2020年山东大学附中中考数学复习试卷 30页

‎2020年山东大学附中中考数学复习试卷 一、选择题 ‎1．在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．‎ ‎2．如图是下面哪个图形的俯视图（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109‎ ‎4．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A． B．（﹣3）2＝6 C．3a4﹣2a2＝a2 D．（﹣a3）2＝a5‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）‎ A．45° B．48° C．50° D．58°‎ ‎7．计算的结果是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎8．某组委会对参加“古典诗词背诵”大赛的若干同学进行了年龄调查，并制成了如图所示的频数分布直方图，则依据图中信息得到这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．15，13 B．15，15 C．8，15 D．14，16‎ ‎9．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（　　）‎ A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8‎ ‎10．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）‎ ‎12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)‎ ‎13．因式分解：x2﹣9y2＝　 　．‎ ‎14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是　 　．‎ ‎15．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是　 　．‎ ‎16．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为　 　．‎ ‎17．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x ‎（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为　 　千米．‎ ‎18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．其中一定成立的是　 　．‎ 三、解答题（本大题共9小题，共78分）‎ ‎19．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+sin60°+（﹣）﹣2．‎ ‎20．解不等式组：，并写出它的所有负整数解．‎ ‎21．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．‎ ‎22．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．‎ ‎24．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．‎ 学生选修课程统计表 课程 人数 所占百分比 声乐 ‎14‎ b%‎ 舞蹈 ‎8‎ ‎16%‎ 书法 ‎16‎ ‎32%‎ 摄影 a ‎24%‎ 合计 m ‎100%‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）m＝　 　，b＝　 　．‎ ‎（2）求出a的值并补全条形统计图．‎ ‎（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．‎ ‎（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．‎ ‎25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．‎ ‎（1）求一次函数、反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；‎ ‎（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．‎ ‎26．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；‎ ‎（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．‎ ‎27．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．‎ ‎①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.)‎ ‎1．在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．‎ ‎【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．‎ 解：∵﹣3＜﹣1＜0＜，‎ ‎∴在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎2．如图是下面哪个图形的俯视图（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可．‎ 解：A．球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；‎ B．圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；‎ C．圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意；‎ D．圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎3．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．‎ 故选：B．‎ ‎4．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；‎ C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A． B．（﹣3）2＝6 C．3a4﹣2a2＝a2 D．（﹣a3）2＝a5‎ ‎【分析】根据实数的运算法则以及整式的运算法则即可判断 解：（A）原式＝2﹣＝，故A正确，‎ ‎（B）原式＝9，故B错误；‎ ‎（C）3a4与2a2不是同类项，故C错误；‎ ‎（D）原式＝a6，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）‎ A．45° B．48° C．50° D．58°‎ ‎【分析】根据平行线的性质解答即可．‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B＝∠1，‎ ‎∵∠1＝∠D+∠E，‎ ‎∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，‎ 故选：B．‎ ‎7．计算的结果是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ 解：原式＝‎ ‎＝，‎ 故选：B．‎ ‎8．某组委会对参加“古典诗词背诵”大赛的若干同学进行了年龄调查，并制成了如图所示的频数分布直方图，则依据图中信息得到这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．15，13 B．15，15 C．8，15 D．14，16‎ ‎【分析】根据频数分布直方图中的数据可以求得一共有多少人，从而可以得到这组数的中位数和众数，本题得以解决．‎ 解：由频数分布直方图可知，‎ ‎12岁的有4人，13岁的有2人，14岁的4人，15岁的8人，16岁的6人，‎ 一共有：4+2+4+8+6＝24（人），‎ 则这组数的中位数是15岁，众数是15岁，‎ 故选：B．‎ ‎9．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（　　）‎ A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8‎ ‎【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．‎ 解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．‎ 在直角△APE中，∠A＝45°，‎ 则AE＝PE＝x米；‎ ‎∵∠PBE＝60°‎ ‎∴∠BPE＝30°‎ 在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，‎ ‎∵AB＝AE﹣BE＝6米，‎ 则x﹣x＝6，‎ 解得：x＝9+3．‎ 则BE＝（3+3）米．‎ 在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．‎ ‎∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．‎ 答：电线杆PQ的高度是6+2米．‎ 故选：A．‎ ‎10．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH＝AD＝BC＝4，根据直角三角形的性质得到∠AHE＝∠GAH＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．‎ 解：如图，设与EF交于H，连接AH，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，‎ ‎∴AH＝AD＝BC＝4，‎ ‎∴∠AHE＝∠GAH＝30°，‎ ‎∵AE＝AB＝2，‎ ‎∴HE＝2，‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）‎ ‎【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．