2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.7 三角函数的应用 14页

5.7 三角函数的应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型． 知识点一 三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周 期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 预习小测 自我检验 1．函数 y＝3sin 1 2 x－π 6 的初相为________． 答案 － π 6 2．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin 160πt＋110，其中 f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单 位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________． 答案 80 3．电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝5sin 100πt＋π 3 ，则当 t＝ 1 200 时，电流为____ A. 答案 5 2 4．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______ s往返一次． 答案 0.8 解析 观察图象可知，此简谐运动的周期 T＝0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s往返一次． 一、三角函数在物理中的应用 例 1 已知电流 I与时间 t的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ) ω>0，|φ|<π 2 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝ Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t在任意一段 1 150 的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的 最小正整数值是多少？ 解 (1)由题图可知 A＝300，设 t1＝－ 1 900 ，t2＝ 1 180 ， 则周期 T＝2(t2－t1)＝2 1 180 ＋ 1 900 ＝ 1 75 . ∴ω＝2π T ＝150π. 又当 t＝ 1 180 时，I＝0，即 sin 150π· 1 180 ＋φ ＝0， 而|φ|<π 2 ，∴φ＝π 6 . 故所求的解析式为 I＝300sin 150πt＋π 6 . (2)依题意知，周期 T≤ 1 150 ，即 2π ω ≤ 1 150 (ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 反思感悟 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与 对应的三角函数知识结合解题． 跟踪训练 1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位 置的位移 S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S＝6sin 2πt＋π 6 . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期 T＝2π 2π ＝1(s)． 列表： t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2πt＋π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 2π＋π 6 6sin 2πt＋π 6 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期)． 二、三角函数在生活中的应用 例 2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图 象．某年 2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在 14时，最高温度为 14℃；最低温度出 现在凌晨 2时，最低温度为零下 2℃. (1)求出该地区该时段的温度函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； (2)29日上午 9时某高中将举行期末考试，如果温度低于 10℃，教室就要开空调，请问届时 学校后勤应该开空调吗？ 解 (1)由题意知 A＋b＝14， －A＋b＝－2， 解得 A＝8， b＝6， 易知 T 2 ＝14－2，所以 T＝24，所以ω＝ π 12 ， 易知 8sin π 12 ×2＋φ ＋6＝－2， 即 sin π 12 ×2＋φ ＝－1， 故 π 12 ×2＋φ＝－ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得φ＝－ 2π 3 ， 所以 y＝8sin π 12 x－2π 3 ＋6(x∈[0,24))． (2)当 x＝9时，y＝8sin π 12 ×9－2π 3 ＋6 ＝8sin π 12 ＋6<8sin π 6 ＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调． 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练 2 已知某地一天从 4～16时的温度变化曲线近似满足函数 y＝10sin π 8 x－5π 4 ＋20， x∈[4,16]． (1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长 时间？ 解 (1)当 x＝14时函数取最大值，此时最高温度为 30℃， 当 x＝6时函数取最小值，此时最低温度为 10℃， 所以最大温差为 30℃－10℃＝20℃. (2)令 10sin π 8 x－5π 4 ＋20＝15， 得 sin π 8 x－5π 4 ＝－ 1 2 ， 而 x∈[4,16]，所以 x＝26 3 . 令 10sin π 8 x－5π 4 ＋20＝25， 得 sin π 8 x－5π 4 ＝ 1 2 ， 而 x∈[4,16]，所以 x＝34 3 . 当 x∈ 26 3 ， 34 3 时， π 8 x－5π 4 ∈ － π 6 ， π 6 ， 所以 y在 26 3 ， 34 3 上单调递增． 故该细菌能存活的最长时间为 34 3 － 26 3 ＝ 8 3 小时． 1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间 t(s)满 足函数关系式θ＝1 2 sin 2t＋π 2 ，则当 t＝0时角θ的大小，及单摆的频率是( ) A.1 2 ， 1 π B．2，1 π C.1 2 ，π D．2，π 答案 A 解析 当 t＝0时，θ＝1 2 sin π 2 ＝ 1 2 ，由函数解析式易知单摆的周期为 2π 2 ＝π，故单摆的频率为 1 π . 2．在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1和 M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间 t(s) 离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由 s1＝5sin 2t＋π 6 ，s2＝10cos 2t确定，则当 t＝2π 3 s 时，s1与 s2的大小关系是( ) A．