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- 2021-11-06 发布
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第
24
章
24.2.2直线与圆(3)
切线的判定和性质
下雨天转动雨伞时飞出的水,以及在砂轮上打磨工件飞出的火星,均沿着圆的切线的方向飞出.
1 .
当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向?
2.
砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向?
生活中的数学
探究:
在⊙
O
中,
作任一条半径
OP
,
过点
P
作
PQ⊥OP
PQ
是⊙
O
的切线
已知⊙
O
,过点
P
你能作出它的一条切线吗?你是怎样判断这条直线是⊙
O
的切线的?
O
P
Q
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件:
(1)
经过半径的外端;
(2)
垂直于过该点半径;
●
O
┐
A
l
∵
l
⊥OA
,且
l
经过⊙
O
上 的
A
点
∴直线
l
是⊙
O
的切线
符号语言表达
圆的切线判定定理:
×
×
×
火眼金睛辨一辨
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
●
O
┐
A
l
1.
过半径的外端的直线是圆的切线( )
2.
与半径垂直的直线是圆的切线( )
3.
过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( )
请你总结一下:圆的切线的判定有几种方法?
精彩源于发现
1
、如何判定一条直线是已知圆的切线?
(1)
与圆
只有一个公共点
的直线是圆的切线;
(2)
到圆心的
距离等于半径
的直线是圆的切线;
(3)
过半径外端点且和半径垂直的
直线是圆的切线;
(d=r)
知识清单:
1
、矩形的两边长分别为
2.5
和
5
,若以较长一边为直径作半圆,则矩形的各边与半圆相切的线段最多有( )
A
、
0
条
B
、
1
条
C
、
2
条
D
、
3
条
D
2
、已知如图△
ABC
内接于
⊙
O
,过点
A
作直线
EF
,
AB
为直径
,
还需添加的条件是
____________.
使得
EF
是
⊙
O
的切线。
F
E
C
O
B
A
O
B
A
C
分析:由于
AB
过⊙
O
上的点
C
,所以连接
OC
,只要证明
______________
即可。
证明:连结
OC(
如图
)
。
∵ 在△
OAB
中
OA
=
OB,CA
=
CB,
∴ AB⊥OC
。
∵
直线
AB
经过⊙
O
上的点
C
∴ AB
是⊙
O
的切线。
已知:直线
AB
经过⊙
O
上的点
C
,且
OA=OB,CA=CB
求证:直线
AB
是⊙
O
的切线。
AB⊥OC
例题讲解(
1
)
已知:
O
为∠
BAC
平分线上一点,
OD⊥AB
于
D,
以
O
为圆心,
OD
为半径作⊙
O
。
求证:⊙
O
与
AC
相切。
O
A
B
C
E
D
证明:过
O
作
OE⊥AC
,垂足为
E
。
∵
AO
平分∠
BAC
,
OD⊥AB
∴ OE
=
OD
∵ OD
是⊙
O
的半径
∴
OE
是⊙
O
的半径
∴
AC
是⊙
O
的切线。
例题讲解(
2
)
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
闯关练习
1
与闯关练习
2
的证法有何不同
?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为:连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为:作垂直,证半径。
●
O
P
1
、已知:
P
为⊙
O
外一点,以
OP
为直径作圆交⊙
O
于
A
、
B
两点,连接
PA
、
PB
那么
PA
、
PB
是⊙
O
的切线吗?
A
B
证明:连结
OP
。
∵
AB
为直径
∴
OB=OA
,
BP=PC
,
∴
OP∥AC
。
又∵
PE⊥AC
,
∴
PE⊥OP
。
∴
PE
为⊙
0
的切线。
如图
,△ABC
中,以
AB
为直径的⊙
O
交边
BC
于
P
,
BP=PC, PE⊥AC
于
E
。
求证
:PE
是⊙
O
的切线。
O
A
B
C
E
P
谈谈今天的收获
1.
判定切线的方法有哪些?
直线
l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l
是圆的切线
2.
证明圆的切线常用辅助线作法:
⑴
连半径,证垂直
⑵
作垂直,证半径
l
是圆的切线
l
是圆的切线
1.
定义法
:
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
.
2.
数量法
(
d=r
):
和圆心距离等于半径的直线是圆的切线
.
3.
判定定理
:
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线
.
即
:
若直线与圆的一个公共点已指明
,
则连接这点和圆心
,
说明直线垂直于经过这点的半径
;
若直线与圆的公共点未指明
,
则过圆心作直线的垂线段
,
然后说明这条线段的长等于圆的半径.
证明直线与圆相切有如下三种途径
:
.
O
A
l
思考
将上页思考中的问题反过来
,
如果
l
是⊙
O
的切线
,
切点为
A
,
那么半径
OA
与直线
l
是不是一定垂直呢
?
一定垂直
切线的性质定理
:
圆的切线垂直于过切点的半径
1.
切线和圆只有一个公共点
.
2.
切线和圆心的距离等于半径
.
3.
切线垂直于过切点的半径
.
4.
经过圆心垂直于切线的直线必过切点
.
5.
经过切点垂直于切线的直线必过圆心
.
切线的性质3、4、5可归纳为
:
已知直线满足
a.
过圆心
,b.
过切点
,c.
垂直于切线中任意两个
,
便得到第三个结论
.
切线的性质:
思考:
求圆心
A
到
x
轴、
y
轴的距离各是多少
?
y
4:
已知⊙
A
的直径为
6,
点
A
的坐标为
(-3,-4),
则
x
轴与⊙
A
的位置关系是
____________,
y
轴与⊙
A
的位置关系是
_______________.
A
.
(-3,-4)
O
x
B
C
4
3
相离
相切
1.
如图
,AB
是⊙
O
的直径
,
点
D
在
AB
的延长线上
,BD=OB,
点
C
在圆上
,∠CAB=30°.
求证
:DC
是⊙
O
的切线
.
.
A
B
D
C
O
方法引导
当已知直线与圆有公共点
,
要证明直线与圆相切时
,
可先连接圆心与公共点
,
再证明连线垂直于直线
,
这是证明切线的一种方法
.
练习
3.
在
Rt△ABC
中
,∠B=90°,∠A
的平分线交
BC
于
D,
以
D
为圆心
,DB
长为半径作⊙
D.
试说明
:AC
是⊙
D
的切线
.
F
E