2020武汉市中考数学模拟卷【解析版】 10页

2020 学年武汉市数学中考模拟卷【解析版】 1. 计算| 2020 | 的结果是 ( ) A． 2020 B．2020 C． 1 2020  D． 1 2020 【解答】 B ． 2. 若式子 1 3x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【解答】 C ． 3. 下列事件中，是随机事件的是 ( ) A．任意一个五边形的外角和等于 540 B．通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上 C．随意翻一本 120 页的书，翻到的页码是 150 D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 【解答】 D ． 4. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】 A ． 5. 如图所示为某一物体的主视图，下面是这个物体的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】 D ． 6. 匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 之间的函数关系如图所示，则 该容器可能是 ( ) A． B． C． D． 【解答】 D 7. 从 1、2、3、4 这四个数中任取两个不同的数，则这两个数之和小于 6 的概率为 ( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 5 6 【解答】 C ． 8. 若 1 2x  ， 1 3x   ，则 x 的取值范围 ( ) A． 1 1 3 2x   B． 1 03 x   或 1 2x  C． 1 3x   或 1 2x  D．以上答案都不对 【解答】 C ． 9. 如图，在 ABC 中， 90ABC   ， 8AB  ，点 P 是 AB 边上的一个动点，以 BP 为直径的圆交 CP 于 点 Q ，若线段 AQ 长度的最小值是 4，则 ABC 的面积为 ( ) A．32 B．36 C．40 D．48 【解答】D 【解析】如图，取 BC 的中点T ，连接 AT ，QT ． PB 是 O 的直径， 90PQB CQB     ， 1 2QT BC   定值， AT 是定值， AQ AT TQ … ， 当 A ， Q ，T 共线时， AQ 的值最小，设 BT TQ x  ， 在 Rt ABT 中，则有 2 2 2(4 ) 8x x   ，解得 6x  ， 2 12BC x   ， 1 1 8 12 482 2ABCS AB BC       ， 10. 有 n 个人报名参加甲、 乙、 丙、 丁四项体育比赛活动， 规定每人至少参加 1 项比赛， 至多参 加 2 项比赛， 但乙、 丙两项比赛不能同时兼报， 若在所有的报名方式中， 必存在一种方式至少 有 20 个人报名， 则 n 的最小值等于 ( ) A ． 171 B ． 172 C ． 180 D ． 181 【解答】B 11. 19 3  ． 【解答】 8 3 ． 12. 某 10 人数学小组的一次测试中，有 4 人的成绩都是 80 分，其他 6 人的成绩都是 90 分，则这个小 组成绩的平均数等于 分． 【解答】86． 13. 计算： 2 6 1 9 3a a    ． 【解答】 1 3a   14. 在 ABCD 中， AD BD ， BE 是 AD 边上的高，若 24EBD   ，则 C 的度数是 ． 【解答】 57 或 33 ． 15. 已知二次函数 21 2y x bx c   经过点 3(0, )2 ，当 0≤x≤1，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时， b 的值为 ． 【解答】1 或-5 【解析】二次函数 21 2y x bx c   经过点 3(0, )2 ， 3 2c  ，抛物线解析式为 21 3 2 2y x bx   ， 抛物线对称轴为 x b  ， 只有当 0x  、 1x  或 x b  时，抛物线上的点才有可能离 x 轴最远， 当 0x  时， 3 2y  ，当 1x  时， 1 3 22 2y b b     ，当 x b  时， 2 21 3 1 3( ) ( )2 2 2 2y b b b b        ， ①当| 2 | 3b  时， 1b  或 5b   ，且顶点不在范围内，满足条件； ②当 21 3| | 32 2b   时， 3b   ，对称轴为直线 3x   ，不在范围内，故不符合题意， 综上可知 b 的值为 1 或 5 ． 