‎ 解：过点B′作B′D⊥OC ‎∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4‎ ‎∴∠B′CD＝30°，B′D＝2‎ 根据勾股定理得DC＝2‎ ‎∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）‎ 故选：C．‎ ‎12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解：①函数的对称轴在y轴右侧，故ab＞0，而c＞0，故abc＞0正确，符合题意；‎ ‎②由图象可以看出，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0正确，符合题意；‎ ‎③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，函数的对称轴为：x＝﹣1，点C比点B离对称轴近，故则y1＜y2正确，符合题意；‎ ‎④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝t有交点，故则t的取值范围是0＜t≤m正确，符合题意．‎ 故选：D．‎ 二.填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)‎ ‎13．因式分解：x2﹣9y2＝　（x+3y）（x﹣3y）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解即可．‎ 解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．‎ ‎14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是　　．‎ ‎【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率．‎ 解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，‎ 大于4为5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为＝．‎ 故答案为：．‎ ‎15．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是　正八边形　．‎ ‎【分析】先求出正多边形的一个外角，利用外角和求出该正多边形的边数．‎ 解：∵正多边形的一个内角是135°，‎ ‎∴它的每一个外角为45°．‎ 又因为多边形的外角和恒为360°，‎ ‎360°÷45°＝8‎ 即该正多边形为正8边形．‎ 故答案为：正八边形．‎ ‎16．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为　x＝1　．‎ ‎【分析】根据新定义列分式方程可得结论．‎ 解：2*（x+3）＝1*（2x），‎ ‎＝，‎ ‎4x＝x+3，‎ x＝1，‎ 经检验：x＝1是原方程的解，‎ 故答案为：x＝1．‎ ‎17．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为　4　千米．‎ ‎【分析】由图象，通过点（1，8）和点（2，24）直线CD的解析式，求点C的横坐标，即可求出点A的坐标，从而可以求出直线AB的函数解析式，小帅到达乙地的时间为2小时，则将x＝2代入直线AB解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．‎ 解：由图象可得，点（1，8）和点（2，24）在直线CD上，设直线CD的解析式为：y1＝kx+b 代入得，，解得，‎ ‎∴y1＝16x﹣8‎ ‎∴当y＝0时，0＝16x﹣8，解得，x＝‎ ‎∴点C（，0）点A（，8）‎ ‎∵点A（，8），点B（2.5，24）在直线AB上，‎ ‎∴设直线AB的解析式为：y2＝kx+b 代入得，解得 ‎∴y2＝8x+4‎ ‎∴当x＝2时，y2＝8×2+4＝20，‎ ‎∴此时小泽距离乙地的距离为：24﹣20＝4千米 故答案为：4‎ ‎18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．其中一定成立的是　①②③④　．‎ ‎【分析】由题意可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM＝∠NAM＝45°，由等角对等边知，AM＝MN，故①正确；‎ 由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；‎ 先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS＝NW，所以AB+BN＝SB+BW＝2BW，而BW：BM＝1：，得出═，故④正确．‎ 因为∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，在∠NAM作AU＝AB＝AD，且使∠BAN＝∠NAU ‎，∠DAQ＝∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN＝∠UAQ＝90°，BN＝NU，DQ＝UQ，即可得出结论，故③正确；‎ 解：如图1所示：‎ 作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，‎ ‎∵∠AMN＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴A，B，N，M四点共圆，‎ ‎∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，‎ ‎∴∠ANM＝∠NAM＝45°，‎ ‎∴AM＝MN，故①正确．‎ 由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，‎ 在△AHM和△MPN中，‎ ‎，‎ ‎∴△AHM≌△MPN（AAS），‎ ‎∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确，‎ ‎∵∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，‎ ‎∴△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，‎ 则∠RAQ＝90°，△ABR≌△ADQ，‎ ‎∴AR＝AQ，∠RAN＝90°﹣45°＝45°＝∠NAM，‎ 在△△AQN和△ANR中，‎ ‎，‎ ‎∴△AQN≌△ANR（SAS），‎ ‎∴NR＝NQ，‎ 则BN＝NU，DQ＝UQ，‎ ‎∴点U在NQ上，有BN+DQ＝QU+UN＝NQ，故③正确．‎ 如图2所示，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，‎ ‎∴四边形SMWB是正方形，‎ ‎∴MS＝MW＝BS＝BW，∠SMW＝90°，‎ ‎∴∠AMS＝∠NMW，‎ 在△AMS和△NMW中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMS≌△NMW（ASA），‎ ‎∴AS＝NW，‎ ‎∴AB+BN＝SB+BW＝2BW，‎ ‎∵BW：BM＝1：，‎ ‎∴＝＝，故④正确．‎ 故答案为：①②③④．‎ 三、解答题（本大题共9小题，共78分）‎ ‎19．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+sin60°+（﹣）﹣2．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ 解：原式＝﹣1++16‎ ‎＝+15．‎ ‎20．解不等式组：，并写出它的所有负整数解．‎ ‎【分析】分别解不等式组的①和②，得到不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，再求负整数解即可．‎ 解：化简不等式组，得 ‎，‎ 由③得，x≥﹣3，‎ 由④得，x＜2，‎ ‎∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，‎ ‎∴不等式组的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1．‎ ‎21．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．‎ ‎【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．‎ ‎【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，‎ ‎∴四边形DBCE是平行四边形，‎ ‎∴BD＝CE，‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴AD＝EC，‎ ‎∵CE∥AD，‎ ‎∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，‎ ‎∴△ADF≌△CEF（ASA）．‎ ‎22．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？‎ ‎【分析】设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；‎ 解：设乙种购进x件，则甲种购进1.5x件，‎ 根据题意，得：+30＝，‎ 解得：x＝40，‎ 经检验x＝40是所列分式方程的解，‎ ‎1.5x＝60，‎ 答：甲种购进60件，乙种购进40件．‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．‎ ‎【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；‎ ‎（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．‎ 解：（1）∵D是的中点，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∴∠AFE＝90°，‎ ‎∴∠E+∠EAF＝90°，‎ ‎∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，‎ ‎∴∠CAE＝∠AOE，‎ ‎∴∠E+∠AOE＝90°，‎ ‎∴∠EAO＝90°，‎ ‎∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AD，在Rt△ADH中，‎ ‎∵∠DAC＝∠C，‎ ‎∴tan∠DAC＝tanC＝，‎ ‎∵DH＝9，‎ ‎∴AD＝12，‎ 在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC＝，‎ ‎∴sinB＝，‎ ‎∴AB＝20．