九年级下册数学教案 1-5 三角函数的应用2 北师大版 5页

‎1.5 三角函数的应用 教学目标 ‎ (一)教学知识点 ‎ 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.‎ ‎ 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.‎ ‎ (二)能力训练要求 ‎ 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.‎ ‎ (三)情感与价值观要求 ‎ 1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. ‎ ‎ 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.‎ 教具重点 ‎ 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.‎ ‎ 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.‎ 教学难点 ‎ 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.‎ 教学方法 ‎ 探索——发现法 教具准备 ‎ 多媒体演示 教学过程 ‎ Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ‎ [师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.‎ ‎ 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).‎ 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.‎ ‎ 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)‎ ‎ Ⅱ.讲授新课 ‎ [师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?‎ ‎ [生]应该是“上北下南，左西右东”.‎ ‎ [师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.‎ ‎[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.‎ ‎ [师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?‎ ‎ [生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.‎ ‎ [师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?‎ ‎ [生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.‎ ‎ [师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?‎ ‎ [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.‎ ‎ [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.‎ ‎ [师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?‎ ‎ [生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.‎ ‎ [师]有何联系呢?‎ ‎ [生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.‎ ‎ [生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.‎ ‎ [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.[来源:学#科#网][来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎ 下面我们一起完整地将这个题做完.‎ ‎ [师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ‎ ADtan55°-ADtan25°＝20.‎ ‎ AD(tan55°-tan25°)＝20，‎ ‎ AD=≈20.79(海里).‎ ‎ 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.‎ ‎ [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.‎ ‎ 多媒体演示 想一想你会更聪明：‎ 如图，小明想测量塔 CD的高度.他在A处 仰望塔顶，测得仰角 为30°，再往塔的方 向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)‎ ‎ [师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?‎ ‎ [生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[来源:学科网]‎ ‎ [师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.‎ ‎ (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)‎ ‎ [生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°=，‎ ‎ 即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,‎ 即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 ‎ ‎-=50.‎ ‎ 解得CD≈43(m)，‎ ‎ 即塔CD的高度约为43 m.‎ ‎ [生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.‎ ‎ [师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.‎ ‎ 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?‎ ‎ [生]示意图如 右图所示，由前面的 解答过程可知CC′≈‎ ‎43 m，则CD＝43+‎ ‎1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.‎ ‎ [师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.‎ ‎ 多媒体演示：‎ 某商场准备改善原来 楼梯的安全性能，把 倾角由40°减至35°，‎ 已知原楼梯长为4 m，‎ 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)‎ ‎ 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)‎ ‎ [生]在这个问题 中，要注意调整前后 的梯楼的高度是一个 不变量.根据题意可 画㈩示意图(如右 图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：‎ ‎ 如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的长度.‎ ‎ [师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!‎ ‎ [生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地 长BC＝4cos40°m.‎ ‎ 调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，则AD＝m.楼梯占地长 DB=m.‎ ‎ ∴调整后楼梯加长AD-AC＝-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC= -4cos40°≈0.61(m).‎ ‎ Ⅲ.随堂练习 ‎ 1.如图，一灯柱AB被 一钢缆CD固定，CD与地面[来源:Zxxk.Com]‎ 成40°夹角，且DB＝5 m，‎ 现再在C点上方2m处加固 另一条钢缆ED，那么钢缆 ED的长度为多少?‎ ‎ 解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).‎ ‎ 在Rt△EDB中，DB=5 m，‎ ‎ BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).‎ ‎ 根据勾股定理，得DE=≈7.96(m).‎ ‎ 所以钢缆ED的长度为7.96 m.‎ ‎ 2.如图，水库大坝的 截面是梯形ABCD，坝顶AD ‎＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135°.‎ ‎ (1)求∠ABC的大小：‎ ‎ (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)‎ ‎ 解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.‎ ‎ (1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，‎ ‎ ∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=4 (m).‎ ‎ ∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).‎ ‎ 在Rt△AEB中，AE＝DF=4 (m).‎ ‎ tanABC＝≈0.308.[来源:学科网]‎ ‎ ∴∠ABC≈17°8′21″.‎ ‎ (2)梯形ABCD的面积S＝(AD+BC)×AE ‎ = (6+30)×4 =72 (m2).‎ ‎ 坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72 ≈10182.34(m3).‎ ‎ 综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料.‎ ‎ Ⅳ.课时小结 ‎ ‎