中考数学专题复习练习：正方形 22页

典型例题一 例01．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使，过E点作交AD于F. ‎ 求证：. ‎ 证明 连结CF. ‎ 在正方形ABCD中，，AC平分. ‎ ‎∵，‎ 又∵ ，‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ 在与中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视是等腰直角三角形. ‎ 解题关键是证是等腰直角三角形和连CF证. ‎ 典型例题二 例02．如图，已知：在中，，CD是的平分线，交BC于E，交AC于F. ‎ 求证：四边形CEDF是正方形. ‎ 分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于. ③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. ‎ ‎ 那么由角平分线的性质定理容易证出. ‎ 证明：∵（已知）‎ ‎∴ 四边形CEDF是平行四边形. ‎ ‎∵ （已知），‎ ‎∴ 四边形CEDF是矩形（有一个角是的平行四边形是矩形）. ‎ ‎∵ （已知），‎ ‎∴ ‎ 又∵ CD是的平分线（已知），‎ ‎∴ （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ‎ ‎∴ 四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. ‎ 说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成．‎ 典型例题三 例03．已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分交CD于F. ‎ 求证：. ‎ 证法1 延长DC至N，使，连结BN，则. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 证法2 如图，延长DA到G，使，连结BG，则. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明 构造全等三角形是关键 典型例题四 例04．如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且.‎ 求证：. ‎ 分析：因为，，所以若设，则EF、BE都可以用含有的代数式表示. 由此，我们想到，为了证明，即为了证明，不妨使用勾股定理的逆定理. 为此，连结BF，则只需证明就可以了. ‎ 证明：连结BF，‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴ ，‎ 因为，‎ ‎∴若设，则，‎ 在中，根据勾股定理，‎ 在中，根据勾股定理，‎ 在中，根据勾股定理 ‎∴ 有 ‎∴ 是直角三角形，且，‎ 即. ‎ 说明 由正方形的特殊性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质. ‎ 典型例题五 例05．已知：如图，正方形ABCD中，延长AD至E，使，再延长DE至F，使. 连结BF交CE，CD于P，Q. ‎ 求证：. ‎ 证明：在正方形ABCD中，，，. ‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴四边形BDEC是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∴，. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明，这样做显然无法证出. ‎ 解题关键是求出. ‎ 典型例题六 例06．如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有. ‎ 求：的度数. ‎ 分析：在给出的条件中，这一条件比较分散. 我们不妨把AE和CF平移到同一直线上. 由正方形的性质可知，所以我们延长BC到G，使，则可以知道，∵ . 又可以证得，∴可知，因此可求得的度数. ‎ 解答：延长BC到G，使，连结DG. ‎ ‎∵ 正方形ABCD，‎ ‎∴ ‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ . ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ 典型例题七 例07．如图，已知：正方形ABCD的边长等于，点P在BC上，，且与AB、CD分别交于E、F两点. ‎ 求：EF的长. ‎ 分析：为了求EF的长，需要把EF与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF为边的三角形，所以作，则易证，从而可求. ‎ 解答：过E点作交CD于G，‎ ‎∴ ,‎ ‎∵ 四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 四边形BCGE是矩形. ‎ ‎∴‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 典型例题八 例08．（河北省，1997）命题：如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作，垂足为G，AG交BD于点F，则. ‎ 证明 ∵ 四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴. ∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴‎ 问题 对上述命题，若点E在AC的延长线上，，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. ‎ 解答：结论仍成立. 证明如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 说明：本题是一个阅读理解题，解题关键是要阅读解题过程，总结解题思路和方法，然后探索并解决新问题. ‎ 选择题 ‎1．下列四个命题：（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）四条边、四个角分别相等的四边形是正方形；（4）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形. 其中命题正确的是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．（无锡市，2001；福州市，2002）下列命题中，正确的是（ ）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎3．在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使，连AE与CD交于F，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（湖州市，2001）正方形的对角线与边长之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（北京市石景山区，2001）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，如果，那么四边形ABED的面积是（ ）‎ A．