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- 2021-11-06 发布
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24.4 弧长和扇形面积(第二课时)
◆随堂检测
1.如图,两个同心圆中,大圆的半径 OA=4cm,∠AOB=∠BOC=60°,则图中阴影部分的面积是______cm2.
2.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离,它们的半径都是 1,顺次连接四个圆心得到四
边形 ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
3.如图,圆锥的侧面积恰好等于其底面积的 2 倍,则该圆锥侧面展开 图所对应扇形圆
心角的度数为( )
A. 60 B.90 C.120 D.180
4.一个圆锥的高为3 3 ,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是__________.
5.如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C,连结 OA,OB,OB 交⊙O 于点 D,已知 6OA OB , 6 3AB .(1)
求⊙O 的半径;(2)求图中阴影部分的面积.
C
O
A B
D
◆典例分析
如图,从一个边长为 2 的菱形铁皮中剪下一个圆心角为 60°的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留 ).
(2)在剩下的一块余料中,能否从余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.
(3)当∠B 为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
分析:能否从余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥, 关键有
两点:一是剪出的最大的圆与 AD、CD 和弧 AC 都相切,二是弧 AC 的 长等于
圆的周长.
A
B
CD
(第 3 题)
解:(1)如图,∵AB=AC=2,∴
3
2
360
2
RnS .
(2)连接 AC、BD,BD 交弧 AC 于 E 点,圆心在 DE 上,
由勾股定理:BD=2 3 ,DE= 46.1232 .弧 AC 的长:
3
2
180
Rnl
,
∴
3
22 r ,∴ 67.03
22 r <1.46=DE .
另一方面,如图:由于∠ADE=30°,过 O 作 OF⊥AD,
则 OD=2OF=2r,因此 DE 3r,
所以能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
(3)当∠B=90°时,不能剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.理 由如下:
弧 AC 的长: 0180
Rnl
,
r2 ,∴2r=1.
由勾股定理求得:BD=2 2 ,DE= 82.0222 <1=2r,
因此∠B 为任意值时,(2)中的结论不一定成立.
◆课下作业
●拓展提高
1.小丽要制作一个圆锥模型,要求圆锥的母线长为 9cm,底面圆的直径为 10cm,那么小丽要制作的这个
圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是______.
2.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径 EF 长为
10cm,母线 OE(OF)长为 10cm.在母线 OF 上的点 A 处有一块爆 米花残渣,且
FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点,则 此蚂蚁爬行
的最短距离是______.
3.如图,半径为 2 的正三角形 ABC 的中心为 O,过 O 与两个顶 点画弧,求这
三条弧所围成的阴影部分的周长是______,阴影部分面积是 __________.
4.如图,半圆 的直径 10AB , P 为 AB 上一点,点C D, 为半圆的三
等分点,求阴影部分的面积.
C D
A P O B
5.如图,在 ABC△ 中, 120 2 3AB AC A BC , °, , A⊙ 与 BC 相切于点 D ,且交 AB AC、
于 M N、 两点,求图中阴影部分的面积(保留 π ).
A
N
CDB
M
6.如图,一个圆锥的高为3 3 cm,侧面展开图是半圆.
求:(1)圆锥的母线长与底面半径之比;(2)求 BAC 的度数;(3)圆锥的侧面积(结果保留 π ).
A
B O C
h
l
r
●体验中考
1.(2009 年,郴州市)如图已知扇形 AOB 的半径为 6cm,圆心角的度数为120° ,若将此扇形围成一个圆
锥,则围成的圆锥的侧面积为()
A. 24πcm B. 26πcm C. 29πcm D. 212πcm
2.(2009 年,宁德市)小华为参加毕业晚会演出,准备制一顶圆锥形纸帽,如图所示,纸帽的底面半径为 9cm,
母线长为 30cm,制作这个纸帽至少需要纸板的面积至少为________cm2.(结果保留 )
120
B
O
A
6cm
3.(2009 年,襄樊市)如图,在 Rt ABC△ 中, 90 4 2C AC BC ∠ °, , ,分别以 AC 、BC 为直径画
半圆,则图中阴影部分的面积为_________.(结果保留 )
CA
B
参考答案:
◆随堂检测
1. 8
3
.
2. .
3.D.
4.18 .
5.(1)连结 OC,则OC AB⊥ .∵OA OB ,∴ 1 1 6 3 3 32 2AC BC AB .
在 Rt AOC△ 中, 2 2 2 26 (3 3) 3OC OA AC .∴⊙O 的半径为 3.
(2)∵OC= 1
2 OB ,∴∠B=30o,∠COD=60o.
∴扇形 OCD 的面积为 OCDS扇形 =
260 π 3
360
= 3
2
π.
阴影部分的面积为 Rt OCB OCDS S S 阴影 扇形 = 1
2 OC CB - 3 π2
= 9 3
2
- 3 π2
.
◆课下作业
●拓展提高
1.200°.
2. 2 41 cm. 在侧面展开图上考虑.
3.周长是 4 33
,面积是 4 2 33
. 利用整体思想可解.
4.解:连结 OC、OD 和 CD. 260 255360 6OCDS S 阴影 扇形 .
5.解:连结 AD,在ΔABC 中,AB=AC, A=120 BC=2 3 , ,⊙A 与 BC 相交于点 D,
则 AD⊥BC, 1 1 2 3 32 2BD BC , 1 1BAD= BAC= 120 =602 2
,∴∠B=30°,
AD=1,∴
2
AMN
1 120 11 2 3 32 360 3ABCS S
扇形 .
6.解:(1)设此圆锥的高为 h ,底面半径为 r ,母线长 AC l .
∵ 2π πr l ,∴ 2l
r
.
(2)∵ 2l
r
,∴圆锥高与母线的夹角为30°,则 60BAC °.
(3)由图可知 2 2 2 3 3cml h r h , ,∴ 2 2 2(2 ) (3 3)r r ,即 2 24 27r r .
解得 3cmr .∴ 2 6cml r .∴圆锥的侧面积为
2
2π 18π(cm )2
l .
●体验中考
1.D.
2.270 . 注意正确应用圆锥的侧面积公式.
3. 5 π 42
由图可知阴影部分的面积=半圆 AC 的面积+半圆 BC 的面积- Rt ABC△ 的面积,所以 S 阴影
= 2 21 1 1 5π 2 1 2 4 π 42 2 2 2
,故填 5 π 42
.