- 2.22 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
2013年中考数学复习第二十讲 多边形与平行四边形
【基础知识回顾】
一、 多边形：
1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形
2、多边形的内外角和：
n(n≥3)的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是
3、多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个几边形共有 条对边线
【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】
二、平面图形的镶嵌：
1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一起，称作平面图形的
2、镶嵌的方法：⑴用同一种正多边形，可以用 、 或
⑵用两正多边形，组合方式有： 和 、 和 、 和
合 等几种
【名师提醒：镶嵌的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360度】
三、平行四边形
1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成
2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的两组对边分别
⑵平行四边形的两组对角分别 ⑶平行四边形的对角线
【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】
3、平行四边形的判定： ⑴用定义判定
⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形
⑶一组对它 的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形
⑸对角线 的四边形是平行四边形
4、平行四边形的面积：计算公式 X
【重点考点例析】
考点一：多边形内角和、外角和公式
例1 （2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．
解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°． 故答案为：300°．
对应训练
1．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．
解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-300°=240°，故答案为240．
考点二：平面图形的镶嵌
例2 （2012•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ D ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
对应训练
考点三：平行四边形的性质
例4 （2012•广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠D=∠EAF，
∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，即DF=AE，
在△AEF和△DFC中，
，∴△AEF≌△DFC（SAS）．
对应训练
3．（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．
4．（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC．
考点四：平行四边形的判定
例5 （2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（ C ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行的四边形是梯形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；
B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，
∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，
即，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，
但是四边形ABDE
不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；
D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；
例6 （2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
对应训练
5．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；
所以正确的命题个数为2个， 故选B．
6．（2012•沈阳）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN，
又∵AD∥BC，∴∠E=∠F．在△AEM与△CFN中，
，∴△AEM≌△CFN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥= CD，
又由（1）得AM=CN，∴BMDN，∴四边形BMDN是平行四边形．
【聚焦山东中考】
1．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度（不取近似值）。
解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°
则内角度数是：180°-（）°=（）°，故答案为：．
2．（2012•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（ ）A．53° B．37° C．47° D．123°
解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，∴∠EFA=90°-53°=37°，∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC=37°．故选B．
3．（2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（ ）
A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE
解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；
D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．
故选C．
4．（2012•烟台）▱ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．
解：如图，∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），
∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，
∴C的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．
5．（2012•济南）（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE=BF；
（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，
又BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°．
6．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI=FG．
证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，
在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．
7．（2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．
（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），
在△ADE和△CBF中，
，∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时， 则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，
∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），
∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），
∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，
又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=．
2013年中考数学复习第二十一讲 矩形 菱形 正方形
【基础知识回顾】
一、 矩形：
1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质： ⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线
3、矩形的判定：⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的 是矩形
⑶对角线相等的 是矩形
【名师提醒：1、矩形是 对称到对称中心是 又是 对称图形对称轴有 条
2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全等的 三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】
菱形：1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线 且每条对角线
3、菱形的判定：⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的 是菱形
⑶四条边都相等的 是菱形
【名师提醒：1、菱形即是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是
2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形
3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算
4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形
2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证 ⑵先证是菱形，再证
【重点考点例析】
考点一：和矩形有关的折量问题
例1 （2012•肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，
∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，∴BD=BE；
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，
∴CD=BD=×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
在Rt△BCD中，BC= =4，
∴四边形ABED的面积=（4+8）×4 =24．
对应训练
1．（2012•哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，∴∠AGE=∠AED，∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，AB==．故答案为：．
考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2 （2012•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 24 cm2．
解：连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴4×5x=20cm，解得：x=1，
故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，故可得AC×BD=24cm2．
对应训练
2．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5cm B．2cm C．cm D．cm
解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO= AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC= =5cm，∴S菱形ABCD=BD•AC 2 =×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AD，∴BC×AE=24，∴AE=cm，故选D．
考点三：和正方形有关的证明题
例3 （2012•黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．
证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC，又∵DE=CF，∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在RT△AOE和RT△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，
∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．
对应训练
12．（2012•贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵ AB=AD AE=AF ，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴CE=CF，
（2）解：连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x=，∴AB==，
∴正方形ABCD的周长为4AB=．
考点四：四边形综合性题目
例4 （2012•江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．
解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，
∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°-90°-60°）×+60°=165°，
∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为：15°或165°．
对应训练
4．（2012•铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．
解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，∵在△COA和△DOB中
，∴△COA≌△DOB，∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB= OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，∴OA=CF=1，即AB=， 故答案为：．
【聚焦山东中考】
2．（2012•青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，∴OE=OF 又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形．
3．（2012•威海）如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（ ）
A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF=∠DCB，∠BAE=∠BAD，
∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中 ∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ，
∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，
∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，
∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选C．
4．（2012•聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．
5．（2012•济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．（1）在图中画出线段DE和DF；
（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？
解（1）如图所示；
（2）∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠EAD，
∵AB∥DE，∴∠FAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形，∴AD与EF互相垂直平分．
2013年中考数学复习第二十二讲 梯形
【基础知识回顾】
一、 梯形的定义、分类、和面积：
1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的
直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形
一般梯形
等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形
特殊梯形
2、分类：梯形
3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X高
【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】
二、等腰梯形的性质和判定：
1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等
⑵等腰梯形的对角线 ⑶等腰梯形是 对称图形
2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等
⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形
⑶对角线 的梯形是等腰梯形
【重点考点例析】
考点一：梯形的基本概念和性质
例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9
．
解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，
则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC，
∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，
故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9． 故答案为：9．
对应训练
1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ A ）
A．17 B．18 C．19 D．20
解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．
考点二：等腰梯形的性质
例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（ A ） A．25 B．50 C．25 D．
解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC（已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE（等量代换），
∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，
作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，
对应训练
2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3 3
．
解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，
∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．
考点三：等腰梯形的判定
例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED， ∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
对应训练
4．（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是 ①DM=CN
．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．
解：（1）可以选择①DM=CN；
（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN ∴△AMD≌△BCN，
∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴，
∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB ∴四边形ABNM是等腰梯形．
考点四：梯形的综合应用
例4 （2012•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD，正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解：连接DF，AC，EF，如图所示：
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，在△BEM和△BFM中，，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；
∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，选项②正确；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确；
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，
∴3x=y，即x：y=：3，∴EM：BE=：3，选项④正确；
∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点，∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，
又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，
∵四边形ABFD为矩形，∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，
∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．则正确的个数有4个． 故选B
对应训练
4．（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 6
；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是 2或5
．
解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，∵E是AB的中点，∴DG=3，∴EG=AD=，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，∴tan60°=，解得GF=3，∴DF=6；
（2）如图2所示：
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，
∴CH===1，BC===2，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE==，
在Rt△EFM中，EF==，
∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE，
∴，即，解得x=2或5．故答案为：2或5．
【聚焦山东中考】
1．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．不能确定
解：如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，故可得BD=5，
又ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5． 故选B．
2．（2012•临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ C ）
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，∵
，∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确；
C、∵无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；
D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项正确．
2013年中考数学复习第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】
2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2，作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
考点一：垂径定理
例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（ A ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
解：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，
∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE=OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；
根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，
对应训练
1．（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12
解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°，在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°，
∴OA=2OP=4，则圆O的半径4． 故选A
考点二：圆周角定理
例2 （2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．
（1）证明：∵∠C与∠M是所对的圆周角，∴∠C=∠M，
又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD；
（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，∴= ，∴∠A=∠M，∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=，∵sinM=，BC=4，∴AB=6，即⊙O的直径为6．
对应训练
37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，∴BC=OD．
考点三：圆内接四边形的性质
例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ C ）
A．6 B．5 C．3 D．3
解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长==3．
对应训练
3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．
【聚焦山东中考】
1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即，选项B
成立；在△ACM和△ADM中，
∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D
2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．
解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．
∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm；
在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．
即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．故答案为：30．
3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．
解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，
∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，∴BD==8，
∵∠D=∠C，∴cosC=cosD===，故答案为：．
4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 ．
解：在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC=60°，∴∠ADC=∠AOC=30°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．故答案为：150°．
2013年中考数学复习第二十四讲 与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
一、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外 <＝>
2、 过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的
外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 】
一、 直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 直线叫圆的 线，这的直线叫做圆的 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆
2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：
直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r
直线l与Qo相离<＝>d r
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】
一、 圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距为d，
则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>
两圆相交<＝> 两圆内切<＝> 两圆内含<＝>
【名师提醒：两圆相离无公共点包含 和 两种情况，两圆相切有唯一公共点包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆 此时d= 】
二、 反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法正题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】
