2020年河北省中考数学试卷【含答案】 9页

1 / 9 2020 年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分．1～10 小题各 3 分，11～16 小题各 2 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在平面内作已知直线푚的垂线，可作垂线的条数有（ ） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 2. 墨迹覆盖了等式“푥3 푥＝푥2(푥 ≠ 0)”中的运算符号，则覆盖的 是（ ） A.+ B.- C.× D.÷ 3. 对于①푥 − 3푥푦＝푥(1 − 3푦)，②(푥 + 3)(푥 − 1)＝푥2 + 2푥 − 3，从左 到右的变形，表述正确的是（ ） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 4. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个 几何体的三视图，正确的是（ ） A.仅主视图不同 B.仅俯视图不同 C.仅左视图不同 D.主视图、左视图和俯视图都相同 5. 如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是 푎元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则푎＝（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 6. 如图1，已知∠퐴퐵퐶，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下， 第一步：以퐵为圆心，以푎为半径画弧，分别交射线퐵퐴，퐵퐶于点퐷，퐸； 第二步：分别以퐷，퐸为圆心，以푏为半径画弧，两弧在∠퐴퐵퐶内部交于点 푃； 第三步：画射线퐵푃．射线퐵푃即为所求． 下列正确的是（ ） A.푎，푏均无限制 B.푎 > 0，푏 > 1 2 퐷퐸的长 C.푎有最小限制，푏无限制 D.푎 ≥ 0，푏 < 1 2 퐷퐸的长 7. 若푎 ≠ 푏，则下列分式化简正确的是（ ） A.푎+2 푏+2 = 푎 푏 B.푎−2 푏−2 = 푎 푏 C.푎2 푏2 = 푎 푏 D. 1 2푎 1 2푏 = 푎 푏 8. 在如图所示的网格中，以点푂为位似中心，四边形퐴퐵퐶퐷的位似图形 是（ ） A.四边形푁푃푀푄 B.四边形푁푃푀푅 C.四边形푁퐻푀푄 D.四边 形푁퐻푀푅 9. 若(92−1)(112−1) 푘 = 8 × 10 × 12，则푘＝（ ） A.12 B.10 C.8 D.6 10. 如图，将△ 퐴퐵퐶绕边퐴퐶的中点푂顺时针旋转180∘．嘉淇发现，旋转 后的△ 퐶퐷퐴与△ 퐴퐵퐶构成平行四边形，并推理如下： 2 / 9 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵ 퐶퐵＝퐴퐷，”和“∴ 四边形…”之间作补充，下列正确的是 （ ） A.嘉淇推理严谨，不必补充 B.应补充：且퐴퐵＝퐶퐷 C.应补充：且퐴퐵 // 퐶퐷 D.应补充：且푂퐴＝푂퐶 11. 若푘为正整数，则(푘 + 푘 + ⋯ + 푘)푘 } 푘푘 = ( ) A.푘2푘 B.푘2푘+1 C.2푘푘 D.푘2+푘 12. 如图，从笔直的公路푙旁一点푃出发，向西走6푘푚到达푙；从푃出发向 北走6푘푚也到达푙．下列说法错误的是（ ） A.从点푃向北偏西45∘走3푘푚到达푙 B.公路푙的走向是南偏西45∘ C.公路푙的走向是北偏东45∘ D.从点푃向北走3푘푚后，再向西走3푘푚到达푙 13. 已知光速为300000千米/秒，光经过푡秒(1 ≤ 푡 ≤ 10)传播的距离用 科学记数法表示为푎 × 10푛千米，则푛可能为（ ） A.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7 14. 有一题目：“已知：点푂为△ 퐴퐵퐶的外心，∠퐵푂퐶＝130∘，求∠퐴．” 嘉嘉的解答为：画△ 퐴퐵퐶以及它的外接圆푂，连接푂퐵，푂퐶．如图，由 ∠퐵푂퐶＝2∠퐴＝130∘，得∠퐴＝65∘．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠퐴 还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ） A.淇淇说的对，且∠퐴的另一个值是115∘ B.淇淇说的不对，∠퐴就得65∘ C.嘉嘉求的结果不对，∠퐴应得50∘ D.