s1>s2 B．s10，ω>0))在一个周期内的图象，则 该函数解析式可以是( ) A．I＝300sin 50πt＋π 3 B．I＝300sin 50πt－π 3 C．I＝300sin 100πt＋π 3 D．I＝300sin 100πt－π 3 答案 C 解析 A＝300，T＝2 1 150 ＋ 1 300 ＝ 1 50 ，ω＝2π T ＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)． 代入点 － 1 300 ，0 ，得 100π× － 1 300 ＋φ＝0， 取φ＝π 3 ，∴I＝300sin 100πt＋π 3 . 4．如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( ) A．该质点的振动周期为 0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在 0.1 s和 0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在 0.3 s和 0.7 s时的加速度为零 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 D 解析 由图象及简谐运动的有关知识知 T＝0.8 s，A＝5 cm，当 t＝0.1 s及 t＝0.5 s时，v＝0， 故排除选项 A，B，C. 5．一根长 l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)的函数关系式为 s＝3cos g l t＋π 3 ，其中 g是重力加速度，当小球摆动的周期是 1 s时，线长 l＝________cm. 答案 g 4π2 解析 由已知得 2π g l ＝1，所以 g l ＝2π，g l ＝4π2，l＝ g 4π2 . 1．知识清单： (1)三角函数在物理中的应用． (2)三角函数在生活中的应用． 2．方法归纳：数学建模． 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 1 2 周期后，乙的位置将移至 ( ) A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 答案 C 解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2.如图，某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin π 6 x＋φ ＋k.据此函数 可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 答案 C 解析 根据图象得函数的最小值为 2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为 3＋k＝8. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数 F(t)＝50＋ 4sin t 2 (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( ) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 答案 C 解析 由 2kπ－π 2 ≤ t 2 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z，知函数 F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z. 当 k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选 C. 4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋ b A>0，ω>0，|φ|<π 2 的模型波动(x为月份)，已知 3月份达到最高价 9千元，7月份价格最低 为 5千元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin π 4 x－π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sin π 4 x－π 4 (1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝2 2sin π 4 x＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sin π 4 x＋π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*) 答案 A 解析 方法一 令 x＝3可排除 D，令 x＝7，可排除 B， 由 A＝9－5 2 ＝2可排除 C. 方法二 由题意，可得 A＝9－5 2 ＝2，b＝7. 周期 T＝2π ω ＝2×(7－3)＝8. ∴ω＝π 4 . ∴f(x)＝2sin π 4 x＋φ ＋7. ∵当 x＝3时，y＝9，∴2sin 3π 4 ＋φ ＋7＝9. 即 sin 3π 4 ＋φ ＝1. ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－ π 4 . ∴f(x)＝2sin π 4 x－π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)． 故选 A. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产 市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每 个季度的平均单价 y(每平方米的价格，单位：元)与第 x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ) ＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A．10 000元 B．9 500元 C．9 000元 D．8 500元 答案 C 解析 因为 y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)， 所以当 x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当 x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 所以ω可取 3π 2 ，φ可取π， 即 y＝500sin 3π 2 x＋π ＋9 500. 当 x＝3时，y＝9 000. 6．某城市一年中 12个月的平均气温 y与月份 x的关系可近似地用函数 y＝a＋Acos π 6 x－6 (x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28℃，12月份的月平均气 温最低，为 18℃，则 10月份的平均气温为________℃. 答案 20.5 解析 根据题意得 18＝a＋Acos π 6 12－6 ＝a－A，28＝a＋A， 解得 a＝23，A＝5， 所以 y＝23＋5cos π 6 x－6 ， 令 x＝10， 得 y＝23＋5cos π 6 10－6 ＝23＋5cos 2π 3 ＝20.5. 