2018年陕西省中考数学试卷 28页

‎2018年陕西省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）‎ ‎1．（3.00分）﹣的倒数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3.00分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）‎ A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 ‎3．（3.00分）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．（3.00分）如图，在矩形AOBC中，A（﹣2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎5．（3.00分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2•a2=2a4 B．（﹣a2）3=﹣a6 C．3a2﹣6a2=3a2 D．（a﹣2）2=a2﹣4‎ ‎6．（3.00分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎7．（3.00分）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）‎ ‎8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、CH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（　　）‎ A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF ‎9．（3.00分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（　　）‎ A．15° B．35° C．25° D．45°‎ ‎10．（3.00分）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）‎ ‎11．（3.00分）比较大小：3　 　（填“＞”、“＜”或“=”）．‎ ‎12．（3.00分）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为　 　．‎ ‎13．（3.00分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为　 　．‎ ‎14．（3.00分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）‎ ‎15．（5.00分）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0‎ ‎16．（5.00分）化简：（﹣）÷．‎ ‎17．（5.00分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎18．（5.00分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥‎ BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB=CD，求证：AG=DH．‎ ‎19．（7.00分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：‎ ‎“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 频数 各组总分/分 A ‎60＜x≤70‎ ‎38‎ ‎2581‎ B ‎70＜x≤80‎ ‎72‎ ‎5543‎ C ‎80＜x≤90‎ ‎60‎ ‎5100‎ D ‎90＜x≤100‎ m ‎2796‎ 依据以上统计信息解答下列问题：‎ ‎（1）求得m=　 　，n=　 　；‎ ‎（2）这次测试成绩的中位数落在　 　组；‎ ‎（3）求本次全部测试成绩的平均数．‎ ‎20．（7.00分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．‎ 已知：CB⊥AD，ED⊥‎ AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．‎ ‎21．（7.00分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：‎ 商品 红枣 小米 规格 ‎1kg/袋 ‎2kg/袋 成本（元/袋）‎ ‎40‎ ‎38‎ 售价（元/袋）‎ ‎60‎ ‎54‎ 根据上表提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；‎ ‎（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．‎ ‎22．（7.00分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．‎ ‎（1）转动转盘一次，求转出的数字是﹣2的概率；‎ ‎（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．‎ ‎23．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．‎ ‎（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；‎ ‎（2）连接MD，求证：MD=NB．‎ ‎24．（10.00分）已知抛物线L：y=x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；‎ ‎（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．‎ ‎25．（12.00分）问题提出 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　 　．‎ 问题探究 ‎（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．‎ 问题解决 ‎（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在 ‎、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）‎ ‎　‎ ‎2018年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）‎ ‎1．（3.00分）﹣的倒数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答．‎ ‎【解答】解：﹣的倒数是﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）‎ A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 ‎【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．