两人都不对，∠퐴应有3个不同值 15. 如图，现要在抛物线푦＝푥(4 − 푥)上找点푃(푎,  푏)，针对푏的不同取值， 所找点푃的个数，三人的说法如下， 甲：若푏＝5，则点푃的个数为0； 乙：若푏＝4，则点푃的个数为1； 丙：若푏＝3，则点푃的个数为1． 下列判断正确的是（ ） A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对 16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块 （可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直 角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） 3 / 9 A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 12 分．17～18 小题各 3 分；19 小 题有 3 个空，每空 2 分） 17. 已知：√18 − √2 = 푎√2 − √2 = 푏√2，则푎푏＝________． 18. 正六边形的一个内角是正푛边形一个外角的4倍，则푛＝________． 19. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶 凸出的角的顶点记作푇푚（푚为1 ∼ 8的整数）．函数푦 = 푘 푥 (푥 < 0)的图象为 曲线퐿． （1）若퐿过点푇1，则푘＝________； （2）若퐿过点푇4，则它必定还过另一点푇푚，则푚＝________； （3）若曲线퐿使得푇1 ∼ 푇8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则푘的 整数值有________个． 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 20. 已知两个有理数：−9和5． （1）计算：(−9)+5 2 ； （2）若再添一个负整数푚，且−9，5与푚这三个数的平均数仍小于푚，求 푚的值． 21. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的퐴区就会自动加上푎2，同时퐵 区就会自动减去3푎，且均显示化简后的结果．已知퐴，퐵两区初始显示的 分别是25和−16，如图． 如，第一次按键后，퐴，퐵两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求퐴，퐵两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算퐴，퐵两区代数式的和，请判断这个和能 为负数吗？说明理由． 4 / 9 22. 如图，点푂为퐴퐵中点，分别延长푂퐴到点퐶，푂퐵到点퐷，使푂퐶＝ 푂퐷．以点푂为圆心，分别以푂퐴，푂퐶为半径在퐶퐷上方作两个半圆．点푃为 小半圆上任一点（不与点퐴，퐵重合），连接푂푃并延长交大半圆于点퐸，连 接퐴퐸，퐶푃． （1）①求证：△ 퐴푂퐸 ≅△ 푃푂퐶； ②写出∠푙，∠2和∠퐶三者间的数量关系，并说明理由． （2）若푂퐶＝2푂퐴＝2，当∠퐶最大时，直接指出퐶푃与小半圆的位置关系， 并求此时푆扇形퐸푂퐷（答案保留휋）． 23. 用承重指数푤衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一 些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数푊与木板 厚度푥（厘米）的平方成正比，当푥＝3时，푊＝3． （1）求푊与푥的函数关系式． （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但 薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为푥（厘米），푄＝ 푊厚 − 푊薄． ①求푄与푥的函数关系式； ②푥为何值时，푄是푊薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写푥的取值 范围] 5 / 9 24. 表格中的两组对应值满足一次函数푦＝푘푥 + 푏，现画出了它的图象为 直线푙，如图．而某同学为观察푘，푏对图象的影响，将上面函数中的푘与푏 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线푙′． 푥 −1 0 푦 −2 1 （1）求直线푙的解析式； （2）请在图上画出直线푙′（不要求列表计算），并求直线푙′被直线푙和푦轴 所截线段的长； （3）设直线푦＝푎与直线푙，푙′及푦轴有三个不同的交点，且其中两点关于 第三点对称，直接写出푎的值． 