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  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:正方形

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典型例题一 例01.如图,在正方形ABCD的对角线AC上取点E,使,过E点作交AD于F. ‎ 求证:. ‎ 证明 连结CF. ‎ 在正方形ABCD中,,AC平分. ‎ ‎∵,‎ 又∵ ,‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ 在与中,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 说明:本题考查正方形的性质,易错点是忽视是等腰直角三角形. ‎ 解题关键是证是等腰直角三角形和连CF证. ‎ 典型例题二 例02.如图,已知:在中,,CD是的平分线,交BC于E,交AC于F. ‎ 求证:四边形CEDF是正方形. ‎ 分析:要判定一个四边形是正方形有这样几种方法:①按照定义证明,②先证明它是菱形,再证它有一个角等于. ③先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等,那么本题中,因有一个角,且有两对平行线段,我们不妨采用第三种证明方法. ‎ ‎ 那么由角平分线的性质定理容易证出. ‎ 证明:∵(已知)‎ ‎∴ 四边形CEDF是平行四边形. ‎ ‎∵ (已知),‎ ‎∴ 四边形CEDF是矩形(有一个角是的平行四边形是矩形). ‎ ‎∵ (已知),‎ ‎∴ ‎ 又∵ CD是的平分线(已知),‎ ‎∴ (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ‎ ‎∴ 四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形). ‎ 说明 正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.所以在判断一个图形是否为正方形时,由它的特殊性出发,通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成.‎ 典型例题三 例03.已知:如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分交CD于F. ‎ 求证:. ‎ 证法1 延长DC至N,使,连结BN,则. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 证法2 如图,延长DA到G,使,连结BG,则. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ 即 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明 构造全等三角形是关键 典型例题四 例04.如图,已知:E是正方形ABCD的边AD的中点,F是DC上的一点,且.‎ 求证:. ‎ 分析:因为,,所以若设,则EF、BE都可以用含有的代数式表示. 由此,我们想到,为了证明,即为了证明,不妨使用勾股定理的逆定理. 为此,连结BF,则只需证明就可以了. ‎ 证明:连结BF,‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴ ,‎ 因为,‎ ‎∴若设,则,‎ 在中,根据勾股定理,‎ 在中,根据勾股定理,‎ 在中,根据勾股定理 ‎∴ 有 ‎∴ 是直角三角形,且,‎ 即. ‎ 说明 由正方形的特殊性,它不仅有平行四边形的性质,正方形的性质,还有菱形的性质,在给出一个四边形是正方形时,要能够灵活运用这些性质. ‎ 典型例题五 例05.已知:如图,正方形ABCD中,延长AD至E,使,再延长DE至F,使. 连结BF交CE,CD于P,Q. ‎ 求证:. ‎ 证明:在正方形ABCD中,,,. ‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴四边形BDEC是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∴,. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明:本题综合考查正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,易错点是习惯地用角的代换企图证明,这样做显然无法证出. ‎ 解题关键是求出. ‎ 典型例题六 例06.如图,已知:在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,若有. ‎ 求:的度数. ‎ 分析:在给出的条件中,这一条件比较分散. 我们不妨把AE和CF平移到同一直线上. 由正方形的性质可知,所以我们延长BC到G,使,则可以知道,∵ . 又可以证得,∴可知,因此可求得的度数. ‎ 解答:延长BC到G,使,连结DG. ‎ ‎∵ 正方形ABCD,‎ ‎∴ ‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ . ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ 典型例题七 例07.