【典型例题解析】
考点一：切线的性质
例1 （2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．
解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°，
∵PC=10，PA=6，∴AC==8，∴OA=AC=4，∴⊙O的半径为4；
（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°，
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠BAC=∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P=，∴cos∠BAC=．
例2 （2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；
（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；
（3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．
对应训练
1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
（1）求证：AE平分∠CAB；
（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．
（1）证明：连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵AB⊥BC，∴AB∥OE，∴∠2=∠AEO，
∵OA=OE，∴∠1=∠AEO，∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；
（2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=．∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC，
∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°，当AE=CE时，∠1=∠C，∵2∠1+∠C=90°∴3∠C=90°，∠C=30° ∴tanC=tan30°=．
2．（2012•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(2)2-（5-r）2，∴52-r2=(2)2-（5-r）2，
解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，
∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴，∴，
解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；
（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则可以推出OE=AC=AB=；
又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=≤r，∴r≥，
又∵圆O与直线l相离， ∴r＜5， 即≤r＜5．
考点二：切线的判定
例2 （2012•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB= ，求△CBD的面积．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，
∴AB⊥EF ∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中 ∵AB=10，sin∠DAB=，又∵sin∠DAB=，∴BD=6
∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BDsin45°=6×=3，
∵∠DAB=∠DCB ∴tan∠DCB==，∴CG=4，
∴CD=CG+DG=4+3=7，∴S△CBD=CD•BG=．
对应训练
考点三：三角形的外接圆和内切圆
例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．
解：作圆O的直径CD，连接BD，
∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，∴∠DBC=90°，
∴sin∠D=，即sin60°=，解得：CD=2，∴圆O的半径是，故答案为：．
例5 （2012•玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）
A．r B． C．2r D．
解：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．
对应训练
4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE． （1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
（1） 证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中，
∵，∴△ABD≌△CBE …
（2）解：四边形BDEF是菱形．证明如下：
同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵点D是△ABC外接圆圆心，
∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四边形BDCE是菱形．
5．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA= ，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
（1）解：作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∠A=∠D，∵BC=5，sin∠A=，
∴sin∠D==，∴CD=，答：三角形ABC外接圆的直径是．
（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A==，∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=，
在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．答：AI的长是．
考点三：圆与圆的位置关系
例6 （2012•毕节地区）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．外切 D．相交
解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．
对应训练
6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 4
个．
解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．
【聚焦山东中考】
1．（2012•济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，
又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．
2．（2012•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切． 故选A．
3．（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ B ） A．π B．2π C．3π D．5π
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，
4．（2012•潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5，
∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切． 故选C．
5．（2012•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 ．
解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，
∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，
∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，
∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，
在Rt△ABC中，AC= =10，∴OM=OQ=AC=5，
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，
∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．
6．（2012•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．
解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA==67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°． 故答案为：23。
7．（2012•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC= ，求 的值．
（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE．
∴=()2=（sin∠BAC）2=()2=．∴=．
2013年中考数学复习第二十五讲 与圆有关的计算
【基础知识回顾】
一、 正多边形和圆：
1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示
3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形
二、 弧长与扇形面积计算：
Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式：
L= S扇= =
【名师提醒：圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】
三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R
则有：⑴S圆柱侧= ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱=
1、 如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R， 高位h，
则有：⑴S圆柱侧= ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱=
【典型例题解析】
考点一：正多边形和圆
例1
（2012•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=，
∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．故选A．
对应训练
1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（ ）A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，
∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，
∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．
正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．
考点二：圆周长与弧长
例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A．10π B． C． D．π
解：如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：AC==，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=π．故选C
对应训练
3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ）π
（结果用含有π的式子表示）
解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；
∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．
考点三：扇形面积与阴影部分面积
例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（ A ）（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）
A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36
解：∵AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（Hl），∴BE=DF，∴EC=CF，
又∵∠C=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=EFcos45°=2×=，
∴S△ECF=××=1，
又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=，
又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64．
对应训练
3.（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（ ）A．4π B．2π C．π D．
解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=（垂径定理），故S△OCE=S△CDE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选D．
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例4 （2012•永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1
．
解：∵∠A=45°，∴∠BOC=90°∴扇形BOC的弧长为=2π，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π 解得r=1， 故答案为1．
对应训练
7．（2012•襄阳）如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 1
dm．
解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6
∴=2π ∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1． 故答案为：1．
【聚焦山东中考】
1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 的长为（ ）A．π B． C．7π D．6π
解：根据图示知，∠BAB′=45°，∴的长为：=π．故选A．
2.（2012•临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A．1 B． C． D．2
解：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形，∴∠A=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．故选C．
3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π
．
解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴====，根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=++=3×=π．故答案为：π.
