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- 2021-11-01 发布
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第2课时 二次根式的除法
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,会运用其进行相关运算;(重点)
2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)
[来源:学科网ZXXK]
一、情境导入
计算下列各题,观察有什么规律?
(1)=________;=________.
(2)=________;=________.
________;________.
二、合作探究
探究点一:二次根式的除法
【类型一】 二次根式的除法运算
计算:
(1);(2)-÷;
(3);(4)÷.
解析:本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算,若被开方数是分数,则被开方数相除时,可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算,再进行约分.
解:(1)===2;
(2)-÷=-=-=-=-3;
(3)==;
(4)÷=-÷5=-××=-×=-.
方法总结:利用二次根式的除法法则进行计算时,可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.
【类型二】 二次根式的乘除混合运算
计算:
(1)9÷3×;
(2)a2··b÷.
解析:先把系数进行乘除运算,再根据二次根式的乘除法则运算.
解:(1)原式=9×××=18;[来源:学科网]
(2)原式=a2·b·=.
方法总结:二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同,在运算时要注意运算符号和运算顺序,若被开方数是带分数,要先将其化为假分数.
探究点二:商的算术平方根的性质
【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若=,则a的取值范围是( )
A.a<2 B.a≤2
C.0≤a<2 D.a≥0
解析:根据题意得解得0≤a<2.故选C.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
方法总结:运用商的算术平方根的性质:=(a>0,b≥0),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.
【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简:
(1); (2)(a>0,b>0,c>0).
解析:运用商的算术平方根的性质,用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.
解:(1)===;
(2)==.
方法总结:被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去,即被开方数不含分母,从而化为最简二次根式.
探究点三:最简二次根式[来源:学。科。网Z。X。X。K]
在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.
(1);(2);(3);(4);(5).
解析:根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.
解:(1)=3,被开方数含有开得尽方的因数,因此不是最简二次根式;
(2)=,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式;
(3),被开方数不含分母,且被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此它是最简二次根式;
(4)==,被开方数含有小数,因此不是最简二次根式;[来源:学科网ZXXK]
(5)==,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
方法总结:解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
探究点四:二次根式除法的综合运用
座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其周期计算公式为T=2π,其中T表示周期(单位:秒),l表示摆长(单位:米),g=9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米,它每摆动一个来回发出一次滴答声,那么在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?
解析:由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期,然后利用时间除周期得到次数.
解:∵T=2π≈1.42,=≈42(次),∴在1分钟内,该座钟大约发出了42次滴答声.
方法总结:解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算,解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.
三、板书设计
1.二次根式的除法运算
2.商的算术平方根
3.最简二次根式
被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
在教学中应注重积和商的互相转换,让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质,对比、归纳得到商的算术平方根的性质.在此过程中应给予适当的指导,可提出问题让学生有一定的探索方向.在设计课堂教学内容时,以提问的方式引出本节课要解决的问题,让学生自主探究,在探究过程中观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.
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