎ 10‎ 图4-ZT-9‎ ‎15.已知△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,交BC于点D,E为AB上一点,且∠EDB=∠B,现有下列两个结论:①AB=AD+CD;②AB=AC+CD.‎ ‎(1)如图4-ZT-10①,若∠C=90°,则结论________成立;(不证明)‎ ‎(2)如图②,若∠C=100°,则结论________成立,请证明.‎ 图4-ZT-10‎ 10‎ 详解详析 ‎1.16或17‎ ‎2.22‎ ‎3.40°或70°‎ ‎4.40°‎ ‎5.[答案] 45°或135° [解析] 腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况.‎ ‎6.[解析] A 分两种情况讨论:‎ ‎①AB为等腰直角三角形的底边时,符合条件的点C有2个;②AB为等腰直角三角形的一腰时,符合条件的点C有4个.‎ ‎7.解:设∠A=x.‎ ‎∵KA=KG,BG=BH,∴∠G=∠H=∠A=x,‎ ‎∴∠ABC=∠HKC=2x.‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.‎ 又∠ACB=∠KCH,‎ ‎∴∠KCH=2x.‎ ‎∵∠H+∠HKC+∠KCH=180°,‎ ‎∴5x=180°,∴x=36°.‎ 即∠A=36°.‎ ‎8.解:∵AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,‎ ‎∴∠ABC=∠C=∠CDB,∠EBD=∠EDB,∠A=∠AED.‎ 10‎ 设∠EBD=∠EDB=x,‎ 则∠A=∠AED=2x,‎ ‎∴∠ABC=∠C=∠CDB=3x,‎ ‎∴∠DBC=∠ABC-∠EBD=2x.‎ ‎∵∠CDB+∠DBC+∠C=180°,‎ ‎∴3x+2x+3x=180°,∴x=22.5°,‎ ‎∴∠A=45°.‎ ‎9.解:(1)连结BD,设∠BAC=x.‎ 由题意知AD=BD.‎ 又∵AD=BC,∴AD=BD=BC,‎ ‎∴∠BAC=∠ABD=x,∠BDC=∠BCD=2x.‎ ‎∵AB=AC,∴∠BCD=∠ABC=2x.‎ ‎∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=x.‎ ‎∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°,‎ ‎∴5x=180°,∴x=36°,‎ ‎∴∠BAC=36°,∠ABC=72°.‎ ‎(2)连结DE.由(1)可得∠ACB=72°.‎ ‎∵CE=CD,‎ ‎∴∠CED=∠CDE=36°=∠DBC,‎ ‎∴BD=DE=AD,‎ ‎∴∠CAE=∠CDE=18°.‎ ‎10.证明:连结AD.∵AB=AC,D是BC的中点,‎ ‎∴AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠EAD=∠FAD.‎ 10‎ 又∵AE=AF,AD=AD,‎ ‎∴△AED≌△AFD,‎ ‎∴DE=DF.‎ ‎11.证明:连结AD,易得AD⊥BC.‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴AD⊥EF.‎ 又∵AE=AF,‎ ‎∴AD是EF的垂直平分线,‎ ‎∴DE=DF.‎ ‎12.证明:连结DE,DF.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C.‎ 又∵BD=CF,BE=CD,‎ ‎∴△BED≌△CDF,‎ ‎∴ED=DF.‎ ‎∵G是EF的中点,‎ ‎∴EG=FG,‎ ‎∴DG⊥EF.‎ ‎13.解:方法一(截长法):在CD上取点E,使DE=BD,连结AE,易得CE=AB=AE,‎ ‎∴∠CAE=∠C,‎ ‎∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.‎ ‎∵∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=2(90°-∠AED)+∠CAE=2(90°-2∠C)+∠C=120°,‎ ‎∴∠C=20°.‎ 方法二(补短法):延长DB至点F,使BF=AB,则∠F=∠FAB,AB+BD=DF=DC.‎ 10‎ 又∵AD⊥BC,∴AF=AC,‎ ‎∴∠C=∠F=∠FAB.‎ 又∵∠F+∠C+∠FAB+∠BAC=180°,‎ ‎∴∠C=20°.‎ ‎14.证明:方法一(截长法):在AB上截取BE=BC.‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠EBD=∠CBD.‎ 又∵BD=BD,BE=BC,‎ ‎∴△BED≌△BCD,‎ ‎∴ED=CD,∠BED=∠C.‎ ‎∵∠C=2∠A,∠BED=∠A+∠ADE,‎ ‎∴∠A=∠ADE,‎ ‎∴AE=ED=CD,‎ ‎∴AB=AE+BE=CD+BC.‎ 方法二(补短法):延长BC至点F,使CF=CD,连结DF,同方法一可证△BDA≌△BDF.又∵DC=CF,则AB=BF=CD+BC.‎ ‎15.解:(1)②‎ ‎(2)①‎ 证明:方法一(截长法):∵AC=BC,∠C=100°,‎ ‎∴∠BAC=∠B=40°.‎ ‎∵∠EDB=∠B,‎ ‎∴DE=BE,∠DEA=2∠B=80°.‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD=20°,‎ ‎∴∠ADE=180°-20°-80°=80°=∠DEA,‎ 10‎ ‎∴AD=AE.‎ 在AB上截取AM=AC,连结MD.‎ 易得△CAD≌△MAD.‎ ‎∴CD=MD,∠DMA=∠C=100°,‎ ‎∴∠DME=∠DEM=80°,‎ ‎∴DM=DE,∴CD=BE,‎ ‎∴AB=AE+BE=AD+CD.‎ 方法二(作垂线):同方法一可得AD=AE,BE=ED.‎ 过点D作DF⊥AB于点F,DG⊥AC,交AC的延长线于点G,‎ 则∠DGC=∠DFE=90°.‎ 又∵AD=AD,∠CAD=∠BAD=20°,‎ ‎∴△DAG≌△DAF,‎ ‎∴DG=DF.‎ 又∵易得∠DCG=∠DEF=80°,∠DGC=∠DFE,‎ ‎∴△DCG≌△DEF,‎ ‎∴CD=ED=BE,‎ ‎∴AB=AE+BE=AD+CD.‎ 10‎ 10‎