5 B．15 C．20 D．30‎ 参考答案：‎ ‎1．A 2．B 3．A 4．B 5．B 选择题 ‎1．（北京市东城区，2002）下列说法中错误的是（ ）‎ ‎ A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ‎2．（荆州市，2002）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH是（ ）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎ ‎3．（济南市，2002）如图（1），用一块边长为的正方形ABCD厚纸板，按下面作法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连结EF；作于G，交AC于H；过G作，交AC于L，再由E作，交AC于K；将正方形ABCD沿画出的线剪开. 现用它拼出一座桥（如图（2）），这座桥的阴影部分的面积是（ ）‎ A．8 B．6 C．4 D．5‎ ‎4．（北京市宣武区，2001）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC，CD边上的点，若是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．（泰州市，2001）已知：如图，正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过O点作分别交AB，BC于E，F. 若，则EF等于（ ）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎6．（TI杯全国初中数学竞赛，2001）如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上，下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ 参考答案：‎ ‎1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 填空题 ‎1．（眉山市，2001）如图，已知四边形ABCD是菱形，当满足条件______时，它成为正方形. （填上你认为正确的一个条件即可）‎ ‎2．已知ABCD，对角线AC，BD交于O. ‎ ‎（1）若，则ABCD是_______；‎ ‎（2）若，则ABCD是_______；‎ ‎（3）若，则ABCD是_______；‎ ‎（4）若，且，则ABCD是_______；‎ ‎（5）若，且，则ABCD是_______. ‎ ‎3．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P是ABCD的边CD上任意一点，且于E，于F，则______. ‎ ‎4．（济南市，2001）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成. 设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_______. ‎ ‎5．（河南省，2002）如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转能与重合，若，则_______. ‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2．（1）菱形，矩形，矩形，正方形，正方形 ‎ ‎3． ‎ ‎4．143 ‎ ‎5．‎ 解答题 ‎1．如图，在正方形ABCD外以CD为边作等边. ‎ 求的度数. ‎ ‎2．如图，，，，的平分线交于点D，于E，于F. ‎ 求证：四边形CEDF是正方形. ‎ ‎3．如图，正方形ABCD的边长为，E是AD的中点，，垂足为M. ‎ 求BM的长. ‎ ‎4．（北京市朝阳区，2002）已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD延长线上一点，，如果F是AB的中点，请你在正方形ABCD上找一点，与F点连成线段，并证明它和AE相等. ‎ ‎5．已知：如图，正方形CEFG的边CG在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使. K在BC边上，且. ‎ 求证：四边形AKFH是正方形. ‎ ‎6．（杭州市，1997）如图，过正方形ABCD顶点A作直线交BD于E，交CD于F，交BC的延长线于G，若H是FG的中点，‎ 求证：. ‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．作于G，先证四边形CEDF为矩形，再证，则矩形CEDF是正方形. ‎ ‎3．连BE. . .‎ ‎4．CF. 证. ‎ ‎5．证. ∴. 则四边形AKFH是菱形. 证，则菱形AKFH是正方形. ‎ ‎6．证明：在和中，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ∴ ‎ 在中，H为斜边FG的中点，‎ ‎∴ ∴ ‎ 而 ， ∴‎ ‎∴ ∴‎ 解答题 用两种方法解答下列各题：‎ ‎1．如图，已知正方形ABCD的边长为，点P在BC上，，，垂足Q，与AB，CD分别交于E，F. ‎ 求EF的长. ‎ ‎2．如图，正方形ABCD中，E在AD上，F在CD上，. ‎ 求证：. ‎ ‎3. 已知：如图，正方形ABCD中，P为BC一点，Q为CD边上一点，且. ‎ 求. ‎ 参考答案 ‎1． ‎ ‎2．延长DC到G，使，连BG或延长DA到K，使，连BK ‎3. 解法1 延长PB到E，使，连结AE. ‎ 在与中，∵ ，，，‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ 在与中，，‎ ‎∴. ∴ ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴. ∴‎ 解法2 延长CD到G，使，连AG（如图）‎ 在与中，∵，，‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎∵，∴‎ 在与中，∵，‎ ‎∴. ∴ . ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴‎ 解答题 ‎1．（宁夏，2002）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，，垂足为H. ‎ 求证：. ‎ ‎2．（山东荷泽地区，2001）如图，正方形ABCD中，M、F分别在边AB、AD上且，E是AB延长线上一点，交的平分线于N. ‎ 求证：. ‎ ‎3．如图，正方形ABCD的对角线相交于O，Q是DC上的任意一点，过D作，交AQ于H，交BC于P. ‎ 求证：是等腰直角三角形. ‎ ‎4．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE相交于点F. ‎ 求证：. ‎ ‎5．如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，DE交BG的延长线于H. ‎ 求证：（1）；（2）. ‎ ‎6．