如图,已知:正方形ABCD的边长等于,点P在BC上,,且与AB、CD分别交于E、F两点. ‎ 求:EF的长. ‎ 分析:为了求EF的长,需要把EF与已知条件联系起来,因此想到构造一个以EF为边的三角形,所以作,则易证,从而可求. ‎ 解答:过E点作交CD于G,‎ ‎∴ ,‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ 四边形BCGE是矩形. ‎ ‎∴‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 典型例题八 例08.(河北省,1997)命题:如图(1),已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作,垂足为G,AG交BD于点F,则. ‎ 证明 ∵ 四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴. ∴‎ 又∵,∴‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴‎ 问题 对上述命题,若点E在AC的延长线上,,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由. ‎ 解答:结论仍成立. 证明如下:‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 说明:本题是一个阅读理解题,解题关键是要阅读解题过程,总结解题思路和方法,然后探索并解决新问题. ‎ 选择题 ‎1.下列四个命题:(1)两条对角线互相垂直的四边形是菱形;(2)两条对角线相等的四边形是矩形;(3)四条边、四个角分别相等的四边形是正方形;(4)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形. 其中命题正确的是( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.(无锡市,2001;福州市,2002)下列命题中,正确的是( )‎ A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎3.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使,连AE与CD交于F,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(湖州市,2001)正方形的对角线与边长之比为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(北京市石景山区,2001)如图,在正方形ABCD中,点E是BC边的中点,如果,那么四边形ABED的面积是( )‎ A.5 B.15 C.20 D.30‎ 参考答案:‎ ‎1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 选择题 ‎1.(北京市东城区,2002)下列说法中错误的是( )‎ ‎ A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B.每组邻边都相等的四边形是菱形 C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ‎2.(荆州市,2002)如图,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC,BD的平行线,分别相交于E,F,G,H四点,则四边形EFGH是( )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ‎ ‎3.(济南市,2002)如图(1),用一块边长为的正方形ABCD厚纸板,按下面作法,做了一套七巧板:作对角线AC,分别取AB,BC中点E,F,连结EF;作于G,交AC于H;过G作,交AC于L,再由E作,交AC于K;将正方形ABCD沿画出的线剪开. 现用它拼出一座桥(如图(2)),这座桥的阴影部分的面积是( )‎ A.8 B.6 C.4 D.5‎ ‎4.(北京市宣武区,2001)在正方形ABCD中,E、F两点分别是BC,CD边上的点,若是边长为的等边三角形,则正方形ABCD的边长为( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎5.(泰州市,2001)已知:如图,正方形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过O点作分别交AB,BC于E,F. 若,则EF等于( )‎ A.7 B.5 C.4 D.3‎ ‎6.(TI杯全国初中数学竞赛,2001)如图,若将正方形分成个全等的矩形,其中上,下各横排两个,中间竖排若干个,则的值为()‎ A.6 B.8 C.10 D.12‎ 参考答案:‎ ‎1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 填空题 ‎1.(眉山市,2001)如图,已知四边形ABCD是菱形,当满足条件______时,它成为正方形. (填上你认为正确的一个条件即可)‎ ‎2.已知ABCD,对角线AC,BD交于O. ‎ ‎(1)若,则ABCD是_______;‎ ‎(2)若,则ABCD是_______;‎ ‎(3)若,则ABCD是_______;‎ ‎(4)若,且,则ABCD是_______;‎ ‎(5)若,且,则ABCD是_______. ‎ ‎3.