• 2.09 MB
  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:切线的判定和性质

  • 20页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
例 如图,△ABC内接于大⊙O,∠B=∠C,小⊙O与AB相切于点D.求证:AC是小圆的切线.‎ ‎ 分析 AC与小⊙O的公共点没有确定,故应过O作AC的垂线段OE.再证明OE等于小圆半径,用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线.‎ ‎ 证明 连结OD,作OE⊥AC于E.‎ ‎ ∵∠B=∠C,∴AB=AC.‎ ‎ 又AB与⊙O小相切于D,∴OD⊥AB.‎ ‎ ∵OE⊥AC,∴OD=OE.‎ ‎ 即小⊙O的圆心O到AC的距离等于半径,所以AC是小圆的切线.‎ ‎ 说明:(1)本题为证明切线的两个常见方法(①连半径证垂直;②作垂直证半径.)之一;(2)本题为基本题型,但应用到切线的性质和判定;(3)本题为教材110页例4的变形题.‎ 例 (大连市,l 999)阅读:“如图△ABC内接于⊙O,∠CAE=∠B.‎ 求证:AE与⊙O相切于点A.‎ ‎ 证明:作直径AF,连结FC,则∠ACF=90°.‎ ‎ ∴ ∠AFC+∠CAF=90°. ∵∠B=∠AFC.‎ ‎ ∴ ∠B+∠CAF=90°. 又∵ ∠CAE=∠B,‎ ‎ ∴ ∠CAE+∠CAF=90°. 即AE与⊙O相切于点A.‎ 问题:通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用).‎ 问题:通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用).‎ 如图,已知△ABC 内接于⊙O.P是CB延长线上一点,连结AP.且PA2=PB·PC.‎ 求证:PA是⊙O的切线.‎ ‎ 证明:∵PA2=PB·PC,∴.‎ ‎ 又∵ ∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA.‎ ‎ ∠PAB=∠C.‎ ‎ 由阅读题的结论可知,PA是⊙O的切线. ‎ 说明:(1)此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题;(2)应用“连半径证垂直”证明切线.‎ ‎ ‎ 例 (西宁,1999)已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为直径的⊙O交斜边AB于E,OD∥AB.‎ ‎ 求证:(1)ED是⊙O的切线;(2)2 DE2=BE·OD ‎ 证明:(1)连结OE、CE,则CE⊥AB.‎ 在Rt△ABC中,∵OA=OC,OD∥AB,‎ ‎∴D为BC的中点,∴DE=CD,‎ 又∵OC=OE,OD=OD,‎ ‎∴△COD≌△EOD,∴∠OED=∠OCD=90°,‎ ‎∴ED是⊙O的切线.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,CE⊥AB,∴△CBE∽△ABC,∴CB2=BE·AB,‎ ‎∵OD为△ABC的中位线,∴AB=2OD,BC=2ED,∴(2ED)2=BE·2OD 即2 DE2=BE·OD 说明:此题为综合题,主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识.‎ 典型例题四 例 (北京市西城区试题,2002)已知:AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,设切点为C.‎ ‎(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时,连结AC,作的平分线,交AC于点D,请你测量出的度数;‎ ‎(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时,连结AC,请你分别在这两个图中用尺规作的平分线(不写做法,保留作图痕迹),设此角平分线交AC于点D,然后在这两个图中分别测量出的度数;‎ 猜想:的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对你的猜想加以证明.‎ 解:(1)测量结果:.‎ ‎(2)作图略.‎ 图2中的测量结果:.‎ 图3中的测量结果:.‎ 猜想:为确定的值,的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.‎ 证法一:连结BC.‎ ‎∵ AB是⊙O的直径,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ PC切⊙O于点C,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ PD平分,‎ ‎∴ 猜想正确.‎ 证法二:连结OC.‎ ‎∵ PC切⊙O于点C,‎ ‎∵ PD平分,‎ ‎∴ 猜想正确.