2019年四川省南充市中考真题数学试题（解析版） 20页

‎2019年四川省南充市中考数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，合计30分． ‎ ‎1． （2019年南充）如果，那么的值为（ ）‎ A.6 B. C.-6 D.‎ ‎2． （2019年南充）下列各式计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3． （2019年南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4． （2019年南充）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班 体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒 乓球人数比羽毛球人数多（　　）‎ A．5人 B．10人 C．15人 D．20人 ‎5． （2019年南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝‎ ‎6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．17‎ ‎6． （2019年南充）关于x的一元一次方程2xa-2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）‎ A．9 B．8 C．5 D．4‎ ‎7．（2019年南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A.6π B.π C.π D.2π ‎8． （2019年南充）关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）‎ A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3‎ ‎9．（2019年南充）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（　　）‎ A．AB2＝10+ B． C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝‎ ‎10．（2019年南充）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（　　）‎ A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，合计18分．‎ ‎11．（2019年南充）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元.‎ ‎12．（2019年南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= °‎ ‎13．（2019年南充）计算： .‎ ‎14．（2019年南充）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.‎ 质量/kg ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.0‎ 频数/只 ‎56‎ ‎162‎ ‎112‎ ‎120‎ ‎40‎ ‎10‎ 则500只鸡质量的中位数为 .‎ ‎15．（2019年南充）在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，点在双曲线上，则k的取值范围为 .‎ ‎16．（2019年南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24，BC=5.给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积的最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为.其中正确的结论是 （填写序号）.‎ 三、解答题：本大题共9个小题，合计72分．‎ ‎17．（2019年南充）计算：‎ ‎18．（2019年南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC.（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数.‎ ‎19．（2019年南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率.‎ ‎20．（2019年南充）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值.‎ ‎21．（2019年南充）双曲线（k为常数，且）与直线交于，两点.（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积.‎ ‎22．（2019年南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD=∠A.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC=5，BD=3，求点O到CD的距离.‎ ‎23．（2019年南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？‎ ‎24．（2019年南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN=，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由.‎ ‎25．（2019年南充）如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？‎ ‎2019年四川省南充市初中学业水平考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，合计30分． ‎ ‎1． （2019年南充）如果，那么的值为（ ）‎ A.6 B. C.-6 D.‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的数互为倒数即可判断，，因此本题选B．‎ ‎2． （2019年南充）下列各式计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，A.x+x2，无法合并，故此选项错误；B.（x2）3＝x6，故此选项错误；C.x6÷x2＝x4，故此选项错误；D.x•x2＝x3，故此选项正确.因此本题选D．‎ ‎3． （2019年南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱，因此本题选C．‎ ‎4． （2019年南充）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班 体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒 乓球人数比羽毛球人数多（　　）‎ A．5人 B．10人 C．15人 D．20人 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了扇形统计图的应用，∵选考乒乓球人数为50×40%＝20人，选考羽毛球人数为 ‎=10人，∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10＝10人，，因此本题选B．‎ ‎5． （2019年南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝‎ ‎6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．17‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等，由DE垂直平分线AB，可得AE＝BE，所以△ACE的周长＝AC+EC+AE＝AC+EC+BE＝AC+BC＝11，因此本题选B．‎ ‎6． （2019年南充）关于x的一元一次方程2xa-2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）‎ A．9 B．8 C．5 D．4‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程解的定义，所以a﹣2＝1，2+m＝4，所以a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，因此本题选C．‎ ‎7． （2019年南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A.6π B.π C.π D.2π ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质、扇形面积的计算，连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，所以S△AOB＝S△ABC，再根据扇形的面积公式即可求解，S阴影＝S扇形OAB＝＝6π，因此本题选A．‎ ‎8． （2019年南充）关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）‎ A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一元一次不等式(组)及应用，首先解不等式不等式可得 ，再根据不等式有两个正整数解，一定是1和2，所以，解得：﹣5＜a≤﹣3．