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求. ‎ ‎7．如图，E是正方形ABCD边DC之中点，F是CD上一点，且. ‎ 求证：. ‎ ‎8．如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC上的点，，G在DA的延长线上，且，GE的延长线交DF于H. ‎ 求证：. ‎ ‎9．如图，四边形ACDE，BAFG是以的边AC，AB为边向外所作的正方形. ‎ 求证：（1）；（2）. ‎ ‎10．如图，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD为菱形，求的度数. ‎ ‎11．已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，且交的平分线于N（如图甲）. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变（如图乙），则结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. ‎ ‎12．如图，过正方形顶点C作，在CG上取一点F，使，且交CD于E，连结DF. ‎ 求证：. ‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．证，‎ ‎3．证，得，从而可证，得，，从而可证. 则是等腰直角三角形. ‎ ‎4．证，得. 证，得. ∴，从而可证，则 ‎5．证，得，，‎ 则 ‎6．延长ND到E，使，连结AE，则. ∴. ∵，∴‎ ‎7．作的平分线AN交BC于N，交DC的延长线于M，证，‎ 则有，得. ‎ 则. . ∴. ‎ ‎8．证 ‎9．证 ‎10．. 提示：作于M，于N，则，得，‎ ‎11．（1）取AD中点F，连MF，证；（2）结论仍成立. 在AD上取，连FM，证 ‎12．证明：连AC，设AC与BD交点为O. 作于H. ‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴. ‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴.∴. ‎ 解答题 ‎1．如图，已知P，Q，R，S为动点，分别从正方形ABCD的顶点A，B，C，D同时沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向点B，C，D，A移动. ‎ ‎（1）求证：PQRS总是正方形；‎ ‎（2）求证：PR总是过正方形的中心；‎ ‎（3）设，求四边形PQRS的面积最大时和最小时顶点的位置. ‎ ‎2．如图，一个画有五个边长为1的正方形纸片，要把它剪成三块，拼成一个正方形ABCD，请你在原图上画出剪裁线和拼成正方形ABCD. ‎ ‎3．如图，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动. ‎ ‎（1）证明：四边形PQEF是哪种特殊的平行四边形；‎ ‎（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；‎ ‎（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？‎ ‎4．（杭州市，2002）在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度. 例如正方形ABCD（如图），有. 请画出只有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段. ‎ ‎5．（山东省，2000）今有正方形土地一块，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分. 若道路的宽度可忽略不计，请你设计三种不同的修饰方案（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤）. ‎ ‎6．（北京市崇文区，2001）为增加绿地面积，现将停车场铺设的整数块正方形实体地砖（尺寸如图(1)，单位：）更换为通透性地砖. 通透性地砖是在原地砖的四边挖去四个全等的等腰梯形，梯形的上底与腰长相等（尺寸如图（2），单位：（），图（3）为拼接图（阴影部分种草）. 设原铺设实体地砖总面积为（单位：），增加绿地总面积为（单位：），求与的关系式（不要求写出的取值范围）. ‎ ‎7．（南京市，2001）（1）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，. ‎ 求证：. ‎ ‎（2）阅读下面材料：‎ 如图（1），把沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到的位置；‎ 如图（2），以BC为轴把翻折，可以变到的位置；‎ 如图（3），以点A为中心，把旋转，可以变到的位置. ‎ 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形平行移动、翻折、旋转等方法变成的. 这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换. ‎ ‎（3）回答下列问题：‎ ① 在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使变到的位置？‎ ‎②指出下图中线段BE与DF之间的关系. ‎ ‎8． （黄冈市，2000）国家电力总公司为了改善农村用电电缆过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造. 莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如下图中的实践部分. 请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. （以下数据可供参考：，，）‎ ‎9．（山东省淄博市，2002）工人师傅要将一块如图所示的铝板，经过适当的剪切后，焊接成一块正方形铝板，请在下图中画出剪切线，并将剪切后的铝板拼成一个面积最大的正方形（保留拼接痕迹，不写画法）. ‎ ‎【参考答案】‎ ‎1．（1）证；（2）连AC，PR，设AC和PR交于O，可证. ∴. ∵O为正方形ABCD的中心，∴PR总过正方形的中心；（3），在中， ∴正方形PQRS的面积. 当时，即P，Q，R，S为正方形ABCD各边中点时，最小面积等于. 当P，Q，R，S位于点A，B，C，D时，最大面积为 ‎2．如图所示；‎ ‎3．（1）证可得四边形PQEF为正方形；‎ ‎（2）连结AC交PE于O，证O为AC的中点，得PE一定过AC的中点；‎ ‎（3）OP最小即时，正方形面积最小，为正方形面积的一半，OP最大，即等于正方形的面积. ‎ ‎4．图形如下：‎ 其中：①；②；③；④；⑤. ‎ ‎5．略 ‎6．设每块地砖增加绿色面积为，每块实体地砖面积为，则，. . ‎ ‎7．（1）证；（3）①绕点A逆时针旋转到的位置；②，且. ‎ ‎8．不妨设正方形的边长为1（也可设为）. 在图（1）、（2）中，总线路长分别为，. 在图（3）中，总线路长为. 在图（4）中，延长线EF交BC于点H，是，. 由，及股定理得，. ∴ . 此时，总线路长为. 显然，∴ 图（4）的联结线路最短，架设方案最省电线. ‎ ‎9．略