16. 如图，等腰 Rt ABC 与等腰 Rt CDE ，AC BC ，CD DE ， 2 12AC CD  ，DH AE ，垂足为 H ， 直线 HD 交 BE 于点 O ．将 CDE 绕点 C 顺时针旋转，则 OA 的长的最大值是 ． 【解答】 6 5 3 2 【解析】解：如图，延长 ED 到 N ，使得 DN DE ，连接 CN ，BN ，延长 BN 交 AE 于 M ．取 BC 的 中点 F ，连接 AF ， OF ． CD EN ， DN DE ， CN CE  ， DC DE ， 90CDE   ， 45DCE DCN     ， 90ACB NCE     ， BCN ACE   ， CB CA ，CN CE ， ( )BCN ACE SAS   ， BNC AEC   ， 180BNC CNM     ， 180CNM AEC     ， 180ECN NME     ， 90ECN   ， 90NME   ， DH AE ， 90NME DHE    ， / /OD BN ， DN DE ， OB OE  ， BF CF ， 1 2OF EC  ， 6CD DE  ， 90CDE   ， 6 2EC  ， 3 2OF  ，在 Rt ACF 中， 12AC  ， 6CF  ， 2 2 6 5AF AC CF    OA≤AF+OF， OA 的最大值为 6 5 3 2 ． 17. 计算： 3 2 2 4(2 ) 4a a a a  【解答】 解：原式 4 4 44 4a a a   4a ． 18. 如图， / /AB CD ， ADC ABC   ．求证： E F   ． 【解答】 证明： / /AB CD ， ABC DCF   ． 又 ADC ABC   ADC DCF   ． / /DE BF ． E F   ． 19. 某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分 学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据 图中信息回答问题： （1）求 m ， n 的值． （2）补全条形统计图． （3）该校共有 1200 名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数． 【解答】 解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选 A 的有 12 人，占 20% ， 故总人数有12 20% 60  人， 15 60 100% 25%m     9 60 100% 15%n     ； （2）选 D 的有 60 12 15 9 6 18     人，故条形统计图补充为： （3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200 25% 300  人． 20. 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系 ( 1,7)A  ， ( 6,3)B  ， ( 2,3)C  ． （1）将 ABC 绕格点 (1,1)P 顺时针旋转90 ，得到△ A B C  ，画出△ A B C  ，并写出下列各点坐标： (A ， ) ， (B ， ) ， (C ， ) ； （2）找格点 M ，连 CM ，使 CM AB ，则点 M 的坐标为 ( ， ) ； （3）找格点 N ，连 BN ，使 BN AC ，则点 N 的坐标为 ( ， ) ． 【解答】 解：（1）如图所示，△ A B C  即为所求， (7,3)A ， (3,8)B ， (3,4)C ； 故答案为：7，3，3，8，3，4； （2）如图所示， ( 6,8)M  ；故答案为： 6 ，8； （3）如图所示， ( 2,2)N  ．故答案为： 2 ，2． 21. 如图 1， AB 、CD 是圆 O 的两条弦，交点为 P ．连接 AD 、 BC ．OM AD ，ON BC ，垂足分别 为 M 、 N ．连接 PM 、 PN ． （1）求证： ADP CBP ∽ ； （2）当 AB CD 时，如图 2， 8AD  ， 6BC  ， 120MON   ，求四边形 PMON 的面积． 【解答】 （1）证明：因为同弧所对的圆周角相等，所以 A C   ， D B   ，所以 ADP CBP ∽ ． （2）解：如图 2，连接 CO 并延长交圆 O 于点 Q ，连接 BD ， BQ ． 因为 AB CD ， 1 2AM AD ， 1 2CN BC ， 所以 1 2PM AD ， 1 2PN BC ． 由三角形中位线性质得， 1 2ON BQ ． 