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- 2021-11-06 发布
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第二篇 方程与不等式
专题五 一次方程(组)及应用
一、考点扫描
1、方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程.使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解,也叫做根).
2、一次方程(组)的解法和应用
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为零的方程,叫做一元一次方程.
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1.
3、方程组的有关概念
含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。元一次方程组.二元一次方程组可化为
(a,b,m、n不全为零)的形式.
使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值,叫做方程组的解.
4、一次方程组的解法和应用
解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法.
二、考点训练
1、若代数式3a4b2x与0.2a4b3x-1能合并成一项,则x的值是( )
A. B.1 C. D.0
2、方程组 的解是 ,则a+b=
3、已知方程是二元一次方程,则mn= 。
4、已知关于x,y的方程组的解满足2x-3y=9,则m的值是_________.
5、把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币,共有_____种换法.
6、(2006年随州市)“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题,“鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露,看来脚有100只,几多鸡几多兔?”解决此问题,设鸡为x只,兔为y只,所列方程组正确的是( )
三、例题剖析
1、解方程:x-
1、某酒店客房部有三人间,双人间客房,收费数据如下表:
普通(元/间/天)
豪华(元/间/天)
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客,实行团体入住五折优惠措施,一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人普通间客房.若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1510元,则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?
2、(2006年青岛市)某商店的老板销售一种商品,他要以不低于进价20%的价格才能出售,但为了获得更多利润,他以高出进价80%的价格标价,若你想买下标价为360元的这种商品,最多降低多少元,商店老板才能出售?
3、(2005年岳阳市)某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张,已知体彩中心有A,B,C三种不同价格的彩费,进价分别是A种彩票每张1.5元,B种彩票每张2元,C种彩票每张2.5元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎,用去45000元,请你设计进票方案;
(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元,B型彩票一张获手续费0.3元,C型彩票一张获手续费0.5元.在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费最多,你选择哪种进票方案?
(3)若经销商准备用45000元同时购进A,B,C三种彩票20扎,请你设计进票方案.
专题六 分式方程及应用
一、考点扫描
1.分式方程.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:解分式方程的关键是去分母(方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程.
3.分式方程的增根问题:
⑴ 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根的增根;
⑵ 验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.
4.分式方程的应用:
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性.
5.通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法,并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程,灵活应用不同的解法,特别是技巧性的解法解决问题.
二、考点训练
1、(2004、海口)把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母,得( )
A.1-(1-x)=1 B.1+(1-x)=1 C.1-(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=x-2
2、(2004、湟中,3分)正在修建的西塔(西宁~塔尔寺)高速公路上,有一段工程,若甲、乙两个工程队单独完成,甲工程队比乙工程队少用10天;若甲、乙两队合作,12天可以完成.若设甲单独完成这项工程需要x天.则根据题意,可列方程为_______________。
3、满足分式方程的x值是( )
A.2 B.-2 C.1 D.0
4、若方程有增根,则增根为_____,
a=________.
5、如果,则 A=____
B=________.
6、当 k等于( )时,是互为相反
A. B. C. D.
三、例题剖析
1、若关于x的方程无实数解,则m的值为________.
练习:
(1)、若关于x的方程有实数根,求m的
取值范围。
(2)、若关于x的方程无实数根,求m的
取值范围。
2、当m为何值时,关于x的方程的解是正值?
四、综合应用
1、甲、乙两地相距200千米,一艘轮船从甲
地逆流航行至乙地,然后又从乙地返回甲地,已知水流的速度为4千米/时,回来时所用的时间是去时的,求轮船在静水中的速度.
2、(2005、南充,8分)列方程,解应用题:
某车间要加工170个零件,在加工完90个以后改进了操作方法,每天多加工10个,一共用 5天完成了任务.求改进操作方法后每天加工的零件个数.
3、阅读理解题)先阅读下列一段文字,然后
解答问题:
已知:方程
方程
方程
方程
问题:观察上述方程及其解,再猜想出方程:x-1/x =10的解,并写出检验.
专题七 一元二次方程及应用
一、考点扫描
1.一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方 程.一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
2.一元二次方程的解法:
⑴ 配方法:用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(k≠0)的一般步骤是:①化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;②移项,即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项;③配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方;④化原方程为(x+m)2=n的形式;⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果n=<0,则原方程无解.
⑵ 公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是(b2-4ac≥0)
⑶ 因式分解法:因式分解法的步骤是:①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.
3.一元二次方程的注意事项:
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.如关于x的方程(k2-1)x2+2kx+1=0中,当k=±1时就是一元一次方程了.
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①化方程为一元二次方程的一般形式;②确定a、b、c的值;③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则代人求根公式,求出x1 ,x2.若b2-4a<0,则方程无解.
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4)2=3(x+4)中,不能随便约去(x+4
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.
4.构建一元二次方程数学模型:一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型,通过审题弄清具体问题中的数量关系,是构建数学模型,解决实际问题的关键.
5.注重.解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.
二、考点训练
1、下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
2、已知方程5x2+kx-10=0一个根是-5,则它的另一个根为 .