25. 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴−3和5的位置上，沿数轴做 移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一 面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． （1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率푃； （2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜 结果均为一对一错．设乙猜对푛次，且他最终停留的位置对应的数为푚， 试用含푛的代数式表示푚，并求该位置距离原点푂最近时푛的值； （3）从如图的位置开始，若进行了푘次移动游戏后，甲与乙的位置相距2 个单位，直接写出푘的值． 6 / 9 26. 如图1和图2，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶，퐵퐶＝8，tan퐶 = 3 4 ．点퐾在퐴퐶 边上，点푀，푁分别在퐴퐵，퐵퐶上，且퐴푀＝퐶푁＝2．点푃从点푀出发沿折 线푀퐵 − 퐵푁匀速移动，到达点푁时停止；而点푄在퐴퐶边上随푃移动，且始 终保持∠퐴푃푄＝∠퐵． （1）当点푃在퐵퐶上时，求点푃与点퐴的最短距离； （2）若点푃在푀퐵上，且푃푄将△ 퐴퐵퐶的面积分成上下4: 5两部分时，求푀푃 的长； （3）设点푃移动的路程为푥，当0 ≤ 푥 ≤ 3及3 ≤ 푥 ≤ 9时，分别求点푃到直 线퐴퐶的距离（用含푥的式子表示）； （4）在点푃处设计并安装一扫描器，按定角∠퐴푃푄扫描△ 퐴푃푄区域（含边 界），扫描器随点푃从푀到퐵再到푁共用时36秒．若퐴퐾 = 9 4 ，请直接写出点 퐾被扫描到的总时长． 7 / 9 参考答案与试题解析 2020 年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分．1～10 小题各 3 分，11～16 小题各 2 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.A 12.A 13.C 14.A 15.C 16.B 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 12 分．17～18 小题各 3 分；19 小 题有 3 个空，每空 2 分） 17.6 18.12 19.−16 5 7 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 20.(−9)+5 2 = −4 2 = −2； 根据题意得， −9+5+푚 3 < 푚， ∴ −4 + 푚 < 3푚， ∴ 푚 − 3푚 < 4， ∴ −2푚 < 4， ∴ 푚 > −2， ∵ 푚是负整数， ∴ 푚＝−1． 21.퐴区显示的结果为：25 + 2푎2，퐵区显示的结果为：−16 − 6푎； 这个和不能为负数， 理由：根据题意得，25 + 4푎2 + (−16 − 12푎)＝25 + 4푎2 − 16 − 12푎＝ 4푎2 − 12푎 + 9； ∵ (2푎 − 3)2 ≥ 0， ∴ 这个和不能为负数． 22.①在△ 퐴푂퐸和△ 푃푂퐶中， { 푂퐴 = 푂푃 ∠퐴푂퐸 = ∠푃푂퐶 푂퐸 = 푂퐶 ， ∴ △ 퐴푂퐸 ≅△ 푃푂퐶(푆퐴푆)； ②∵ △ 퐴푂퐸 ≅△ 푃푂퐶， ∴ ∠퐸＝∠퐶， ∵ ∠1 + ∠퐸＝∠2， ∴ ∠1 + ∠퐶＝∠2； 当∠퐶最大时，퐶푃与小半圆相切， 如图， ∵ 푂퐶＝2푂퐴＝2， ∴ 푂퐶＝2푂푃， ∵ 퐶푃与小半圆相切， ∴ ∠푂푃퐶＝90∘， ∴ ∠푂퐶푃＝30∘， ∴ ∠퐷푂퐸＝∠푂푃퐶 + ∠푂퐶푃＝120∘， ∴ 푆푂퐷퐸 = 120휋×22 360 = 4 3 휋． 8 / 9 23.设푊＝푘푥2(푘 ≠ 0)． ∵ 当푥＝3时，푊＝3， ∴ 3＝9푘，解得푘 = 1 3 ， ∴ 푊与푥的函数关系式为푊 = 1 3 푥2； ①设薄板的厚度为푥厘米，则厚板的厚度为(6 − 푥)厘米， ∴ 푄＝푊厚 − 푊薄 = 1 3 (6 − 푥)2 − 1 3 푥2＝−4푥 + 12， 即푄与푥的函数关系式为푄＝−4푥 + 12； ②∵ 푄是푊薄的3倍， ∴ −4푥 + 12＝3 × 1 3 푥2， 整理得，푥2 + 4푥 − 12＝0， 解得，푥1＝2，푥2＝−6（不合题意舍去）， 故푥为2时，푄是푊薄的3倍． 