4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 ．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=AB=×2=1，AC=2×=，
∴∠BAB′=150°，∴S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=-=．故答案为：．
2013年中考数学复习第二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：旋转的关键是确定 、 和 】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：常见的轴对称图形有 、 、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等】
【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 （2012•柳州）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ C ）
A． B． C． D．
圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误．
例2 （2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）A．（-3，-5） B．（3，5） C．（3．-5） D．（5，-3）
解：点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）． 故选B．
对应训练
1. （2012•宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ B ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．
2．（2012•沈阳）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（2，-1） D．（-2，1）
解：点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．故选A．
考点二：最短路线问题
例3 （2012•黔西南州）如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）A． B． C． D．
解：∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，
∴b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，∴顶点D的坐标为（，-），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2 连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．∴，即，∴m=．故选B．
对应训练
3. （2012•贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是 ．
解：∵MN=20，∴⊙O的半径=10，连接OA、OB，在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
∴OD==8；同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，
∴OC==6，∴CD=8+6=14，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，
在Rt△AB′E中，∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′=．故答案为：．
考点二：中心对称图形
例4 （2012•襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形．故选A．
对应训练
4．（2012•株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．
考点二：平移旋转的性质
例5 （2012•义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故选；C．
例6 （2012•十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4， 故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A．
对应训练
5.（2012•莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，则A′C= 1
cm．
解：∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，∴AA′=2cm，
又∵AC=3cm，∴A′C=AC-AA′=1cm．故答案为：1．
6．（2012•南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+ ；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于（ ）
A．2011+671 B．2012+671 C．2013+671 D．2014+671
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2++1=3+；
又∵2012÷3=670…2，∴AP2012=670（3+）+2+=2012+671．故选B．
考点四：图形的折叠
例7 （2012•遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（ ）
A． 3 B． 2 C． 2 D． 2
解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，
∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，
∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．
例8 （2012•天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，6）．
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，
∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．
∴．∴m= t2- t+6（0＜t＜11）．
（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，
∴，∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′=，∴，
∵m= t2- t+6，解得：t1=，t2=，
点P的坐标为（，6）或（，6）．
对应训练
7．（2012•资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，
∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，
∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，
∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．
8．（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF，
∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形；
（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
考点五：简单的图形变换作用
例9 （2012•广州）如图，⊙P的圆心为P（-3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
解：（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交；
（2）设直线PP′与MN相交于点A，
在Rt△AP′N中，AN=，
在Rt△APN中，PN=．
对应训练
9．（2012•凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
解：（1）如图所示：根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为：
（-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；
（2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4），
在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示；
（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．
【聚焦山东中考】
1．（2012•烟台）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．故选C．
2. （2012•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．
A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2）
C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6）
解：A、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；
B、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；
C、此时黑棋不是轴对称图形，白旗是轴对称图形，故本选项正确；
D、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；故选C．
3．（2012•泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）A． 9：4B． 3：2C． 4：3D． 16：9
解：设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，又点B′为CD的中点，∴B′C=1，
在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，
解得：x=，即可得CF=3﹣=，∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB=∠CB′F，∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，
根据面积比等于相似比的平方可得：===．故选D．
4．（2012•济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（ ）
A． 12厘米 B． 16厘米 C． 20厘米 D． 28厘米
解：设斜线上两个点分别为P、Q，∵P点是B点对折过去的，∴∠EPH为直角，△AEH≌△PEH，∴∠HEA=∠PEH，同理∠PEF=∠BEF，∴这四个角互补，
∴∠PEH+∠PEF=90°，∴四边形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，HEF是直角三角形，
∴BF=DH=PF，∵AH=HP，∴AD=HF，∵EH=12cm，EF=16cm，
∴FH===20cm，∴FH=AD=20cm．故选C．
5．（2012•德州）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 不唯一，可以是：AB∥CD或AD=BC，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°等
．（只要填写一种情况）
解：∵AB=CD，∴当AD=BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等时，四边形ABCD是平行四边形．故此时是中心对称图象，
故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等．
6．（2012•日照）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 ＜
S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．
解：∵OE=1，∴由勾股定理得OD=，∴AO=，∴AC=AO-CO=-1，
∴S阴影=S矩形=（-1）×1=-1，∵大圆面积=πr2=π ∴阴影部分面积=π．
∵-1＜π，∴S1＜S2，故答案为：＜．
7．（2012•临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= 70
°．
解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，∴DB=DE，
∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠BAC=∠BAD=35°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．故答案为：70．
8．（2012•菏泽）（1）如图1，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ∠D=∠B或∠AED=∠C．
，使△ABC∽△ADE．
（2）如图2，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
解：（1）∠D=∠B或∠AED=∠C．
（2）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，BE==6，
∴CE=4，∴E（4，8）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD，∴（8-OD）2+42=OD2，∴OD=5，∴D（0，5）．
9．（2012•青岛）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=1，∴A′C=A′B′，∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，∴∠B′CB=90°-30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，∴BB′=BC=．故答案为：．
微信/支付宝扫码支付下载