因此本题选C．‎ ‎9． （2019年南充）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（　　）‎ A．AB2＝10+ B．‎ C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了矩形、正方形、菱形的性质与判定.首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，即可判断.‎ 解：在Rt△AEB中， AB＝＝＝，‎ ‎∵AB∥DH，BH∥AD，‎ ‎∴四边形ABHD是平行四边形，‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABHD是菱形，‎ ‎∴AD＝AB＝，‎ ‎∴CD＝AD＝AD＝﹣1，‎ ‎∴，故选项B正确，‎ ‎∵BC2＝4，CD•EH＝（﹣1）（+1）＝4，‎ ‎∴BC2＝CD•EH，故选项C正确，‎ ‎∵四边形ABHD是菱形，‎ ‎∴∠AHD＝∠AHB，‎ ‎∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝＝＝，因此本题选A．‎ ‎10．（2019年南充）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），‎ 给出下列结论：①若点（n，y1）与在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（　　）‎ A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 ‎ C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二次函数图象及其性质，①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0的根的判别式中计算，判断其正负即可判断正误. ‎ 解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，‎ ‎∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x‎=‎‎1‎‎2‎的对称点为（1﹣n，y1），‎ ‎∴点（1﹣n，y1）与（，y2）在该抛物线上，‎ ‎∵（1﹣n）﹣（）＝n﹣＜0，‎ ‎∴1﹣n＜，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴当x＞时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴y1＜y2，故①正确；‎ ‎②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝，‎ ‎∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，‎ ‎∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故②正确；‎ 因此本题选A．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，合计18分．‎ ‎11．（2019年南充）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元.‎ ‎{答案}0.8a ‎{解析}本题考查了整式的基本概念，能根据题意列出代数式是解题的关键，因此本题答案为0.8a．‎ ‎12．（2019年南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= °‎ ‎{答案}15‎ ‎{解析}本题考查了正方形和等腰三角形的性质，根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，求得AB＝AH，∠BAH＝120°，于是得到AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论，因此本题答案为15．‎ ‎13．（2019年南充）计算： .‎ ‎{答案} x+1‎ ‎{解析}本题考查了分式的加减运算，先化为同分母分式，利用同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算即可得到结果，因此本题答案为x+1．‎ ‎14．（2019年南充）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.‎ 质量/kg ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.0‎ 频数/只 ‎56‎ ‎162‎ ‎112‎ ‎120‎ ‎40‎ ‎10‎ 则500只鸡质量的中位数为 .‎ ‎{答案}1.4kg ‎{解析}本题考查了中位数的基本概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．因此本题答案为1.4kg．‎ ‎15．（2019年南充）在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，点在双曲线上，则k的取值范围为 .‎ ‎{答案}且 ‎{解析}本题考查了一次函数与反比例函数图象及其应用，根据一次函数图象上点的特征求得，即可得到B（m，），根据反比例函数图象上点的特征得到k关于m的函数，k＝m•＝，根据二次函数的性质即可求得k的取值范围，注意．因此本题答案为且．‎ ‎16．（2019年南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24，BC=5.给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积的最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为.其中正确的结论是 （填写序号）.‎ ‎{答案}②③‎ ‎{解析}本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，①由条件可知AB＝24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，可求出最大面积为144；③当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，可求出OD＝25，证明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF长，则D点坐标可求出．因此本题答案为②③．‎ 解：∵点E为AB的中点，AB＝24，‎ ‎∴OE＝AB＝12，‎ ‎∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴点E经过的路径长为＝，故①错误；‎ 当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，‎ ‎∵E为AB的中点，‎ ‎∴OE⊥AB， OE＝AB＝12，‎ ‎∴S△AOB＝＝144，故②正确；‎ 如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，‎ ‎∵AD＝BC＝5，AE＝AB＝12，‎ ‎∴DE＝ ＝ ＝13，‎ ‎∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，‎ 设DF＝x，‎ ‎∴OF＝ ＝，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠DAB＝90°，‎ ‎∴∠DFA＝∠AOB，‎ ‎∴∠DAF＝∠ABO，‎ ‎∴△DFA∽△AOB ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵E为AB的中点，∠AOB＝90°，‎ ‎∴AE＝OE，‎ ‎∴∠AOE＝∠OAE，‎ ‎∴△DFO∽△BOA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得x＝，x＝﹣舍去，‎ ‎∴OF＝，‎ ‎∴D（，）故③正确．‎ 故答案为：②③．‎ 三、解答题：本大题共9个小题，合计72分．‎ ‎17．（2019年南充）计算：‎ ‎{解析}本题考查了实数的混合计算，关键在于计算要准确，不能漏掉符号．‎ ‎{答案}解：原式= 4分 ‎= 5分 ‎ = 6分 ‎18．（2019年南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC.‎ ‎（1）求证：△AOD≌△OBC；‎ ‎（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数.‎ ‎{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，（1）根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．‎ ‎{答案}解： （1）证明：∵点O线段AB的中点，∴AO=BO． 1分 ‎∵OD∥BC，∴∠AOD=∠OBC． 2分 在△AOD和△OBC中，，‎ ‎∴△AOD≌△OBC（SAS） 4分 ‎（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO=∠OCB=35°． 