2019九年级数学上册 专题突破讲练 切线长定理和三角形的内心试题 （新版）青岛版 9页

切线长定理与三角形的内心 ‎1. 切线长的概念 经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。‎ 说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。‎ ‎2. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 符号语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA ＝ PB，∠1＝∠2。‎ 说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。‎ ‎ （2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。‎ ‎3. 三角形的内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。‎ 说明：⑴三角形的内心一定在三角形的内部；⑵三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；⑶三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。‎ ‎4. 切线长定理的基本图形研究 如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则：‎ 9‎ ‎⑴由切线长定理得：PA＝PB ‎⑵由等腰三角形三线合一性质得：PC⊥AB，AC＝BC ‎⑶由垂径定理得：；AD＝BD ‎⑷由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP ‎⑸∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8‎ ‎⑹由AD、BD分别平分∠PAB和∠PBA得点D为△ABP的内心。‎ 例题 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）‎ A. r B. C. 2r D. ‎ 解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知 ，，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。‎ 解：连接OD、OE，的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC。又的切线，且、是切点，∴MD＝MP，同理可得。‎ ‎＝BD＋BE＝2r。选C。‎ 答案：C 9‎ 点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径（a、b是直角边，是斜边）。‎ 利用切线长定理进行推理证明 ‎“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。‎ 满分训练 已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B。‎ ‎（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，过点B作于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小。‎ 图① 图②‎ 解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，∠BAC＝25°，易算∠MAB，再由切线长定理，可得MA＝MB，则∠MBA＝∠MAB得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由，可得BA＝AD＝BD，可得⊿BAD为等边三角形，从而可得∠AMB＝60°。‎ 答案：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，有。又∠BAC＝25°，‎ ‎∴。∵MA、MB分别切⊙O于点Ａ、B。‎ ‎∴MA＝MB，有，∴。‎ ‎（Ⅱ）如图，连接AD、AB。 ‎ ‎∵，又，∴BD∥MA。又BD＝MA。 ∴四边形MADB是平行四边形。‎ ‎∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，有AD＝BD。又AC为直径，，得，有AB＝AD。∴是等边三角形，有。∴在菱形MADB中，∠AMB＝。‎ 点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的快速解决。‎ 9‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎1. 一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为‎25 cm，∠MPN＝60°，则OP＝（ ）‎ A. ‎50 cm B. ‎25cm C. cm D. ‎50cm ‎2. 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）‎ A. EF＞AE＋BF B. EF＜AE＋BF ‎ C. EF＝AE＋BF D. EF≤AE＋BF ‎ ‎3. 如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切于A、B两点，CD切于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①；②；③；④ ；⑤。其中正确的结论有（ ）‎ A. ①②⑤ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ ‎ ‎4. （武汉中考）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 9‎ ‎5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝ 。‎ ‎6. 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若，那么的度数为 。‎ ‎7. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆， E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若∠A＝50°，则∠EPH＝ 。 ‎ ‎8.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为　　。‎ ‎9. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC。‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R。‎ 9‎ ‎10. 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，‎ ‎（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD＝‎6cm，OC＝‎8cm，求CD的长。‎ ‎11.（雅安中考）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA 的延长线于点E。‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积。（结果保留π）‎ 9‎ ‎1. A 解析：由切线长定理知：∠OPN＝∠MPN＝30°，所以在Rt△OPN中，OP＝2ON＝‎50 cm，故选A。‎ ‎2. C 解析：如下图，连接OA、OB，则OA、OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB，又EF∥AB，则∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，则EA＝EO，同理可求出：FO＝FB，则EF＝AE＋FB；‎ ‎3. A 解析：如图，连接OE，①中结论可由切线性质及切线长定理可得OE⊥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠3＝90°，可证△OED∽△COD，得；根据切线长定理可得AD＝DE，BC＝CE，所以，③中结论不正确，④中高应该是AB，而不是OA。故选A。‎ ‎4. B 解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°，所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，‎ 化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧DE的长为：＝，故选B。‎ ‎5. 23° 解析：由PA、PB是⊙O是切线，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°。 ‎ ‎6. 90° 解析：∵若 ∴∠ADC＋∠DCB＝180° 又∵DA、DC与⊙O相切，∴∠ODC＋∠OCD＝（∠ADC＋∠DCB）＝ 90°，∴＝90°。‎ ‎7. 65° 解析：连接OH、OE，因为⊙O是四边形ABCD的内切圆，所以OH⊥AD，OE⊥AB，而∠A＝50º，所以∠HOE＝130º，所以∠EPH＝∠HOE＝65º。‎ 9‎ ‎8. 6＋π 解析：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A、B，则∠CAO＝90°，∠ACB＝30°，‎ ‎∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO＝1，∴CO＝2AO＝2，‎ ‎∴BC＝2＝1＝3，∴扇形的弧长为：＝π，∴则扇形的周长为：3＋3＋π＝6＋π。‎ ‎9. 解析：（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E。‎ ‎∵AM且⊙O于点A，∴OA⊥AD。又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA。又∵OA是⊙O的半径。‎ ‎∴CD是⊙O的切线。‎ ‎（2）解：过点D作DF⊥BC于点F。（如上图）∵AM、BN分别切⊙O于点A、B，‎ ‎∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形。∴AD＝BF，AB＝DF。又∵AD＝4，BC＝9。‎ ‎∴FC＝9－4＝5。又∵AM、BN、DC分别切⊙O于点A、B、E。∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13。在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2。‎ ‎∴DF＝＝12。∴AB＝12。∴⊙O的半径R是6。‎ ‎10. 解析：（1）证明：连接OE，∵AD和DE是⊙O的两条切线，∴∠AOD ＝∠EOD＝∠AOE，∵弧AE所对的圆心角是∠AOE，弧AE所对的圆周角是∠ABE，∴∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD ＝∠ABE，∴OD∥BE。‎ 9‎ ‎（2）如下图，∵BC和CE是⊙O的两条切线，∴CE＝CB，∴点C是线段BE垂直平分线上的一点，又∵OB＝OE，∴点O是线段BE垂直平分线上的一点，∴线段OC是线段BE的垂直平分线，∴OC⊥BE，∵OD∥BE；∴OC⊥OD在Rt△OCD中，OD＝‎6cm，OC＝‎8cm，根据勾股定理，得CD＝＝‎10 cm。‎ ‎11. 解析：（1） 证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC ＝90°，∵CD＝CB，‎ ‎∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴CD是⊙O的切线。‎ ‎（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60º，OB＝2，BF＝，‎ ‎∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2＝，∠BOD＝2∠BOF＝120°，‎ ‎∴S阴＝S扇 形 BOD －S△ BOD＝ ‎ 9‎