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  • 2021-11-01 发布

苏科版数学八年级上册《等边三角形》课后练习二

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等边三角形 重难点易错点解析 题一: 题面:如图,等腰直角△ABC 中,CA=CB,点 E 为△ABC 外一点,CE=CA,且 CD 平分∠ACB 交 AE 于 D,且∠CDE=60°.求证:△CBE 为等边三角形. 题二: 题面:已知 :如图,△ABC 中,∠C=90°,学习等边三角形时,我们知道,如果∠A=30°, 那么 AB=2BC,由此我们猜想,如果 AB=2BC,那么∠A=30°,请你利用轴对称变换,证明这 个结论. 金题精讲 题一: 题面:已知:如图,△BCE、△ACD 分别是以 BE、AD 为斜边的直角三角形,且 BE=AD,△CDE 是等边三角形.求证:△ABC 是等边三角形. 题二: 题面:如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,∠EFB=60°,DC=EF. (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD. 题三: 题面:如图,△ABC 中,AB=8,AC=11,BC 边上的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 E、D,则 △ABE 的周长等于 . 题四: 题面:如图,△ABC 是等边三角形,点 D 是边 BC 上(除 B、C 外)的任意一点,∠ADE=60°, 且 DE 交△ABC 外角∠ACF 的平分线 CE 于点 E. (1)求证:∠1=∠2; (2)求证:AD=DE. 思维拓展 题面:已知等腰△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,且 AD= 1 2 BC,则△ABC 底角的度数为( ) A .45° B.75° C.45°或 75° D.60° 课后练习详解 重难点易错点解析 题一: 答案:见详解 详解:∵CA=CB,CE=CA, ∴BC=CE,∠CAE=∠CEA, ∵CD 平分∠ACB 交 AE 于 D,且∠CDE=60°, ∴∠ACD=∠DCB=45°,∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°, ∴∠DAC=∠CEA=15°, ∴∠ACE=150°, ∴∠BCE=60°, ∴△CBE 为等边三角形 题二: 答案:∠A=30°. 详解:如图,延长 BC 至点 D,使 CD=BC,连接 AD, 则△ABC 和△ADC 关于直线 AC 成轴对称, ∴AB=AD,BD=2BC,∠BAC=∠DAC, ∵AB=2BC, ∴AB=BD, ∴AB=AD=BD, ∴△ABD 是等边三角形, ∴∠BAD=60°, ∴∠BAC= 1 2 ∠BAD= 1 2 ×60°=30°. 金题精讲 题一: 答案:见详解 详解:∵△CDE 是等边三角形, ∴EC=CD,∠1=60°. ∵BE、AD 都是斜边, ∴∠BCE=∠ACD=90° 在 Rt△BCE 和 Rt△ACD 中, EC=DC,BE=AD ∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL). ∴BC=AC. ∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=9 0°, ∴∠3=∠1=60°. ∴△ABC 是等边三角形. 题二: 答案:见详解 详解: (1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥DC(内错角相等,两直线平行). ∵DC=EF,∴四边形 EFCD 是平行四边形. (2)连接 BE. ∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△EFB 是等边三角形. ∴EB=EF,∠EBF=60°. ∵DC=EF,∴EB=DC. ∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC. ∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴AE=AD. 题三: 答案:19. 详解:∵BC 边上的垂直平分线是 DE, ∴BE=CE, ∵AB=8,AC=11, ∴△ABE 的周长为:AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=8+11=19. 故答案为:19. 题四: 答案:见详解 详解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∠ADE=60° ∴∠ADE=∠B=60°,∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2. (2)如图,在 AB 上取一点 M,使 BM=BD,连接 MD. ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60° ∴△BMD 是等边三角形,∠BMD=60°.∠AMD=120°. ∵CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线, ∴∠ECA=60°,∠DCE=120°. ∴∠AMD=∠DCE, ∵BA BM=BC BD,即 MA=CD. 在△AMD 和△DCE 中 ∠1=∠2,AM=DC,∠AMD=∠DCE, ∴△AMD≌△DCE(ASA). ∴AD=DE. 思维拓展 答案:C. 详解:根据题意画出图形,注意分别从∠BAC 是顶角与∠BAC 是底角去分析,然后利用等腰 三角形与直角三角形的性质,即可求得答案: 如图 1:AB=AC, ∵AD⊥BC,∴BD=CD= 1 2 BC,∠ADB=90°. ∵AD= 1 2 BC,∴AD=BD. ∴∠B=45°. 即此时△ABC 底角的度数为 45°. 如图 2,AC=BC, ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵AD= 1 2 BC,∴AD= 1 2 AC,∴∠C=30°.∴∠CAB=∠B=(1800-∠A)÷2=75°. 即此时△ABC 底角的度数为 75°. 综上所述,△ABC 底角的度数为 45°或 75°.故选 C.