‎ 典型例题五 例 (北京市崇文区,2002)已知:≌,,对应边AC与重合,如图(1).若将沿CB边按箭头所示方向平移,如图(2),使边AB、相交于点D,边交AB于点E,边AC交于点F,以为直径在五边形内作半圆O,设的长为x,半圆O的面积为y.‎ ‎1.求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;‎ ‎2.连结EF,求EF与半圆O相切时的x的值.‎ 解:1.∵ ≌,,‎ ‎.‎ 以为直径在五边形内作半圆,依题意,在运动过程中、AC与⊙O始终相切,故只需考虑AB与⊙O相切的特殊位置,以确定x的最小值.‎ 当沿CB边按箭头所示方向平移时,‎ ‎∵ ≌, ∴ ,‎ ‎∴ 是等腰三角形.‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ O是的中点.‎ ‎∴ O到BD、的距离相等.‎ ‎∴ AB与⊙O相切时,必与⊙O相切.‎ 设切点分别为G、H,连结OG,‎ 则有 ‎∴ ∽.‎ 解之得 当或时,不合题意,‎ ‎∴ 自变量x的取值范围是.‎ ‎2.在和中,‎ ‎∴ ≌.‎ ‎∴ 四边形为矩形.‎ 当EF与⊙O相切时,.‎ 解之得 典型例题六 例 已知如图,在中,,以为直径的⊙交于,过作⊙的切线交于,求证:.‎ ‎ 分析:因为是⊙的切线,是切点,所以连,得,因此本题的关键在于证明.‎ ‎ 证明 连结、‎ ‎ 为⊙的直径,,‎ ‎ .是中点,是的中点,‎ ‎ 为的中位线,‎ ‎ ‎ ‎ 是切线,为切点,是⊙的半径 ‎ ‎ ‎ ‎ 说明:连结构成了“切线的性质定理”的基本图形,连结构成了圆周角推论的基本图形.‎ 典型例题七 例 如图,已知⊙中,为直径,过点作⊙的切线,连线,若交⊙于.求证:是⊙的切线.‎ 分析:要证是⊙的切线,只须证垂直于过切点的半径,由此应想到连结 ‎.‎ 证明 连结 ‎,‎ 及 ‎,‎ 为公共边,‎ ‎≌.即 是切线,是直径,‎ ‎,,‎ 是⊙的切线.‎ 说明:辅助线构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质定理,后用判定定理.‎ 典型例题八 例 如图,以的一条直角边为直径作圆斜边于,是的中点,求证:是圆的切线.‎ ‎ ‎ 分析:连,因为过半径的外端,要证是切线,只需证.‎ 思路1 连,证≌,则有 思路2 连,则,证 证明1 如图,连、,‎ ‎,‎ 又,‎ 即,,‎ 所以≌‎ 有 即,‎ 过半径的外端,‎ 所以是⊙的切线.‎ 证明2 如图,连结、‎ 是⊙直径 过半径的外端 所以是⊙的切线 说明:这里的辅助线,仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.‎ 典型例题九 例  如图,已知弦AB等于半径,连结OB并延长使 .‎ ‎(1)求证AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)请你在⊙O上选取一点D,使得 (自己完成作图,并给出证明过程)‎ 证明:(1) ‎ 即 ‎ 是⊙O 的切线.‎ ‎(2)①作BO延长线交⊙O 于D,连接AD,‎ ‎,所以D 点为所求.‎ ‎②如图,在圆上取一点 使得 ,连结 ,‎ 所以 点也为所求.‎ 说明:证明一条直线是圆的切线,通常选择:(1‎ ‎)到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;(2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时,应灵活运用切线的性质,通常连结切点和圆心.‎ 题目的第(2)问是分类讨论问题,当题目中的图形未给定时,作图时,应将所有符合条件的图形作出,再分别解答.‎ 典型例题十 例 已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且.求证:直线AB是⊙O的切线.‎ 证明 连结OC.∵,‎ ‎∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.‎ ‎∴∴AB是⊙O的切线.‎ 说明:本题考查切线的判定,解题关键是作出辅助线,易错点是把求证的结论“AB是⊙O的切线”.作为条件使用,造成推理过程中的逻辑混乱.‎ 典型例题十一 例 如图,AB是⊙O直径,弦,连AD,并延长交⊙O过点B的切线于E,作于G.求证:‎ 证明 连结BC交AE于F点.‎ 为⊙O切线,‎ 为直径,∴‎ 说明: 本题主要考查切线的性质,解题关键是作辅助线.‎ 典型例题十二 例 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,C为切点,AD交⊙O于点E,平分.(1)求证:.(2)求AC.‎ 证明 (1)连OC.切⊙O于C,∴‎ 解 (2)连BC.‎ 是⊙O的直径,∴.‎ ‎∽‎ ‎∴即 说明:在题目条件中若有切线,常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.