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- 2021-11-06 发布
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淮安市2013年中考数学试卷
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.
1.在﹣1,0.﹣2,1四个数中,最小的数是( C )
A.
﹣1
B.
0
C.
﹣2
D.
1
2.计算(2a)3的结果是( D )
A.
6a
B.
8a
C.
2a3
D.
8a3
3.不等式组的解集是(D )
A.
x≥0
B.
x<1
C.
0<x<1
D.
0≤x<1
4.若反比例函数的图象经过点(5,﹣1).则实数k的值是( A )
A.
﹣5
B.
﹣
C.
D.
5
5.若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是( B )
A.
3π
B.
4π
C.
5π
D.
6π
6.如图,数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1,则A、B两点之间表示整数的点共有( C )
A.
6个
B.
5个
C.
4个
D.
3个
7.若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为(B )
A.
5
B.
7
C.
5或7
D.
6
8.如图,点A、B、C是⊙0上的三点,若∠OBC=50°,则∠A的度数是(A )
A.
40°
B.
50°
C.
80°
D.
100°
二、填空题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
9.sin30°的值为 .
10.方程的解集是 x=﹣2 .
11.点A(﹣3,0)关于y轴的对称点的坐标是 (3,0) .
12.一组数据3,9,4,9,5的众数是 9 .
13.若n边形的每一个外角都等于60°,则n= 6 .
14.如图,三角板的直角顶点在直线l上,看∠1=40°,则∠2的度数是 50° .
15.如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点.若DE=3,则BC= 6 .
16.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 (0,1) .
17.若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是 3 .
18.观察一列单项式:1x,3x2,5x2,7x,9x2,11x2,…,则第2013个单项式是 4025x2 .
三、解答题(本大题有10小题,共96分.)
19.(10分)计算:
(1)(π﹣5)0+﹣|﹣3|
(2)3a+(1+)•.
解:(1)原式=1+2﹣3=0;
(2)原式=3a+•
=3a+a
=4a
20.(6分)解不等式:x+1≥+2,并把解集在数轴上表示出来.
解:2(x+1)≥x+4,
2x+2≥x+4,
x≥2.
在数轴上表示为:
21.(8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中,点A、B、C都是格点.
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.
解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;
(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求.
22.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,过AC中点0作直线,分别交AD、BC于点E、F.
求证:△AOE≌△COF.
证明:∵AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,OA=OC,在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF.
23.(10分)如图,某中学为合理安排体育活动,在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的1000名学生中,随机抽取了若干名学生进行调查,了解学生最喜欢的一种球类运动,每人只能在这五种球类运动中选择一种.调查结果统计如下:
球类名称
乒乓球
排球
羽毛球
足球
篮球
人数
a
12
36
18
b
解答下列问题:
(1)本次调查中的样本容量是 120 ;
(2)a= 30 ,b= 24 ;
(3)试估计上述1000名学生中最喜欢羽毛球运动的人数.
解:(1)∵喜欢排球的有12人,占10%,
∴样本容量为12÷10%=120;
(2)a=120×25%=30人,
b=120﹣30﹣12﹣36﹣18=24人;
(3)喜欢羽毛球的人数为:1000×=300人.
24.(10分)一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3只球,球上分别标有2,3,5三个数字.
(1)从这个袋子中任意摸一只球,所标数字是奇数的概率是 ;
(2)从这个袋子中任意摸一只球,记下所标数字,不放回,再从从这个袋子中任意摸一只球,记下所标数字.将第一次记下的数字作为十位数字,第二次记下的数字作为个位数字,组成一个两位数.求所组成的两位数是5的倍数的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法写出过程)
解:(1)任意摸一只球,所标数字是奇数的概率是:;
(2)如图所示:共有6种情况,其中是5的倍数的有25,35两种情况,
概率为:=.
25.(10分)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?
解:设购买了x件这种服装,根据题意得出:
[80﹣2(x﹣10)]x=1200,
解得:x1=20,x2=30,
当x=30时,80﹣2(30﹣10)=40(元)<50不合题意舍去;
答:她购买了30件这种服装.
26.(10分)如图,AB是⊙0的直径,C是⊙0上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙0的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos=∠ACD=,求⊙0的半径.
解:(1)直线MN与⊙0的位置关系是相切,
理由是:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠CAB=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥MN,
∴OC⊥MN,
∵OC为半径,
∴MN是⊙O切线;
(2)∵CD=6,cos∠ACD==,
∴AC=10,由勾股定理得:AD=8,
∵AB是⊙O直径,AD⊥MN,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴AB=12.5,
∴⊙O半径是×12.5=6.25.
27.(12分)甲、乙两地之间有一条笔直的公路L,小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y1米,小亮与甲地的距离为y2米,小明与小亮之间的距离为s米,小明行走的时间为x分钟.y1、y2与x之间的函数图象如图1,s与x之间的函数图象(部分)如图2.
(1)求小亮从乙地到甲地过程中y1(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(3)在图2中,补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象,并确定a的值.
解:(1)设小亮从乙地到甲地过程中y1(米)与x(分钟)之间的函数关系式为y1=k1x+b,由图象,得
,
解得:,
∴y1=﹣200x+2000;
(2)由题意,得
小明的速度为:2000÷40=50米/分,
小亮的速度为:2000÷10=200米/分,
∴小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷(200﹣50)=8分钟,
∴24分钟时两人的距离为:S=24×50=1200,32分钟时S=0,
设S与x之间的函数关系式为:S=kx+b,由题意,得
,
解得:,
∴S=﹣150x+4800;
(3)由题意,得
a=2000÷(200+50)=8分钟,
当x=24时,S=1200
当x=32时,S=0.故描出相应的点就可以补全图象.如图:
28.(12分)如图,在△ ABC中,∠
C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.
(1)当ι= 7 时,点P与点Q相遇;
(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形?
(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.
①求s与ι之间的函数关系式;
②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.
解:(1)在直角△ABC中,AC==4,
则Q从C到B经过的路程是9,需要的时间是4.5秒.此时P运动的路程是4.5,P和Q之间的距离是:3+4+5﹣4.5=7.5.
根据题意得:(t﹣4.5)+2(t﹣4.5)=7.5,解得:t=7.
(2)Q从C到A的时间是3秒,P从A到C的时间是3秒.
则当0≤t≤2时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,即3﹣t=2t,解得:t=1.
当2<t≤3时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有PQ=PC(如图1).则Q在PC的中垂线上,作QH⊥AC,则QH=PC.△AQH∽△ABC,
在直角△AQH中,AQ=2t﹣4,则QH=AQ=.
∵PC=BC﹣BP=3﹣t,
∴×(2t﹣4)=3﹣t,
解得:t=;
(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,则PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即AQ=5﹣(2t﹣9)=14﹣2t.
同(2)可得:△PCQ中,PC边上的高是:(14﹣2t),
故s=(2t﹣9)×(14﹣2t)=(﹣t2+10t﹣2).
故当t=5时,s有最大值,此时,P在AC的中点.(如图2).
∵沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,∴PD一定是AC的中垂线.
则AP=AC=2,PD=BC=,
则S△APD=AP•PD=×2×=.
AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4.
则PC边上的高是:AQ=×4=.
则S△PCQ=PC•=×2×=.故答案是:7.
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