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,P是ABCD的边CD上任意一点,且于E,于F,则______. ‎ ‎4.(济南市,2001)如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成. 设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为_______. ‎ ‎5.(河南省,2002)如图,P是正方形ABCD内一点,将绕点B顺时针方向旋转能与重合,若,则_______. ‎ 参考答案:‎ ‎1. ‎ ‎2.(1)菱形,矩形,矩形,正方形,正方形 ‎ ‎3. ‎ ‎4.143 ‎ ‎5.‎ 解答题 ‎1.如图,在正方形ABCD外以CD为边作等边. ‎ 求的度数. ‎ ‎2.如图,,,,的平分线交于点D,于E,于F. ‎ 求证:四边形CEDF是正方形. ‎ ‎3.如图,正方形ABCD的边长为,E是AD的中点,,垂足为M. ‎ 求BM的长. ‎ ‎4.(北京市朝阳区,2002)已知:如图,在正方形ABCD中,E是CD延长线上一点,,如果F是AB的中点,请你在正方形ABCD上找一点,与F点连成线段,并证明它和AE相等. ‎ ‎5.已知:如图,正方形CEFG的边CG在正方形ABCD的边CD上,延长CD到H,使. K在BC边上,且. ‎ 求证:四边形AKFH是正方形. ‎ ‎6.(杭州市,1997)如图,过正方形ABCD顶点A作直线交BD于E,交CD于F,交BC的延长线于G,若H是FG的中点,‎ 求证:. ‎ 参考答案:‎ ‎1.‎ ‎2.作于G,先证四边形CEDF为矩形,再证,则矩形CEDF是正方形. ‎ ‎3.连BE. . .‎ ‎4.CF. 证. ‎ ‎5.证. ∴. 则四边形AKFH是菱形. 证,则菱形AKFH是正方形. ‎ ‎6.证明:在和中,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ∴ ‎ 在中,H为斜边FG的中点,‎ ‎∴ ∴ ‎ 而 , ∴‎ ‎∴ ∴‎ 解答题 用两种方法解答下列各题:‎ ‎1.如图,已知正方形ABCD的边长为,点P在BC上,,,垂足Q,与AB,CD分别交于E,F. ‎ 求EF的长. ‎ ‎2.如图,正方形ABCD中,E在AD上,F在CD上,. ‎ 求证:. ‎ ‎3. 已知:如图,正方形ABCD中,P为BC一点,Q为CD边上一点,且. ‎ 求. ‎ 参考答案 ‎1. ‎ ‎2.延长DC到G,使,连BG或延长DA到K,使,连BK ‎3. 解法1 延长PB到E,使,连结AE. ‎ 在与中,∵ ,,,‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ 在与中,,‎ ‎∴. ∴ ‎ ‎∵ ,‎ ‎∴. ∴‎ 解法2 延长CD到G,使,连AG(如图)‎ 在与中,∵,,‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎∵,∴‎ 在与中,∵,‎ ‎∴. ∴ . ‎ ‎∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴‎ 解答题 ‎1.(宁夏,2002)如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于O,四边形AEFC是菱形,,垂足为H. ‎ 求证:. ‎ ‎2.(山东荷泽地区,2001)如图,正方形ABCD中,M、F分别在边AB、AD上且,E是AB延长线上一点,交的平分线于N. ‎ 求证:. ‎ ‎3.如图,正方形ABCD的对角线相交于O,Q是DC上的任意一点,过D作,交AQ于H,交BC于P. ‎ 求证:是等腰直角三角形. ‎ ‎4.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,BD与CE相交于点F. ‎ 求证:. ‎ ‎5.如图,四边形ABCD,CEFG都是正方形,DE交BG的延长线于H. ‎ 求证:(1);(2). ‎ ‎6.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求. ‎ ‎7.如图,E是正方形ABCD边DC之中点,F是CD上一点,且. ‎ 求证:. ‎ ‎8.如图,E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC上的点,,G在DA的延长线上,且,GE的延长线交DF于H. ‎ 求证:. ‎ ‎9.如图,四边形ACDE,BAFG是以的边AC,AB为边向外所作的正方形. ‎ 求证:(1);(2). ‎ ‎10.如图,正方形ABCD中,E是CF上的点,四边形BEFD为菱形,求的度数. ‎ ‎11.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,且交的平分线于N(如图甲). ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. ‎ ‎12.如图,过正方形顶点C作,在CG上取一点F,使,且交CD于E,连结DF. ‎ 求证:. ‎ 参考答案:‎ ‎1.‎ ‎2.证,‎ ‎3.证,得,从而可证,得,,从而可证. 则是等腰直角三角形. ‎ ‎4.证,得. 证,得. ∴,从而可证,则 ‎5.证,得,,‎ 则 ‎6.延长ND到E,使,连结AE,则. ∴. ∵,∴‎ ‎7.