‎ 典型例题十三 例 (北京朝阳区试题,2002)已知:在内角不确定的中,,点、分别在、上,,平行移动,如果梯形有内切圆,‎ 当时,;‎ 当时,(提示:);‎ 当,. ‎ ‎(1)请你根据以上所反映的规律,填空:当时,的值等于_________;‎ ‎(2)当时(是大于1的自然数),请用含的代数式表示___________,并画出图形、写出已知、求证和证明过程。‎ 解 :(1) ‎ ‎ (2) ‎ ‎ 图形、已知、求证和证明过程如下:‎ ‎ 已知:在中,,。 ‎ ‎ ⊙内切于梯形,点、、、为切点,‎ ‎ 是(是大于1的自然数) .‎ ‎ 求证:‎ ‎ 证法一:‎ ‎ 连结并延长与相交. ‎ ‎ ∵⊙内切于梯形,、是⊙的切线,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵,,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 又、为切点, ‎ ‎ ∴,. ‎ ‎ ∴于,于. ‎ ‎ ∵,∴. ‎ ‎ ∴∽. ‎ ‎∴. ‎ 设,则. ‎ 作交于,则. ‎ ‎∵,. ‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由勾股定理得,‎ ‎∴. ‎ 证法二:‎ 接证法一中:∵, ∴. ‎ ‎∴. ‎ 设,则,. ‎ 连结,∵为切点,∴. ‎ ‎∴,. ‎ 在中,由勾股定理得. ‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 典型例题十四 例 如图,已知⊙的半径、,且,点在的延长线上,连结交⊙于,过作⊙的切线交于,求证:.‎ 分析:要证,可证它们所对的角等,即证,又,故可利用同角(或等角)的余角相等证题.‎ 证明 连结,则 ‎,‎ 又 ‎,.‎ ‎,‎ ‎ ‎ 说明:在证题时,有切线可连结切点的半径,可利用切线性质定理得到垂直关系.‎ 典型例题十五 例 如图,已知,点在上,为⊙的直径,⊙切于,若,,求⊙的半径.‎ ‎ 解 连结,‎ ‎ 切⊙于,‎ ‎ ,则,‎ ‎ 在中,,,‎ ‎ ‎ 又为公共角,∽‎ 说明:连结圆心和切点是常用辅助线.本例连结,就得到,为解题创造了条件.‎ 选择题 ‎1.下列说法正确的是( )‎ ‎ (A)若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线 ‎ (B)经过半径的外端的直线是圆的切线 ‎ (C)和半径垂直的直线是圆的切线 ‎ (D)经过圆心且垂直于切线的直线,必经过切点 ‎2. 若CD是⊙O的切线,要判定AB⊥CD,还需要添加的条件是( )‎ ‎ (A)AB经过圆心O (B)AB是直径 ‎ (C)AB是直径,B是切点 (D)AB是直线,B是切点 ‎3.下列直线,是圆的切线是( )‎ ‎ (A)经过半径外端的直线 (B)垂直于半径的直线 ‎ (C)与圆有一个公共点的直线 (D)圆心到它的距离等于这个圆的半径长的直线 ‎4.下列直线中,一定是圆的切线的是(  ).‎ ‎ A.与圆有公共点的直线   B.和圆心的距离等于半径的直线 ‎ C.垂直于圆的半径的直线  D.过圆的半径端点的直线 ‎5.如图,⊙中直径与直径互相垂直,切⊙于交延长线于.若,则等于()‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图,、分别与⊙相切于、两点,是⊙上一点,且,则等于()‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,是半⊙直径、点是延长线上一点,切半⊙于,若,则等于()‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,⊙与直线相切于、是⊙的直径,,则等于()‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知:如图,AB是半圆O的直径,P是AB延长线上的一点,PC切半圆O于点C,若,则的度数是( )‎ A.60° B.45° C.30° D.15°‎ ‎10.已知:如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,PO交⊙O于点C,交AB于点D(),那么图中全等三角形共有( )‎ ‎ A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ‎11.如图,在Rt中,,以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切,又⊙O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为( )‎ ‎ A.1 B. C. D.‎ ‎12.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,C是优弧上的点,,那么等于( )‎ A.26° B.62° C.60° D.52°‎ ‎13.如图,⊙O的外切梯形ABCD中,若,那么的度数为( )‎ A.70° B.90° C.60° D.45°‎ ‎14.