因为 CQ 为圆 O 直径， 所以 90QBC   ，则 90Q QCB     ， 由 90DPB   ，得 90PDB PBD     ，而 PDB Q   ， 所以 QCB PBD   ，所以 BQ AD ， 所以 PM ON ．同理可得， PN OM ． 所以四边形 MONP 为平行四边形． 31 1120 120 8 6 6 34 4 2PMONS PM PNsin AD BCsin           ． 22. 某网点销售一种儿童玩具，每件进价 30 元，规定单件销售利润不低于 10 元，且不高于 31 元，试 销售期间发现，当销售单价定为 40 元时，每天可售出 500 件，销售单价每上涨 1 元，每天销售量 减少 10 件，该网点决定提价销售，设销售单价为 x 元，每天销售量为 y 件． （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利 8960 元？ （3）网店决定每销售 1 件玩具，就捐赠 a 元（2＜a≤7）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大 利润为 8120 元，求 a 的值． 【解答】 解：（1）由题意得， 500 10( 40) 10 900y x x      ； 即 y 与 x 之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900（40≤x≤61）； （2）根据题意得， ( 10 900)( 30) 8960x x    ， 解得： 1 63x  ， 2 57x  ， ∵40≤x≤61， 57x  ， 答：当销售单价是 57 元时，网店每天获利 8960 元； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W ，根据题意得， ( 10 900)( 30 )W x x a     210 (1200 10 ) 900(30 )x a x a      2 2120 510( ) ( 60)2 2 ax a     ∵对称轴 x＝60+ 2 1 a，40≤x≤61，2＜a≤7，∴61＜ 2 1 a+60≤63 2 1 ， 61x  时， 每天扣除捐赠后可获得最大利润为 8120 元， 2 2120 510( ) ( 60)2 2 ax a    取得最大值 8120 (61 30 )(900 10 61) 8120a      ，解得 3a  答： a 的值为 3． 23. （1）如图 1， AH CG ， EG CG ，点 D 在CG 上， AD CE 于点 F ，求证： AD AH CE CG  ； （2）在 ABC 中，记 tan B m ，点 D 在直线 BC 上，点 E 在边 AB 上； ①如图 2， 2m  ，点 D 在线段 BC 上，且 AD CE 于点 F ，若 2AD CE ，求 CD BE 的值； ②如图 3， 1m  ，点 D 在线段 BC 的延长线上，连接 DE 交 AC 于 M ， 90CMD   ，DE AC ， 3 2CD  ，求 BE 的长． 【解答】 （1）证明：如图 1 中， AH CG ， EG CG ， AD CE ， 90AHD G AFC       ， 90A ADC C CDF         ， A C   ， ADH CEG ∽ ，  AD AH CE CG  （2）①解：如图 2，过点 A 作 AM BC 于点 M ，过点 E 作 EH BC 于点 H ， tan 2 EH AMB m BH BM     ， 设 2EH x ， BH x ， 2AM BM 2 2 5BE BH EH x    ， AF EC ， AM CD ， 90ADC DCE     ， 90ADC DAM    ， DAM DCE   ，且 90AMD EHC     EHC DMA ∽ ，且 2AD EC ，  2AD DM AM EC EH HC    ， 2 4DM EH x   ， 2AM HC ， 2AM HC ， 2AM BM ， HC BM  ， HC HM BM HM    BH MC x   5DC DM MC x     5 5 5 CD x BE x   ， ②解：如图 3，作 DK AB 于 K ，CH AB 于 H ， AJ BD 于 J ， EQ BD 于 J ， 设 AC 交 DK 于 O ． DK AB ， 90CMD   ， 90AKO OMD     ， AOK DOM   ， KAO MDO   ， CH AB ， 90AHC DKE     ， AC DE ， ( )ACH DEK AAS   ， AH DK  ， CH EK ， tan 1B  ， 45B   ， 90BKD   ， BK DK  ， DK AH BK   ， AK BH CH EK    ， DK 垂直平分线段 AE ， DE AD  ， DE AC ， AC AD  ， AJ CD ， 3 2 2CJ JD   ， CAJ EDQ   ， 90AJC EQD     ， ED AC ， ( )AJC DQE AAS   ， 3 2 2EQ CJ   ， BEQ 是等腰直角三角形， 2 3BE EQ   ． 