‎ ‎【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，l3∥l4，‎ ‎∴∠1+∠2=180°，2=∠4，‎ ‎∵∠4=∠5，∠2=∠3，‎ ‎∴图中与∠1互补的角有：∠2，∠3，∠4，∠5共4个．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）如图，在矩形AOBC中，A（﹣2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，1）．‎ ‎∴OA=2、OB=1，‎ ‎∵四边形AOBC是矩形，‎ ‎∴AC=OB=1、BC=OA=2，‎ 则点C的坐标为（﹣2，1），‎ 将点C（﹣2，1）代入y=kx，得：1=﹣2k，‎ 解得：k=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2•a2=2a4 B．（﹣a2）3=﹣a6 C．3a2﹣6a2=3a2 D．（a﹣2）2=a2﹣4‎ ‎【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得．‎ ‎【解答】解：A、a2•a2=a4，此选项错误；‎ B、（﹣a2）3=﹣a6，此选项正确；‎ C、3a2﹣6a2=﹣3a2，此选项错误；‎ D、（a﹣2）2=a2﹣4a+4，此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD﹣DE即可求出AE的长度．‎ ‎【解答】解：∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC=∠ADB=90°．‎ 在Rt△ADC中，AC=8，∠C=45°，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∴AD=AC=4．‎ 在Rt△ADB中，AD=4，∠ABD=60°，‎ ‎∴BD=AD=．‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠EBD=30°．‎ 在Rt△EBD中，BD=，∠EBD=30°，‎ ‎∴DE=BD=，‎ ‎∴AE=AD﹣DE=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（3.00分）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）‎ ‎【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．‎ ‎【解答】解：∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，‎ ‎∴两直线相交于x轴上，‎ ‎∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，‎ ‎∴直线l1经过点（3，﹣2），l2经过点（0，﹣4），‎ 把（0，4）和（3，﹣2）代入直线l1经过的解析式y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故直线l1经过的解析式为：y=﹣2x+4，‎ 可得l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点，解得：x=2，‎ 即l1与l2的交点坐标为（2，0）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、CH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（　　）‎ A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF ‎【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：连接AC、BD交于O，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，‎ ‎∴EF=AC，EF∥AC，EH=BD，EH∥BD，‎ ‎∴四边形EFGH是矩形，‎ ‎∵EH=2EF，‎ ‎∴OB=2OA，‎ ‎∴AB==OA，‎ ‎∴AB=EF，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（　　）‎ A．15° B．35° C．25° D．45°‎ ‎【分析】根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC、∠BCA=65°，‎ ‎∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠ACD=∠A=50°，‎ 又∵∠ABD=∠ACD=50°，‎ ‎∴∠DBC=∠CBA﹣∠ABD=15°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，‎ 解得：a＞1，‎ 所以可得：﹣，，‎ 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）‎ ‎11．（3.00分）比较大小：3　＜　（填“＞”、“＜”或“=”）．‎ ‎【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．‎ ‎【解答】解：32=9，=10，‎ ‎∴3＜．‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为　72°　．‎ ‎【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，‎ ‎∴∠EAB=∠ABC==108°，‎ ‎∵BA=BC，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=36°，‎ 同理∠ABE=36°，‎ ‎∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°，‎ 故答案为：72°．‎ ‎　‎ ‎13．（3.00分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为　　．‎ ‎【分析】设反比例函数的表达式为y=，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为．‎ ‎【解答】解：设反比例函数的表达式为y=，‎ ‎∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），‎ ‎∴k=m2=﹣2m，‎ 解得m1=﹣2，m2=0（舍去），‎ ‎∴k=4，‎ ‎∴反比例函数的表达式为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（3.00分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是　=　．‎ ‎【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出==，==，再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC=S▱ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．‎ ‎【解答】解：∵==，==，‎ ‎∴S1=S△AOB，S2=S△BOC．‎ ‎∵点O是▱ABCD的对称中心，‎ ‎∴S△AOB=S△BOC=S▱ABCD，‎ ‎∴==．