2020九年级数学上册第1章二次函数本章总结提升试题（新版）浙教版 13页

二次函数 本章总结提升　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 问题1　抛物线的平移 抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－m)2＋k?‎ 例1 已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0)和(0，－3)，回答下列问题：‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)请对该抛物线给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．‎ 13‎ ‎ 【归纳总结】‎ 问题2　二次函数的图象及性质 结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值．‎ 例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－T－1所示，有下列说法：‎ ‎①2a＋b＝0；‎ 13‎ ‎②当－1≤x≤3时，y＜0；‎ ‎③若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；‎ ‎④9a＋3b＋c＝0.‎ 其中正确的是(　　)‎ 图1－T－1‎ A．①②④　　　　B．①④‎ C．①②③ D．③④‎ ‎【归纳总结】‎ 字母　　项目 字母的符号 图象的特征 a a＞0‎ 开口向上 a＜0‎ 开口向下 b b＝0‎ 对称轴为y轴 13‎ ab＞0(b与a同号)‎ 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号)‎ 对称轴在y轴右侧 c c＝0‎ 经过原点 c＞0‎ 与y轴正半轴相交 c＜0‎ 与y轴负半轴相交 b2－‎‎4ac b2－‎4ac＝0‎ 与x轴有唯一交点(顶点)‎ b2－‎4ac＞0‎ 与x轴有两个不同交点 b2－‎4ac＜0‎ 与x轴没有交点 特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0‎ 若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0‎ 问题3　求二次函数的表达式 用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些？‎ 例3 已知一条抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)求该抛物线的顶点坐标．‎ 13‎ ‎【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式 方法 适用条件及求法 一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a，b，c的值 顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(或最小值)，设所求二次函数的表达式为y＝a(x－m)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式 交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点的坐标(m，n)(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式 问题4　二次函数与一元二次方程的关系 结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况．‎ 例4 2016·荆门若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为(　　)‎ A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7‎ C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7‎ 例5 已知抛物线y＝x2－2(m－1)x＋m2－7与x轴有两个不同的交点．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)若抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(3，0)，求点B的坐标．‎ 13‎ ‎【归纳总结】‎ 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系 判别式的值的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 抛物线与x轴有两个交点 b2－‎4ac>0‎ 方程有两个不相等的实数根 抛物线与x轴有一个交点 b2－‎4ac＝0‎ 方程有两个相等的实数根 抛物线与x轴没有交点 b2－‎4ac<0‎ 方程没有实数根 问题5　二次函数最值问题的实际应用 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．‎ 例6 2017·湖州湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．‎ ‎(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值．‎ ‎(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg)，销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：m与t的函数关系为m＝y与t的函数关系如图1－T－2所示．‎ ‎①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t之间的函数表达式；‎ ‎②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)‎ 13‎ 图1－T－2‎ ‎【归纳总结】二次函数的实际应用 常见类型 步骤 抛物线形状类 ‎①建立平面直角坐标系；②利用待定系数法确定抛物线的函数表达式；③利用二次函数的性质解决实际问题 商品销售类 ‎①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；②确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决实际问题 几何类 ‎①根据几何知识探究图形的几何(面积、长度等)关系式；②根据几何关系式确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决问题 注意：‎ ‎(1)当题目中没有给出平面直角坐标系时，选取的平面直角坐标系不同，所得函数表达式也不同．‎ ‎(2)在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响．‎ ‎(3)建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数表达式进行验证，防止出现错解．‎ 问题6　二次函数与几何的综合 几何图形在二次函数的应用中怎样体现？