2020八年级数学上册第2章特殊三角形2 5页

‎2.7 探索勾股定理(一) ‎ A组 ‎1．已知一个直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形的面积是__6__．‎ ‎2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD＝__8__．‎ ‎ (第2题)‎ ‎　　　(第3题)‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于__8π__．‎ ‎4．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上取一点E，连结BE．将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为____．‎ ‎ (第4题)‎ ‎　　 (第5题)‎ ‎5．如图，数轴上点A，B分别表示1，2，过点B作PQ⊥AB．以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是(B)‎ A． B． C． D． ‎ (第6题)‎ ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC 5‎ 的长为(C)‎ A．5 　　B．6‎ C．8 　　D．10‎ ‎7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．‎ ‎(1)若a＝5，b＝12，求c．‎ ‎(2)若b＝0．7，c＝2．5，求a．‎ ‎(3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b．‎ ‎【解】　(1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，‎ ‎∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169．‎ ‎∵c>0，∴c＝13．‎ ‎(2)∵∠C＝90°，b＝0．7，c＝2．5，‎ ‎∴a2＝c2－b2＝2．52－0．72＝5．76．‎ ‎∵a>0，∴a＝2．4．‎ ‎(3)∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3x，b＝4x．‎ ‎∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．‎ ‎∴(3x)2＋(4x)2＝252，∴x2＝25．‎ ‎∵x>0，∴x＝5，∴b＝4×5＝20．‎ ‎(第8题)‎ ‎8．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上．若CD＝1，DE∥AB，EF⊥DE交BC的延长线于点F，求EF的长．‎ ‎【解】　∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝60°．‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠EDC＝∠B＝60°，‎ ‎∴△EDC是等边三角形，‎ ‎∴DE＝CD＝1．‎ ‎∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，‎ ‎∴DF＝2DE＝2．‎ ‎∴EF＝＝＝．‎ B组 ‎ (第9题)‎ ‎9．如图，等边三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形AB‎1C1，△‎ 5‎ ABC与△AB‎1C1公共部分的面积记为S1；再以等边三角形AB‎1C1的边B‎1C1上的高AB2为边作等边三角形AB‎2C2，△AB‎1C1与△AB‎2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝×(用含n的代数式表示)．‎ ‎【解】　∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，‎ ‎∴AB＝2，BB1＝1，∴AB1＝，‎ ‎∴S△ABB1＝AB1·BB1＝××1＝．‎ 易知∠AB‎1C1＝60°，∴∠CB1B2＝30°．‎ 又∵∠C＝60°，∴B‎1C1⊥AC，∴点B2在AC上．‎ 易知∠B‎1AC＝30°，∴B1B2＝AB1＝，‎ ‎∴AB2＝＝，‎ ‎∴S1＝AB2·B1B2＝××＝×．‎ 同理，S2＝×，S3＝×，‎ ‎……‎ 以此类推，Sn＝×．‎ ‎10．在△ABC中，AB＝‎13 cm，AC＝‎20 cm，BC 边上的高为‎12 cm，求△ABC 的面积．‎ ‎【解】　当∠B 为锐角时(如解图①), ‎ 在Rt△ABD中， ‎ BD＝＝＝5(cm)． ‎ 在Rt△ADC中， ‎ CD＝＝＝16(cm)． ‎ ‎∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)． ‎ ‎∴S△ABC＝BC·AD＝×21×12＝126(cm2)． ‎ ‎(第10题解)‎ 当∠B 为钝角时(如解图②), ‎ 同理，BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．‎ ‎∴S△ABC＝BC·AD＝×11×12＝66(cm2)．‎ ‎∴△ABC 的面积为‎126 cm2或‎66 cm2 ． ‎ 5‎ ‎(第11题)‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．‎ ‎(1)求证：AP2＋PB·PC＝16．‎ ‎(2)若BC边上有100个不同的点(不与点B，C重合)P1，P2，…，P100，设mi＝APi2＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．‎ ‎【解】　(1)过点A作AD⊥BC于点D．‎ ‎∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2．‎ ‎∵AP2－PD2＝AD2，‎ ‎∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16．‎ ‎(2)由(1)知mi＝APi2＋PiB·PiC＝16，‎ ‎∴m1＝m2＝…＝m100＝16，‎ ‎∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600．‎ 数学乐园 ‎12．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，求MP＋PQ＋QN的最小值．‎ ‎(第12题)‎ 导学号：91354013‎ ‎【解】　如解图，作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连结M1N1分别交OA，OB于点Q，P，此时MP＋PQ＋QN的值最小．‎ ‎(第12题解)‎ 5‎ 由对称的性质，知M1P＝MP，N1Q＝NQ，‎ ‎∴MP＋PQ＋QN＝M1N1．‎ 连结ON1，OM1，‎ 则∠M1OP＝∠POM＝∠N1OM＝30°，‎ ‎∴∠N1OM1＝90°．‎ 又∵ON1＝ON＝3，OM1＝OM＝1，‎ ‎∴M1N1＝＝，即MP＋PQ＋QN的最小值为．‎ 5‎