‎ 即S1与S2之间的等量关系是=．‎ 故答案为=．‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）‎ ‎15．（5.00分）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0‎ ‎【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．‎ ‎【解答】解：原式=+﹣1+1‎ ‎=3+﹣1+1‎ ‎=4．‎ ‎　‎ ‎16．（5.00分）化简：（﹣）÷．‎ ‎【分析】先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得．‎ ‎【解答】解：原式=[﹣]÷‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎17．（5.00分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎【分析】过D点作DP⊥AM，利用相似三角形的判定解答即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，点P即为所求：‎ ‎∵DP⊥AM，‎ ‎∴∠APD=∠ABM=90°，‎ ‎∵∠BAM+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠ADP，‎ ‎∴△DPA∽△ABM．‎ ‎　‎ ‎18．（5.00分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB=CD，求证：AG=DH．‎ ‎【分析】由AB∥CD、EC∥BF知四边形BFCE是平行四边形、∠A=∠D，从而得出∠‎ AEG=∠DFH、BE=CF，结合AB=CD知AE=DF，根据ASA可得△AEG≌△DFH，据此即可得证．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥CD、EC∥BF，‎ ‎∴四边形BFCE是平行四边形，∠A=∠D，‎ ‎∴∠BEC=∠BFC，BE=CF，‎ ‎∴∠AEG=∠DFH，‎ ‎∵AB=CD，‎ ‎∴AE=DF，‎ 在△AEG和△DFH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△AEG≌△DFH（ASA），‎ ‎∴AG=DH．‎ ‎　‎ ‎19．（7.00分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：‎ ‎“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 频数 各组总分/分 A ‎60＜x≤70‎ ‎38‎ ‎2581‎ B ‎70＜x≤80‎ ‎72‎ ‎5543‎ C ‎80＜x≤90‎ ‎60‎ ‎5100‎ D ‎90＜x≤100‎ m ‎2796‎ 依据以上统计信息解答下列问题：‎ ‎（1）求得m=　30　，n=　19%　；‎ ‎（2）这次测试成绩的中位数落在　B　组；‎ ‎（3）求本次全部测试成绩的平均数．‎ ‎【分析】（1）用B组人数除以其所占百分比求得总人数，再用总人数减去A、B、C组的人数可得m的值，用A组人数除以总人数可得n的值；‎ ‎（2）根据中位数的定义求解可得；‎ ‎（3）根据平均数的定义计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为72÷36%=200人，‎ ‎∴m=200﹣（38+72+60）=30，n=×100%=19%，‎ 故答案为：30、19%；‎ ‎（2）∵共有200个数据，其中第100、101个数据均落在B组，‎ ‎∴中位数落在B组，‎ 故答案为：B；‎ ‎（3）本次全部测试成绩的平均数为=80.1（分）．‎ ‎　‎ ‎20．（7.00分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．‎ 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．‎ ‎【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵BC∥DE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=17（m），‎ 经检验：AB=17是分式方程的解，‎ 答：河宽AB的长为17米．‎ ‎　‎ ‎21．（7.00分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：‎ 商品 红枣 小米 规格 ‎1kg/袋 ‎2kg/袋 成本（元/袋）‎ ‎40‎ ‎38‎ 售价（元/袋）‎ ‎60‎ ‎54‎ 根据上表提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；‎ ‎（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．‎ ‎【分析】（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣x袋．根据总利润=42000，构建方程即可；‎ ‎（2）构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣x袋．‎ 由题意：20x+×16=42000‎ 解得x=1500，‎ 答：这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋．‎ ‎（2）由题意：y=20x+×16=12x+16000，‎ ‎∵600≤x≤2000，‎ 当x=600时，y有最小值，最小值为23200元．‎ 答：这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元 ‎　‎ ‎22．（7.00分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．‎ ‎（1）转动转盘一次，求转出的数字是﹣2的概率；‎ ‎（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．‎ ‎【分析】（1）将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是﹣2的有2种结果，根据概率公式计算可得；‎ ‎（2）列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是﹣2的有2种结果，‎ 所以转出的数字是﹣2的概率为=；‎ ‎（2）列表如下：‎ ‎﹣2‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎﹣2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎﹣2‎ ‎﹣2‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎﹣2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎﹣2‎ ‎﹣2‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ 由表可知共有36种等可能结果，其中数字之积为正数的有20种结果，‎ 所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为=．