已知⊙的半径为,直线上有一点,,则直线⊙的关系为(  ).‎ A.相交  B.相离  C.相切  D.相交或相切 ‎15.如图,,分别切⊙于,,,则(  ).‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎16.如图,切⊙于,,,则的长为(  ).‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎17.如图,切⊙于,交⊙于,的延长线交⊙于.若,则的底数为(  ).(甘肃省,1998)‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ 答案:‎ ‎1. D 2. C 3. D 4.B; 5.B 6. A 7. C 8. A 9.C 10.D 11.C 12.D 13.B. 14.D;15.B;16.C;17.B.‎ 填空题 ‎1. 两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,大圆的弦AB与小圆相切,则AB= cm.‎ ‎2. 半圆圆心在Rt△ABC的斜边BC上,且半圆分别切AB、AC于D、E,AB=4cm,AC=5cm,则半圆的半径为 cm.‎ ‎3. 如图,四边形内接于⊙,是⊙的直径,切⊙于,,则,‎ ‎4. 如图,与⊙相切于,过,,则的度数等于_______‎ ‎5. 是的内心,,则 ‎6.是⊙直径,切⊙于,于,于,,,则⊙的直径为________‎ ‎7. 如图,是半圆直径,直线切半圆于,,,如果半圆直径为,则 ‎8.如图,中,,⊙A切BC于D,,则⊙A的半径的长为_______。‎ ‎9.已知圆的直径为13cm,如果直线和圆心的距离为4.5cm,那么直线的圆有_____个公共点。‎ ‎10.如图,点在⊙的直径的延长线上,且,若切⊙于点,则的度数为_________.‎ ‎11.如图,两个半圆中,长为的弦与直径平行且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于________.(广西自治区,2000)‎ 答案:‎ ‎1.8 2. 20/9 3. , 4. 5. 6. 11 7. 8.6 9.2. 10.;11..‎ 解答题 ‎1. 如图AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E且PC2=PE·PO.‎ 求证:PC是⊙O的切线.‎ ‎2. 已知:如图,AB是⊙O的直径,AC⊥l,BD⊥l,C、D是垂足,且AC+BD=AB.‎ 求证:DC是⊙O的切线.‎ ‎3.已知:AB是半⊙O的直径,EF切半圆于C点,AE⊥EF于E,BF⊥EF于F ‎ 求证:EF2=4AE·BF ‎4.如图,梯形内接于⊙,,,过点作⊙的切线与的延长线交于,求证:‎ ‎5.如图,是⊙的直径,为⊙上一点,和过点的切线互相垂直,垂足为。求证:平分.‎ ‎6.如图,是⊙的弦,,交于,且.求证:是⊙的切线。‎ ‎7.求证:如果圆的两条切线互相平行,则连结两个切点的线段是直径。‎ ‎8.在⊙,直径和弦的夹角为,过点的切线交的延长线于,,求圆的半径和切线的长。‎ ‎9.如图,为⊙的弦,点为的中点,过引,求证:为⊙的切线.‎ ‎10.如图,以等腰的腰为直径的⊙交底边于,于,求证:为⊙的切线.‎ ‎11.如图,由正方形的顶点引一直线分别交,及的延长线于,,.求证:和的外接圆⊙相切.‎ ‎12.如图,已知梯形中,,,,且为⊙的直径.求证:⊙与相切.‎ ‎13.已知:如图,⊙的半径,点在的延长线上,连结交⊙于,过作⊙的切线交于.求证:.‎ ‎14.如图,中,,为上一点,以为圆心的半圆切于,交于,,.求的长.‎ ‎15.如图,在中,,是上的一点,,以为圆心,为直径的半圆与相切于点,(1)求证:;(2)求的长.‎ ‎16.如图,⊙是的外接圆,已知,,⊙的半径为.(1)求弦,的长;(2)若为延长线上一点,试确定点的位置,使与⊙相切,并证明你的结论.‎ 答案与提示:‎ ‎1. (提示:连结CO,证△PCO∽△PEC,即可)‎ ‎2. (提示:作OE⊥CD,证OE=1/2AB即可)‎ ‎3. 证明:连CA,CB,OC ‎∵EF是切线,C为切点,∴OC⊥EF是直径 ‎∵AE⊥EF,BF⊥EF,∴AE∥OC∥BF ‎∵OA=OB , ∴CE=CF ‎∵AB是直径 ,∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠1+∠2=90°,∵ ∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3‎ ‎∵∠F=∠E=90°,∴△EAC∽△FCB ‎∴=,∴AE·BF=CF·EC,‎ ‎∵CF=CE=EF,∴EF2=AE·BF,∴EF2=4AE·BF ‎4.提示:先证出,再证∽‎ ‎5.提示:连结 ‎6.提示:证明 ‎7. 略. ‎ ‎8.,.‎ ‎9.连,证;10.连.证;11.连,证.‎ ‎12.作于,证;13.连结,证;14.连结..‎ ‎15.(1)连,,.则有,又,∴,(2) ;‎ ‎16.(1) ,;(2) .‎