7．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(米)在某天 0～24时的变化情况，则水 面高度 h关于时间 t的函数关系式为________． 答案 h＝－6sin π 6 t(0≤t≤24) 解析 设 h＝Asin(ωt＋φ)， 由图象知 A＝6，T＝12， ∴ 2π ω ＝12，得ω＝2π 12 ＝ π 6 . 点(6,0)为五点法作图中的第一点， 故 π 6 ×6＋φ＝0，得φ＝－π， ∴h＝6sin π 6 t－π ＝－6sin π 6 t(0≤t≤24)． 8．如图是电流强度 I(单位：安)随时间 t(单位：秒)变化的函数 I＝Asin ωt＋π 6 (A>0，ω>0)的 图象，则当 t＝ 1 50 秒时，电流强度是________安． 答案 5 解析 由图象可知，A＝10， 周期 T＝2× 4 300 － 1 300 ＝ 1 50 ， 所以ω＝2π T ＝100π， 所以 I＝10sin 100πt＋π 6 . 当 t＝ 1 50 秒时，I＝10sin 2π＋π 6 ＝5(安)． 9．交流电的电压 E(单位：伏)与时间 t(单位：秒)的关系可用 E＝220 3sin 100πt＋π 6 来表示， 求： (1)开始时的电压； (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解 (1)当 t＝0时，E＝220 3sin π 6 ＝110 3(伏)， 即开始时的电压为 110 3 伏． (2)电压的最大值为 220 3 伏， 当 100πt＋π 6 ＝ π 2 ，即 t＝ 1 300 秒时第一次取得这个最大值． 10．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要 12 分钟，其中心 O距离地面 40.5米，半径为 40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而 变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4次距离地面 60.5米时，用了多长时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为 12分钟可知，当 t＝6时，摩天轮第 1次到达最高点，即此函数第 1次取得最大值， 所以 6ω＝π，即ω＝π 6 ， 所以 y＝40.5－40cos π 6 t(t≥0)． (2)设转第 1圈时，第 t0分钟时距离地面 60.5米． 由 60.5＝40.5－40cos π 6 t0，得 cos π 6 t0＝－ 1 2 ， 所以 π 6 t0＝2π 3 或 π 6 t0＝4π 3 ， 解得 t0＝4或 t0＝8， 所以 t＝8(分钟)时，第 2次距地面 60.5米， 故第 4次距离地面 60.5米时，用了 12＋8＝20(分钟)． 11.如图是一个半径为 3米的水轮，水轮的圆心 O距离水面 2米，已知水轮每分钟旋转 4圈， 水轮上的点 P到水面的距离 y(米)与时间 t(秒)满足关系式 y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( ) A．ω＝15 2π ，A＝3 B．ω＝2π 15 ，A＝3 C．ω＝2π 15 ，A＝5 D．ω＝15 2π ，A＝5 答案 B 解析 由题意知 A＝3，ω＝2π×4 60 ＝ 2π 15 . 12．有一冲击波，其波形为函数 y＝－sin πx 2 的图象，若其在区间[0，t]上至少有 2个波峰， 则正整数 t的最小值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C 13.如图所示，有一广告气球，直径为 6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角 ∠BAC＝30°时，测得气球的视角为 2°(若β(弧度)很小时，可取 sin β≈β)，试估算该气球的高 BC的值约为( ) A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m 答案 B 解析 在 Rt△ADC中，CD＝3 m，sin∠CAD＝CD AC ， ∴AC＝ CD sin∠CAD .① ∵∠CAD很小，1°＝ π 180 rad， ∴sin∠CAD＝ π 180 rad.② 在 Rt△ABC中，sin∠CAB＝sin 30°＝BC AC ，③ ∴由①②③得 BC≈86 m. 14．某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 t＝0 时，点 A与钟面上标 12的点 B重合，若将 A，B两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函数， 则 d＝________，其中 t∈[0,60]． 答案 10sin πt 60 解析 秒针 1 s转 π 30 弧度，t s后秒针转了 π 30 t弧度，如图所示，sin πt 60 ＝ d 2 5 ， 所以 d＝10sin πt 60 . 15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin ωπt＋π 4 ＋60(美元)(A>0，ω>0)， 现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为 ________． 答案 1 120 解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin ωπt＋π 4 ＋60，最高油价 80 美元， 所以 A＝20. 当 t＝150(天)时达到最低油价， 即 sin 150ωπ＋π 4 ＝－1， 此时 150ωπ＋π 4 ＝2kπ－π 2 ，k∈Z， 因为ω>0，所以令 k＝1， 得 150ωπ＋π 4 ＝2π－π 2 ， 解得ω＝ 1 120 . 故ω的最小值为 1 120 . 16．某商品一年内出厂价格在 6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3月份达到最高价 格 8元，7 月份价格最低为 4 元，该商品在商店内的销售价格在 8元基础上按月份随正弦曲 线波动，5月份销售价格最高为 10元，9月份销售价格最低为 6元，假设商店每月购进这种 商品 m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？ 解 设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)， 易知 A＝2，T1＝8，ω1＝ π 4 ， 3π 4 ＋φ1＝ π 2 ⇒φ1＝－ π 4 ， 所以 y1＝6＋2sin π 4 x－π 4 . 设销售价波动函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)， 易知 B＝2，T2＝8，ω2＝ π 4 ， 5π 4 ＋φ2＝ π 2 ⇒φ2＝－ 3π 4 ， 所以 y2＝8＋2sin π 4 x－3π 4 . 每件盈利 y＝y2－y1 ＝ 8＋2sin π 4 x－3π 4 － 6＋2sin π 4 x－π 4 ＝2－2 2sin π 4 x， 当 sin π 4 x＝－1，即 π 4 x＝2kπ－π 2 (k∈Z)， x＝8k－2(k∈Z)时， y取最大值． 当 k＝1，即 x＝6时，y最大． 所以估计 6月份盈利最大．