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- 2021-11-06 发布
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2.3 垂径定理
知|识|目|标
1.通过圆的对称性折叠操作,理解垂径定理.
2.通过对垂径定理的理解,采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题.
3.在掌握垂径定理的基础上,能应用垂径定理解决实际生活中的问题.
目标一 理解垂径定理
例1 教材补充例题如图2-3-1所示的图形中,哪些图形能得到AE=BE的结论,哪些不能,为什么?
① ② ③ ④
图2-3-1
【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”:
(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段),其本质是“过圆心”;
(2)垂径定理中的弦为直径时,结论仍然成立;
(3)平分弦所对的两条弧,是指平分弦所对的劣弧和优弧,不要漏掉优弧.
目标二 能运用垂径定理进行计算或推理证明
例2 教材补充例题如图2-3-2,⊙O的半径为17 cm,弦AB∥CD,AB=30 cm,CD=16 cm,圆心O位于AB,CD的上方,求AB和CD之间的距离.
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图2-3-2
【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线:
(1)若已知圆心,则作垂直于弦的直径;
(2)若已知弦、弧的中点,则作弦、弧中点的连线或连半径等.
目标三 能利用垂径定理解决实际问题
例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图2-3-3,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约为10米,则桥弧AB所在圆的半径R=________米.
图2-3-3
图2-3-4
【归纳总结】
1.垂径定理基本图形的四变量、两关系:
(1)四变量:如图2-3-4,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.
(2)两关系:①+d2=r2;②h+d=r.
2.垂径定理在应用中常作的辅助线:
作垂线,连半径,构造直角三角形.
3.垂径定理在应用中常用的技巧:
设未知数,根据勾股定理列方程.
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知识点 垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条____,并且平分________________.
[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
已知CD是⊙O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=8,求BE的长.
解:如图2-3-5,连接OC,则OC=5.
图2-3-5
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
CD=8,
∴CE=CD=4.
在Rt△OCE中,
OE==3,
∴BE=OB+OE=5+3=8.
以上解答完整吗?若不完整,请进行补充.
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教师详解详析
【目标突破】
例1 解:①②能,③④不能.理由略.
例2 [解析] 如图,过圆心O作弦AB的垂线,易证它也与弦CD垂直,由垂径定理知AE=BE,CF=DF,根据勾股定理可求OE,OF的长,进而可求出AB和CD之间的距离.
解:如图,过点O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,连接OA,OC.∵AB∥CD,∴OF⊥CD.
在Rt△OAE中,
∵OA=17 cm,AE=BE=AB=15 cm,
∴OE==8(cm).
同理可求OF==15(cm).
∵圆心O位于AB,CD的上方,
∴EF=OF-OE=15-8=7(cm).
即AB和CD之间的距离是7 cm.
例3 [答案] 25
[解析] 根据垂径定理,得AD=AB=20米.在Rt△AOD中,根据勾股定理,得R2=202+(R-10)2,解得R=25(米).
【总结反思】
[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧
[反思] 不完整.
补充:若垂足E在线段OA上,则BE=OB+OE=5+3=8;
若垂足E在线段OB上,
则BE=OB-OE=5-3=2.
综上所述,BE的长为8或2.
其长度保持不变.
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