北师大版数学八年级上册知识点总结 9页

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 ‎1、勾股定理 ‎（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 ‎（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）‎ ‎（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 例题：在Rt△ACB中，∠A=90°，AC=6，AB=8，求BC的长。‎ 解：在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=62+82=100‎ ‎ ∴ BC=10‎ 利用勾股定理求直角三角形边长的方法： 一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”： 一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；‎ 二代：代入a2＋b2＝c2；三化简．‎ ‎2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。‎ 例题：在∆ACB中， AC=6，AB=8，BC=10，∆ACB是什么三角形？‎ 解：在△ABC中， AC2+AB2=62+82=100=BC2‎ ‎ ∴∆ACB是直角三角形，∠A=90°‎ 利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边． (2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．‎ ‎3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。‎ ‎ 常见的勾股数有：（3,4,5） （5,12,13） （6,8,10） （7,24,25） （8,15,17） （9,12,15）（9,40,41）（12,16,20）……‎ ‎ 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……‎ ‎（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 ‎ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……‎ ‎4、求几何体两点间的最短路线长的方法： 先将几何体的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．‎ 但要注意：长方体的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况．在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线．‎ ‎5、常见题型应用：‎ ‎（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……‎ ‎（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……‎ ‎（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~‎ ‎ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 ‎（4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10‎ 第 9 页 共 9 页 ‎。求直角三角形的两直角边。‎ ‎ 解：设两直角边为3x，4x，由题意知：‎ ‎ ‎ ‎ ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。‎ 中考突破 ‎（1）中考典题 ‎ 例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？‎ ‎ 思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。‎ ‎ 解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，‎ ‎ ∴AC=2‎ ‎ ∵BD=0.5，∴CD=2‎ ‎ ‎ ‎ ∴EC=1.5‎ ‎ ‎ ‎ 答：梯子顶端下滑了0.5米。‎ 点拨：要考虑梯子的长度不变。‎ 例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。‎ ‎ 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不 ‎ 解：连结AC，在Rt△ADC中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC中，AB2=1521‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：这块地的面积是216平方米。‎ ‎ 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。‎ 第 9 页 共 9 页 第一章 实数 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、实数的概念及分类 ‎ ‎1、实数的分类 ‎ ‎ ‎ 正有理数 ‎ 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 ‎ 正无理数 ‎ 无理数 无限不循环小数 ‎ 负无理数 ‎2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。‎ 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：‎ ‎（1）开方开不尽的数，如等；‎ ‎（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；‎ ‎（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；‎ ‎（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 ‎ ‎1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。‎ ‎2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则a≤0。‎ ‎3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。‎ 第 9 页 共 9 页 ‎4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。‎ 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。‎ ‎5、估算 从两边确定范围，再一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到要精确的程度．‎ 例题：估算的近似值．（精确到0.01） 解：∵ 12＝1，22＝4‎ ‎∴ 1＜ ＜2‎ ‎ ∵ 1.72＝2.89，1.82＝3.24‎ ‎∴ 1.7＜ ＜1.8 ∵ 1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6 ∴ 1.73＜ ＜1.74 ∵ 1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289 ∴ 1.732＜ ＜1.733‎ ‎∴ ≈1.73‎ 利用非负数解题的常见类型 ‎ 例1. ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。‎ 三、平方根、算数平方根和立方根 ‎ ‎1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。‎ 表示方法：记作“”，读作根号a。‎ 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。‎ 表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。‎ 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 ‎ ‎ 注意的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a≥0， ‎ ‎3、立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。‎ 表示方法：记作 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 四、实数大小的比较 ‎ 第 9 页 共 9 页 ‎1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。‎ ‎2、实数大小比较的几种常用方法 ‎（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。‎ ‎（2）求差比较：设a、b是实数，‎ ‎（3）求商比较法：设a、b是两正实数，‎ ‎（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。‎ ‎（5）平方法：设a、b是两负实数，则。‎ ‎（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b，‎ 则a＞b 五、算术平方根有关计算（二次根式）‎ ‎1、 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。其中a为整式或分式，a叫做被开方式。 即含有二次根号“”，被开方数a必须是非负数。‎ ‎2、性质：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎（3） （）‎ ‎（4） （）‎ ‎3、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．‎ ‎4、分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； ‎ ‎(2)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．