‎ ‎　‎ ‎23．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．‎ ‎（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；‎ ‎（2）连接MD，求证：MD=NB．‎ ‎【分析】（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON∥DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；‎ ‎（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．‎ ‎【解答】证明：（1）连接ON，如图，‎ ‎∵CD为斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=AD=DB，‎ ‎∴∠1=∠B，‎ ‎∵OC=ON，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠2=∠B，‎ ‎∴ON∥DB，‎ ‎∵NE为切线，‎ ‎∴ON⊥NE，‎ ‎∴NE⊥AB；‎ ‎（2）连接DN，如图，‎ ‎∵AD为直径，‎ ‎∴∠CMD=∠CND=90°，‎ 而∠MCB=90°，‎ ‎∴四边形CMDN为矩形，‎ ‎∴DM=CN，‎ ‎∵DN⊥BC，∠1=∠B，‎ ‎∴CN=BN，‎ ‎∴MD=NB．‎ ‎　‎ ‎24．（10.00分）已知抛物线L：y=x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；‎ ‎（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）解方程x2+‎ x﹣6=0得A点和B点坐标，计算自变量为0的函数值得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积；‎ ‎（2）利用抛物线平移得到A′B′=AB=5，再利用△A'B′C′和△ABC的面积相等得到C′（0，﹣6），则设抛物线L′的解析式为y=x2+bx﹣6，所以m+n=﹣b，mn=﹣6，然后利用|n﹣m|=5得到b2﹣4×（﹣6）=25，于是解出b得到抛物线L′的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，x2+x﹣6=0，解得x1=﹣3，x2=2，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（2，0），‎ 当x=0时，y=x2+x﹣6=﹣6，‎ ‎∴C（0，﹣6），‎ ‎∴△ABC的面积=•AB•OC=×（2+3）×6=15；‎ ‎（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，‎ ‎∴A′B′=AB=5，‎ ‎∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，‎ ‎∴OC′=OC=6，即C′（0，﹣6），‎ 设抛物线L′的解析式为y=x2+bx﹣6，‎ 设A'（m，0）、B′（n，0），则m、n为方程x2+bx﹣6=0的两根，‎ ‎∴m+n=﹣b，mn=﹣6，‎ ‎∵|n﹣m|=5，‎ ‎∴（n﹣m）2=25，‎ ‎∴（m+n）2﹣4mn=25，‎ ‎∴b2﹣4×（﹣6）=25，解得b=7或﹣7，‎ ‎∴抛物线L′的解析式为y=x2+7x﹣6或y=x2﹣7x﹣6．‎ ‎　‎ ‎25．（12.00分）问题提出 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　5　．‎ 问题探究 ‎（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．‎ 问题解决 ‎（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）‎ ‎【分析】（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，易证△ABO是等边三角形，所以AB=OA=OB=5；‎ ‎（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连接OA，由垂径定理可知：AM=AB=12，再由勾股定理可知：OM=5，所以PM=OM+OP=18，‎ ‎（3）设连接AP，OP，分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以AM=AP=AN，设AP=r，‎ 易求得：MN=r，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，即当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，‎ ‎∴OA=OB=OC，‎ ‎∵∠A=120°，AB=AC=5，‎ ‎∴△ABO是等边三角形，‎ ‎∴AB=OA=OB=5，‎ ‎（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，‎ 连接OA，‎ 由垂径定理可知：AM=AB=12，‎ ‎∵OA=13，‎ ‎∴由勾股定理可知：OM=5，‎ ‎∴PM=OM+OP=18，‎ ‎（3）设连接AP，OP 分别以AB、AC所在直线为对称轴，‎ 作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，‎ 连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，‎ ‎∴AM=AP=AN，‎ ‎∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，‎ ‎∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°，‎ ‎∴∠MAN=120°‎ ‎∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，‎ 设AP=r，‎ 易求得：MN=r，‎ ‎∵PE=ME，PF=FN，‎ ‎∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，‎ ‎∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值，‎ ‎∵AP+OP≥OA，‎ ‎∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，‎ 设AB的中点为Q，‎ ‎∴AQ=AC=3，‎ ‎∵∠BAC=60°，‎ ‎∴AQ=QC=AC=BQ=3，‎ ‎∴∠ABC=∠QCB=30°，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴由勾股定理可知：BC=3，‎ ‎∵∠BOC=60°，OB=OC=3，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=60°，‎ ‎∴∠ABO=90°‎ ‎∴由勾股定理可知：OA=3，‎ ‎∵OP=OB=3，‎ ‎∴AP=r=OA﹣OP=3﹣3，‎ ‎∴PE+EF+PF=MN=r=3﹣9‎ ‎　‎