‎ 例7 2017·镇江如图1－T－3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x 13‎ 轴、y轴上，点B的坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为D.‎ ‎(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于________；‎ ‎(2)E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；‎ ‎(3)矩形OABC的对角线OB，AC相交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．‎ 图1－T－3‎ ‎【归纳总结】二次函数与几何综合 二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：‎ ‎(1)线段数量关系、最值问题；‎ 13‎ ‎(2)面积数量关系、最值问题；‎ ‎(3)存在性问题：包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等．‎ 13‎ 详解详析 ‎【整合提升】‎ 例1　解：(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，‎ ‎∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0)．‎ ‎∵当x＝0时，y＝－3，‎ ‎∴－3＝(0－3)(0＋1)a，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)在抛物线上取一点P(1，－4)，∵将点P向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得点P′(0，0)，‎ ‎∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后所得的抛物线经过原点(0，0)．‎ 注：(2)题答案不唯一．‎ 例2　[解析] B　∵函数图象的对称轴为直线x＝－＝＝1，‎ ‎∴b＝－2a，‎ 即2a＋b＝0，故①正确；‎ ‎∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a>0.‎ 又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，‎ ‎∴当－1≤x≤3时，y≤0，故②错误；‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，‎ ‎∴若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当1y2，故③错误；‎ ‎∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(3，0)，‎ ‎∴当x＝3时，y＝0，即9a＋3b＋c＝0，故④正确．‎ 故选B.‎ 13‎ 例3　[解析] 本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式，求该抛物线的顶点坐标可将表达式配方成顶点式．‎ 解：(1)设这个抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由抛物线过A(－2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点，‎ 得解得 ‎∴所求抛物线的函数表达式为y＝2x2＋2x－4.‎ ‎(2)∵y＝2x2＋2x－4＝2(x2＋x－2)＝2(x＋)2－，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标为(－，－)．‎ ‎[点评] 求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外，还可以直接运用顶点坐标公式(－，)求得．‎ 例4　[答案] D 例5　[解析] (1)根据b2－4ac>0确定m的取值范围；(2)可以把x＝3，y＝0代入表达式，求出m的值，但要注意m的值应符合(1)中的要求．‎ 解：(1)∵抛物线y＝x2－2(m－1)x＋m2－7与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴方程x2－2(m－1)x＋m2－7＝0有两个不同的实数根，‎ ‎∴b2－4ac>0，即4(m－1)2－4(m2－7)>0，‎ 解得m<4.‎ ‎(2)把x＝3，y＝0代入表达式，得 ‎9－6(m－1)＋m2－7＝0，‎ 即m2－6m＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4.‎ ‎∵m<4，∴m＝2，‎ ‎∴函数表达式为y＝x2－2x－3.‎ 令y＝0，则x2－2x－3＝0，‎ 解得x1＝3，x2＝－1，‎ ‎∴点B的坐标为(－1，0)．‎ 例6　解：(1)由题意得 13‎ 解得即a的值为0.04，b的值为30.‎ ‎(2)①当0≤t≤50时，设y与t之间的函数表达式为y＝k1t＋n1，‎ 把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入y＝k1t＋n1，得解得 ‎∴y与t之间的函数表达式为y＝t＋15；‎ 当50＜t≤100时，设y与t之间的函数表达式为y＝k2t＋n2，把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入y＝k2t＋n2，得 解得 ‎∴y与t之间的函数表达式为y＝－t＋30.‎ ‎②由题意得，‎ 当0≤t≤50时，W＝20000－(400t＋300000)＝3600t，‎ ‎∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大值＝180000；‎ 当50＜t≤100时，W＝(100t＋15000)·－(400t＋300000)＝－10t2＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250.‎ ‎∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大值＝180250.‎ ‎∵180000<180250，∴当t＝55天时，W最大，最大值为180250.‎ 例7　解：(1) ‎(2)∵二次函数y＝x2＋bx(b<0)的图象与x轴交于点E，∴E(－b，0)，∴OE＝－b，EA＝4＋b.‎ ‎∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2)2＋4.‎ ‎∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.‎ 此时二次函数的表达式为y＝x2－2x.‎ ‎(3)如图，过点D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.‎ 13‎ ‎∵△DMN≌△FOC，‎ ‎∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.‎ ‎∵D，‎ ‎∴N，即N(，)．‎ 把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，‎ 得＝＋b·，解得t＝±2.‎ ‎∵t＞0，∴t＝2.‎ 13‎