‎ 二次根式的化简技巧： (1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数； (2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形式； (3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．‎ 六、实数的运算 ‎ ‎（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 被开方数相同的最简二次根式， 称为“同类二次根式” 。‎ ‎（2）实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。‎ ‎（3）运算律 加法交换律 ‎ 加法结合律 ‎ 乘法交换律 ‎ 乘法结合律 ‎ 第 9 页 共 9 页 乘法对加法的分配律 ‎ ‎ 例. 计算：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式___________。‎ ‎ 解：‎ ‎ 规律：‎ 第一章 位置与坐标 一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。‎ 二、平面直角坐标系及有关概念 ‎ ‎1、平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。‎ ‎2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。‎ 注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。‎ ‎3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。‎ 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。‎ 平面内点的与有序实数对是一一对应的。‎ ‎4、不同位置的点的坐标的特征 ‎ ‎（1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 ‎（2）、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点 ‎（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等：x=y 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数：x= - y ‎（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 第 9 页 共 9 页 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。‎ 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。‎ ‎（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）‎ 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）‎ 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）‎ ‎(6)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：‎ ‎（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 ‎（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 ‎（3）点P(x,y)到原点的距离等于 三、坐标变化与图形变化的规律：‎ 坐标（ x ， y ）的变化 ‎ 图形的变化 ‎ x × a或 y × a ‎ 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍 ‎ x × a， y × a ‎ 放大（缩小）为原来的 a倍 ‎ x ×（ -1）或 y ×（ -1） ‎ 关于 y 轴或 x 轴对称 ‎ x ×（ -1）， y ×（ -1） ‎ 关于原点成中心对称 ‎ x +a或 y+ a ‎ 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位 ‎ x +a， y+ a ‎ 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单位 第四章 一次函数 一、函数：‎ 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。‎ 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。‎ 自变量取值范围的确定方法：‎ ‎(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；‎ ‎(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；‎ ‎(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；‎ ‎(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0；‎ ‎(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；‎ ‎(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义 三、函数的三种表示法及其优缺点 ‎（1）关系式（解析）法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。‎ ‎（2）列表法 第 9 页 共 9 页 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。‎ ‎（3）图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。‎ 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 ‎（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 ‎（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 ‎（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。‎ 五、正比例函数和一次函数 ‎ ‎ 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。‎ 特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。‎ ‎2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线。特别地，正比例函数图象是经过原点的一条直线。‎ 直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标： （1）与y轴的交点为(0，b)； （2）与x轴的交点为 .‎ ‎3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：‎ 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。‎ k的 符号 B的 符号 函数图像 图像特征 k>0‎ b>0‎ 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。‎ b<0‎ ‎ ‎ 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。‎ k<0‎ b>0‎ 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 b<0‎ ‎ ‎ 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。‎ 注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。‎ ‎4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；‎ ‎（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。‎ 第 9 页 共 9 页 ‎5、一次函数的性质 一般地，一次函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，y随x的增大而增大 ‎（2）当k<0时，y随x的增大而减小 ‎6、系数相等的一次函数的位置关系 ‎ 平移法：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到： ①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b； ②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b.‎ 用一句话来表述就是：“上加下减”；上、下是“形”的平移，加、减是“数”的变化。‎ ‎．‎ 两条直线平行的规律： 两条直线平行 → k值相等 ‎7、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。‎ 求一次函数关系式的步骤为： 设→代→求→还原，即： (1)设：设出一次函数关系式y=kx+b； (2)代：将所给数据代入函数关系式； (3)求：求出k的值； (4)还原：写出一次函数关系式.‎ ‎8、一次函数与一元一次方程的关系：‎ 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． ‎ 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，‎ 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．‎ ‎ 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．‎ 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．‎ 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤： (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方程的解． ‎ 第 9 页 共 9 页