24.∵ 直线푙: 푦＝푘푥 + 푏中，当푥＝−1时，푦＝−2；当푥＝0时，푦＝1， ∴ {−푘 + 푏 = −2 푏 = 1 ，解得{푘 = 3 푏 = 1 ， ∴ 直线푙的解析式为푦＝3푥 + 1； ∴ 直线푙′的解析式为푦＝푥 + 3； 如图，解{ 푦 = 푥 + 3 푦 = 3푥 + 1 得{푥 = 1 푦 = 4 ， ∴ 两直线的交点为(1,  4)， ∵ 直线푙′: 푦＝푥 + 3与푦轴的交点为(0,  3)， ∴ 直线푙′被直线푙和푦轴所截线段的长为：√12 + (4 − 3)2 = √2； 把푦＝푎代入푦＝3푥 + 1得，푎＝3푥 + 1，解得푥 = 푎−1 3 ； 把푦＝푎代入푦＝푥 + 3得，푎＝푥 + 3，解得푥＝푎 − 3； 当푎 − 3 + 푎−1 3 = 0时，푎 = 5 2 ， 当1 2 (푎 − 3 + 0) = 푎−1 3 时，푎＝7， 当1 2 (푎−1 3 + 0)＝푎 − 3时，푎 = 17 5 ， ∴ 直线푦＝푎与直线푙，푙′及푦轴有三个不同的交点，且其中两点关于第 三点对称，则푎的值为5 2 或7或17 5 ． 25.∵ 经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上， ∴ 必须甲对乙错， 因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对， ∴ 푃甲对乙错 = 1 4 ． 由题意푚＝5 − 4푛 + 2(10 − 푛)＝25 − 6푛． 푛＝4时，离原点最近． 不妨设甲连续푘次正确后两人相距2个单位， 则有|8 + 2푘 − 4푘|＝2，解得푘＝3或5． 如果푘次中，有1次两人都对都错，则有|6 + 2(푘 − 1) − 4(푘 − 1)|＝2，解 得푘＝3或5， 如果푘次中，有2次两人都对都错，则有|4 + 2(푘 − 2) − 4(푘 − 2)|＝2，解 得푘＝3或5， …， 综上所述，满足条件的푘的值为3或5． 26.如图1中，过点퐴作퐴퐻 ⊥ 퐵퐶于퐻． ∵ 퐴퐵＝퐴퐶，퐴퐻 ⊥ 퐵퐶， 9 / 9 ∴ 퐵퐻＝퐶퐻＝4，∠퐵＝∠퐶， ∴ tan∠퐵＝tan∠퐶 = 퐴퐻 퐵퐻 = 3 4 ， ∴ 퐴퐻＝3，퐴퐵＝퐴퐶 = √퐴퐻2 + 퐵퐻2 = √32 + 42 = 5． ∴ 当点푃在퐵퐶上时，点푃到퐴的最短距离为3． 如图1中，∵ ∠퐴푃푄＝∠퐵， ∴ 푃푄 // 퐵퐶， ∴ △ 퐴푃푄 ∽△ 퐴퐵퐶， ∵ 푃푄将△ 퐴퐵퐶的面积分成上下4: 5， ∴ 푆△퐴푃푄 푆△퐴퐵퐶 = (퐴푃 퐴퐵)2 = 4 9 ， ∴ 퐴푃 퐴퐵 = 2 3 ， ∴ 퐴푃 = 10 3 ， ∴ 푃푀＝퐴푃＝퐴푀 = 10 3 − 2 = 4 3 ． 当0 ≤ 푥 ≤ 3时，如图1 − 1中，过点푃作푃퐽 ⊥ 퐶퐴交퐶퐴的延长线于퐽． ∵ 푃푄 // 퐵퐶， ∴ 퐴푃 퐴퐵 = 푃푄 퐵퐶 ，∠퐴푄푃＝∠퐶， ∴ 푥+2 5 = 푃푄 8 ， ∴ 푃푄 = 8 5 (푥 + 2)， ∵ sin∠퐴푄푃＝sin∠퐶 = 3 5 ， ∴ 푃퐽＝푃푄 ⋅ sin∠퐴푄푃 = 24 25 (푥 + 2)． 当3 ≤ 푥 ≤ 9时，如图2中，过点푃作푃퐽 ⊥ 퐴퐶于퐽． 同法可得푃퐽＝푃퐶 ⋅ sin∠퐶 = 3 5 (11 − 푥)． 由题意点푃的运动速度= 9 36 = 1 4 单位长度/秒． 当3 < 푥 ≤ 9时，设퐶푄＝푦． ∵ ∠퐴푃퐶＝∠퐵 + ∠퐵퐴푃＝∠퐴푃푄 + ∠퐶푃푄，∠퐴푃푄＝∠퐵， ∴ ∠퐵퐴푃＝∠퐶푃푄， ∵ ∠퐵＝∠퐶， ∴ △ 퐴퐵푃 ∽△ 푃퐶푄， ∴ 퐴퐵 퐶푃 = 퐵푃 퐶푄 ， ∴ 5 11−푥 = 푥−3 푦 ， ∴ 푦 = − 1 5 (푥 − 7)2 + 16 5 ， ∵ − 1 5 < 0， ∴ 푥＝7时，푦有最大值，最大值= 16 5 ， ∵ 퐴퐾 = 9 4 ， ∴ 퐶퐾＝5 − 9 4 = 11 4 < 16 5 当푦 = 11 4 时，11 4 = − 1 5 (푥 − 7)2 + 16 5 ， 解得푥＝7 ± 3 2 ， ∴ 点퐾被扫描到的总时长＝(11 4 + 6 − 3) ÷ 1 4 = 23秒． 方法二：①点푃在퐴퐵上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点퐾； ②在퐵푁阶段，当푥在3 ∼ 5.5（即7 − 1.5）的过程，是能扫到퐾点的，在 5.5 ∼ 8.5（即7 + 1.5）的过程是扫不到点퐾的，但在8.5 ∼ 9（即点푀到푁 全部的路程）能扫到点퐾．所以扫到的时间是[(9 − 8.5) + (5.5 − 3) + 11 4 ] ÷ 1 4 = 23（秒）．