‎ ‎24．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．‎ 学生选修课程统计表 课程 人数 所占百分比 声乐 ‎14‎ b%‎ 舞蹈 ‎8‎ ‎16%‎ 书法 ‎16‎ ‎32%‎ 摄影 a ‎24%‎ 合计 m ‎100%‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）m＝　50　，b＝　28　．‎ ‎（2）求出a的值并补全条形统计图．‎ ‎（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．‎ ‎（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．‎ ‎【分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得m的值，声乐人数除以总人数即可求出b的值；‎ ‎（2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；‎ ‎（3）利用样本估计总体思想求解可得；‎ ‎（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．‎ 解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，‎ 故答案为：50、28；‎ ‎（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：‎ ‎（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，‎ 则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．‎ ‎25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．‎ ‎（1）求一次函数、反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；‎ ‎（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．‎ ‎【分析】（1）由AC＝BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；‎ ‎（2）观察图象即可求解；‎ ‎（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．‎ 解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），‎ ‎∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，‎ ‎∴P（4，2），B（4，0），‎ 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，‎ 解得：，‎ ‎∴一次函数解析式为y＝x+1，‎ 将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；‎ ‎（2）观察图象可知：＜kx+b时x的取值范围0＜x＜4；‎ ‎（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，‎ ‎∵四边形BCPD为菱形，‎ ‎∴CF＝DF＝4，‎ ‎∴CD＝8，‎ 将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，‎ ‎∴D点的坐标为（8，1）‎ ‎∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；‎ 延长DP交y轴于点E，则点E为所求，‎ 则|DE﹣PE|＝PD为最大，‎ 设直线PD的表达式为：y＝sx+t，‎ 将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，‎ 故直线PD的表达式为：y＝﹣x+3，‎ 令x＝0，则y＝3，‎ 故点E（0，3）．‎ ‎26．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；‎ ‎（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．‎ ‎【分析】（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝30°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；‎ ‎（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；‎ ‎（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．‎ 解：（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB．‎ ‎∴BC1＝BC，∠A1C1B＝∠C＝30°．‎ ‎∴∠BC1C＝∠C＝30°．‎ ‎∴∠CC1A1＝60°；‎ ‎（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB．‎ ‎∴A1B＝AB，BC1＝BC，∠A1BC1＝∠ABC．‎ ‎∴∠ABA1＝∠CBC1，‎ ‎∴△A1BA∽△C1BC ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．‎ 解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴点D在线段AC上，‎ 在Rt△BCD中，BD＝BC×sin30°＝6×＝3，‎ 当点P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝3﹣2＝1；‎ ‎②当点P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝6+2＝8．‎ 综上所述，线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．‎ ‎27．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．‎ ‎①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）‎ ‎【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；‎ ‎（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；‎ ‎②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．‎ 解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣2）；‎ 当y＝0时，﹣x﹣2＝0，‎ 解得：x＝﹣4，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣4，0）．‎ 将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．‎ ‎（2）①∵PM⊥x轴，‎ ‎∴∠PMC≠90°，‎ ‎∴分两种情况考虑，如图1所示．‎ ‎（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，‎ ‎∴点P的纵坐标为﹣2．‎ 当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，‎ 解得：x1＝﹣2，x2＝0，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．‎ ‎∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCD．‎ 又∵∠AOC＝∠COD＝90°，‎ ‎∴△AOC∽△COD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴OD＝1，‎ ‎∴点D的坐标为（1，0）．‎ 设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），‎ 将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．‎ 联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，‎ 解得：，，‎ 点P的坐标为（6，10）．‎ 综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．‎ ‎②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，‎ 解得：x1＝﹣4，x2＝2，‎ ‎∴点B的坐标为（2，0）．‎ ‎∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，‎ ‎∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．‎ ‎∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），‎ ‎∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．‎ 利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．‎ 分三种情况考虑，如图2所示：‎ 当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；‎ 当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；‎ 当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣‎ m﹣2．‎ 综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．‎