24. 如图，抛物线 2 11 24y ax ax a   交 x 轴于 C ，D 两点，交 y 轴于点 44(0, )9B ，过抛物线的顶点 A 作 x 轴的垂线 AE ，垂足为点 E ，作直线 BE ． （1）求直线 BE 的解析式； （2）点 H 为第一象限内直线 AE 上的一点，连接 CH ，取 CH 的中点 K ，作射线 DK 交抛物线于点 P ， 设线段 EH 的长为 m ，点 P 的横坐标为 n ，求 n 与 m 之间的函数关系式．（不要求写出自变量 m 的取 值范围）； （3）在（2）的条件下，在线段 BE 上有一点 Q ，连接 QH ，QC ，线段 QH 交线段 PD 于点 F ，若 2HFD FDO   ， 190 2HQC FDO     ，求 n 的值． 【解答】 （1）解：抛物线 2 11 24y ax ax a   ， 对称轴是： 11 11 2 2 ax a    ， 11( 2E ， 0) ， 44(0, )9B ，设直线 BE 的解析式为： y kx b  ， 则 11 02 44 9 k b b      ，解得： 8 9 44 9 k b      ， 直线 BE 的解析式为： 8 44 9 9y x   ； （2）解：如图 1，过 K 作 KN x 轴于 N ，过 P 作 PM x 轴于 M ， 抛物线 2 11 24y ax ax a   交 y 轴于点 44(0, )9B ， 4424 9a  ， 11 54a  ， 211 121 44 11 ( 3)( 8)54 54 9 54y x x x x       ， 当 0y  时， 11 ( 3)( 8) 054 x x   ，解得： 3x  或 8， (3,0)C ， (8,0)D ， 3OC  ， 8OD  ， 5CD  ， 5 2CE DE  ， P 点在抛物线上， [P n ， 11 ( 3)( 8)]54 n n  ， 11 ( 3)( 8)54PM n n    ， 8DM n  ， 11 ( 3)( 8) 1154tan (3 )8 54 n nPMPDM nDM n         ， AE x 轴， 90KNC HEC     ， / /KN EH ， 1CN CK EN KH   ， 1 5 2 4CN EN CE    ， 1 1 2 2KN HE m   ， 15 4ND  ， 在 KDN 中， tan KDN 中， 22tan 15 15 4 m KN mKDN DN     ， 11 2(3 )54 15 mn  ， 36 355n m   ； （3）解：如图 2，延长 HF 交 x 轴于T ， 2HFD FDO   ， HFD FDO FTO     ， FDO FTO   ， tan tanFDO FTO    ， 在 Rt HTE 中， tan EHFTO ET   ， 2 15 m m ET  ， 15 2ET  ， 5CT  ， 令 2FDO FTO     ， 190 902HQC FDO         ， 180 90TQC HQC         ， 180 90TCQ HTC TQC           ， TCQ TQC   ， 5TQ CT   ， 点Q 在直线 8 44 9 9y x   上，可设 Q 的坐标为 8 44( , )9 9t t  ， 过 Q 作QS x 轴于 S ，则 8 44 9 9QS t   ， 2TS t  ， 在 Rt TQS 中， 2 2 2TS QS TQ  ， 2 2 28 44(2 ) ( ) 59 9t t      ，解得 1 47 29t  ， 2 1t  ； ①当 47 29t  时， 100 29QS  ， 105 29TS  ， 在 Rt QTH 中， 100 2029tan 105 21 29 QTS   ，  2 20 15 21 m  ， 50 7m  ， 36 50 129355 7 77n       ， ②当 1t  时， 4QS  ， 3TS  ， 在 Rt QTH 中， 4tan 3 QSQTS TS    ，  2 4 15 3 m  ， 10m  ， 36 3910 355 11n       ．