3、关于x的一元二次方程
,则m的值为( )
A.m=3或m=-1 B. .m=-3或m= 1
C.m=-1 D.m=-3
4、方程解是( )
A.x1=1 B.x1=0, x2=-3
C.x1=1,x2=3 D.x1=1, x2=-3
5、(2005、杭州,3分)若t是一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则判别式Δ=b2-4ac和完全平方式M=(2a+b)2的关系是( )
A.Δ=M B.Δ>M
C.Δ<M D.大小关系不能确定
6、(2005、温州)已知x1、x2是方程x2-3x+1 =0的两个实数根,则的值是( )
A、3 B、-3 C、 D、1
7、(2005、金华)用换元法解方程(x2-x)-=6时,设=y,那么原方程可化为( )
A. y2+y-6=0 B. y2+y+6=0
C. y2-y-6=0 D. y2-y+6=0
8、已知关于x的方程
有两个不相等的实根,那么m的最大整数是( )
A.2 B.-1 C.0 D.l“
三、例题剖析
1、(2005、,内江,4分)等腰△ABC中,BC=8,
AB、BC的长是关于x的方程x2-10x+m= 0的两根,则m的值是________.
2、两个数的和为6,差(注意不是积)为8,以这两个数为根的一元二次方
程是__________
3、(2005、南充,3分)关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号,则a的取值范围是_
_______________
4、(2004、海口,8分)某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
5、某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书
用100元,按该书定价2.8元出售,并很快售完.由
于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价比第一次高0.5元,用去了150元,所购书数量比第一次多10本,当这批书售出时,出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书.试问该老板第二次售书是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其他因素片若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?
四、综合应用
1、(2005、绍兴,4分)钟老师出示了小黑板上的题目(如图1-2-2)后,小敏回答:“方程有一根为1”,小聪回答:“方程有一根为2”.则你认为( )
A.只有小敏回答正确
B.只有小聪回答正确
C.小敏小聪回答都正确
D.小敏A聪回答都不正确
2、(2005、南昌,3分)如图1-2-3为长方形时钟钟面示意图,时钟的中心在长方形对角线的交点上,长方形的宽为20厘米,钟面数字2在长方形的顶点处,则长方形的长为_________厘米.
3、(阅读理解题)阅读下题的解答过程,请你
判断其是否有错误,若有错误,请你写出正确答案.已知:m是关于x的方程mx2 -2x+m=0的一个根,求m的值.
解:把x=m代人原方程,化简得m3=m,两边同时除以m,得m2 =1,所以m=l,把=l代入原方程检验可知:m=1符合题意,答:m的值是1.
专题八 一元一次不等式(组)及应用
一、考点扫描
1.一元一次不等式及不等式组的概念
2.不等式的基本性质:()不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
4.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.
一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
5.求不等式(组)解集的过程叫做解不等式.
6.一元一次不等式的解法.
解一元一次不等式的步骤:①去分母,②去话号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1(不等号的改变问题)
7、一元一次不等式组的解.
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分,即这个不等式的解。
8.求不等式(组)的正整数解,整数解等特解,可先求出这个不等式的解集,再从中找出所需特解.
9、列不等式解应用题的一般步骤:列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似,其步骤包括:①设未知数;②找不等关系;③列不等式(组)④解不等式(组)⑤检验,其中检验是正确求解的必要环节.
二、考点训练
1、(2004、北碚)关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示,
则a的取值是( ) ( )
A.0 B.-3
C.-2 D.-1
2、若a>b,则下列不等式一定成立的是( )
3、(2004、湟中). 设 A 、B 、 C 表表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图1-1-2所示,那么“ AA”、“B ”、“ C ”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为( )
A、A B C B、C B A
C、 B A C D、B C A
4、已知关于x的不等式(1-a)x>3的解集为x<,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1 C.a<0 D.a<1
5、已知关于x的方程 3x-(2a-3)=5x +(3a+6)的解是负数,则a的取值范围是________
6、使不等式x-5>4x—l成立的值中的最大的整数是( )
A.2 B.-1 C.-2 D.0
7、(2004、汉中,3分)把不等式组 的解集表示在数轴上,确的是图l-l-6中的( )
8、(2004、海淀模拟,3分)若不等式组的解集为x>2,则a的取得范围是( )
A. a<2 B. a≤2 C. a>2 D. a ≥2
三、例题剖析
1、如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的
解为x<,求关于x的不等式ax>b的解集.
2、若不等式组有5个整数解,则a 的取范围是_______
3、若不等式组的解集是5<x<22时, a=____, b=_______.
4、在方程组中,若未知数x 、y满足 x+y>0,求m的取值范围。
四、综合应用
1、(2005、绍兴,10分)班委会决定,由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支,送给结对的山区学校的同学.他们去了商场,看到圆珠笔每支5元,钢笔每支6元.
(1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元,问圆珠笔、钢笔各买了多少支?
(2)若购圆珠笔可9折优惠,钢笔可8折优惠,在所需费用不超过100元的前提下,请你写出一种选购方案.
2、(新情境题)商场出售的A型冰箱每台售
价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度.现将A型冰箱打折出售时一折后的售价为原价的,问商场至少打几折,消费者购买才合算(按使用期为10年,每年365天,每度电0.4 0元计算).