作的平分线AN交BC于N,交DC的延长线于M,证,‎ 则有,得. ‎ 则. . ∴. ‎ ‎8.证 ‎9.证 ‎10.. 提示:作于M,于N,则,得,‎ ‎11.(1)取AD中点F,连MF,证;(2)结论仍成立. 在AD上取,连FM,证 ‎12.证明:连AC,设AC与BD交点为O. 作于H. ‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴. ‎ ‎∵,∴. ‎ ‎∵,∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,‎ ‎∴.∴. ‎ 解答题 ‎1.如图,已知P,Q,R,S为动点,分别从正方形ABCD的顶点A,B,C,D同时沿着AB,BC,CD,DA以同样的速度向点B,C,D,A移动. ‎ ‎(1)求证:PQRS总是正方形;‎ ‎(2)求证:PR总是过正方形的中心;‎ ‎(3)设,求四边形PQRS的面积最大时和最小时顶点的位置. ‎ ‎2.如图,一个画有五个边长为1的正方形纸片,要把它剪成三块,拼成一个正方形ABCD,请你在原图上画出剪裁线和拼成正方形ABCD. ‎ ‎3.如图,有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动. ‎ ‎(1)证明:四边形PQEF是哪种特殊的平行四边形;‎ ‎(2)PE是否总是经过某一定点,并说明理由;‎ ‎(3)四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小、最大?各是多少?‎ ‎4.(杭州市,2002)在平面上有且只有四个点,这四个点有一个独特的性质:每两点之间的距离有且只有两种长度. 例如正方形ABCD(如图),有. 请画出只有这种独特性质的另外四种不同的图形,并标明相等的线段. ‎ ‎5.(山东省,2000)今有正方形土地一块,要在其上修筑两条笔直的道路,使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分. 若道路的宽度可忽略不计,请你设计三种不同的修饰方案(在给出的三张正方形图纸上分别画图,并简述画图步骤). ‎ ‎6.(北京市崇文区,2001)为增加绿地面积,现将停车场铺设的整数块正方形实体地砖(尺寸如图(1),单位:)更换为通透性地砖. 通透性地砖是在原地砖的四边挖去四个全等的等腰梯形,梯形的上底与腰长相等(尺寸如图(2),单位:(),图(3)为拼接图(阴影部分种草). 设原铺设实体地砖总面积为(单位:),增加绿地总面积为(单位:),求与的关系式(不要求写出的取值范围). ‎ ‎7.(南京市,2001)(1)如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,. ‎ 求证:. ‎ ‎(2)阅读下面材料:‎ 如图(1),把沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到的位置;‎ 如图(2),以BC为轴把翻折,可以变到的位置;‎ 如图(3),以点A为中心,把旋转,可以变到的位置. ‎ 像这样,其中一个三角形是由另一个三角形平行移动、翻折、旋转等方法变成的. 这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换. ‎ ‎(3)回答下列问题:‎ ① 在下图中,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使变到的位置?‎ ‎②指出下图中线段BE与DF之间的关系. ‎ ‎8. (黄冈市,2000)国家电力总公司为了改善农村用电电缆过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造. 莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如下图中的实践部分. 请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. (以下数据可供参考:,,)‎ ‎9.(山东省淄博市,2002)工人师傅要将一块如图所示的铝板,经过适当的剪切后,焊接成一块正方形铝板,请在下图中画出剪切线,并将剪切后的铝板拼成一个面积最大的正方形(保留拼接痕迹,不写画法). ‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.(1)证;(2)连AC,PR,设AC和PR交于O,可证. ∴. ∵O为正方形ABCD的中心,∴PR总过正方形的中心;(3),在中, ∴正方形PQRS的面积. 当时,即P,Q,R,S为正方形ABCD各边中点时,最小面积等于. 当P,Q,R,S位于点A,B,C,D时,最大面积为 ‎2.如图所示;‎ ‎3.(1)证可得四边形PQEF为正方形;‎ ‎(2)连结AC交PE于O,证O为AC的中点,得PE一定过AC的中点;‎ ‎(3)OP最小即时,正方形面积最小,为正方形面积的一半,OP最大,即等于正方形的面积. ‎ ‎4.图形如下:‎ 其中:①;②;③;④;⑤. ‎ ‎5.略 ‎6.设每块地砖增加绿色面积为,每块实体地砖面积为,则,. . ‎ ‎7.(1)证;(3)①绕点A逆时针旋转到的位置;②,且. ‎ ‎8.不妨设正方形的边长为1(也可设为). 在图(1)、(2)中,总线路长分别为,. 在图(3)中,总线路长为. 在图(4)中,延长线EF交BC于点H,是,. 由,及股定理得,. ∴ . 此时,总线路长为. 显然,∴ 图(4)的联结线路最短,架设方案最省电线. ‎ ‎9.略