5分 ‎∵OD∥BC，∴∠DOC=∠OCB=35°． 6分 ‎19．（2019年南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率.‎ ‎{解析}本题考查了树状图法或列表法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，（1）由概率公式即可得出结果；（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．‎ ‎{答案}解：‎ ‎（1）∵抽取的负数可能为-2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为P= 2分 ‎（2）列表如下 ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎﹣2‎ ‎（﹣2，﹣2）‎ ‎（﹣2，﹣1）‎ ‎（﹣2，0）‎ ‎（﹣2，2）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，﹣2）‎ ‎（﹣1，﹣1）‎ ‎（﹣1，0）‎ ‎（﹣1，2）‎ ‎0‎ ‎（0，﹣2）‎ ‎（0，﹣1）‎ ‎（0，0）‎ ‎（0，2）‎ ‎2‎ ‎（2，﹣2）‎ ‎（2，﹣1）‎ ‎（2，0）‎ ‎（2，2）‎ 或者画树状图如下 ‎ 4分 ‎∵共有16种等可能结果，其中点A在直线y=2x上的结果有2种 5分 ‎∴点A在直线y=2x上的概率为 6分 ‎20．（2019年南充）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值.‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于，两根之积等于”．（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．‎ ‎{答案}解： （1）△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）＝﹣4m+13， 2分 由题意知原方程有实根，∴△＝﹣4m+13≥0， 3分 ‎∴m≤． 4分 ‎（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0， 5分 ‎∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， 6分 ‎∵方程的根为x1，x2，‎ ‎∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，‎ ‎∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）‎ ‎＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）‎ ‎＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）‎ ‎＝（﹣1﹣x1）（x2+1）‎ ‎＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1‎ ‎＝﹣x2﹣x1﹣2‎ ‎＝3﹣2‎ ‎＝1． 8分 ‎21．（2019年南充）双曲线（k为常数，且）与直线交于，两点.（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积.‎ ‎{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的图象与性质．（1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值，则求出点B（1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k的值．（2）先求出点C、D两点的坐标，再求出E点坐标，则S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝，可求出△BOE的面积．‎ ‎{答案}解：（1）∵点在直线上，‎ ‎∴，∴b＝﹣2 2分 ‎∴，∵点B（1，n）在直线上，∴ 3分 ‎∴B（1，-4），∵B（1，-4）在双曲线上，∴ 4分 ‎（2）直线交x轴于C（-1,0），交y轴于D（0，-2） 5分 ‎∴S△COD=‎ ‎∵点E为CD的中点，∴S△COE=S△COD= 6分 ‎∵S△COB= 7分 ‎∴S△BOE=S△COB-S△COE=2-. 8分 ‎22．（2019年南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD=∠A.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC=5，BD=3，求点O到CD的距离.‎ ‎{解析}本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、三角形的中位线的性质．（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠A+∠ACD＝90°，求得∠ACB＝90°，于是得到结论；‎ ‎（2）过O作OH⊥CD于H，根据相似三角形的性质得到AB＝，根据垂径定理得到CH＝DH，根据 三角形的中位线的性质即可得到结论．‎ ‎{答案}解：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°． 1分 ‎∴∠A+∠ACD=90°，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠ACD=90° 2分 ‎∴OC⊥BC，∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线. 3分 ‎（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，如图所示 4分 在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=3，∴CD=4 5分 ‎∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.‎ ‎∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴，∴ 6分 ‎∵OE⊥CD，∴E为CD的中点 7分 又∵点O是AC的中点，∴OE= 8分 ‎23．（2019年南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用．（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；‎ ‎（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w的最小值为700元，即可得到答案．‎ ‎{答案}解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元.根据题意可得 2分 解得：. 4分 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.‎ ‎（2）设钢笔单价为元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元.‎ ①当30≤b≤50时， 5分 ‎ 7分 ‎∵当时，W=720，当b=50时，W=700‎ ‎∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5 8分 ②当50＜b≤60时，a=8， 9分 ‎∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元 ‎∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元. 10分 ‎ ‎24．（2019年南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN=，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．（1）由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；‎ ‎（2）先证明△EDM≌△GDM得出∠DME=∠DMG，又∠DMG=∠NMF，得出∠DME=∠NMF，所以△DME∽△FMN，得出，由DE∥HF，得出，又ED=EF，所以，在Rt△EFH中，tan∠HEF=，即可得出结果；‎ ‎（3）设AE=x，则BE=1-x，CG=x，设CM=y，在Rt△BEM中，，得出，，若，则，方程无解，即可得出结论．‎ ‎{答案}解：（1）证明：在正方形ABCD，DEFG中，‎ DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=∠A=90° 1分 ‎∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS） 2分 ‎∴∠DCG=∠A=90°，∴CD⊥CG 3分 ‎（2）解：∵CD⊥CG，DC⊥BC，∴G、C、M三点共线．‎ ‎∵四边形DEFG是正方形，∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，又∵DM=DM ‎∴△EDM≌△GDM，∴∠DME=∠DMG 4分 又∠DMG=∠NMF，∴∠DME=∠NMF，又∵∠EDM=∠NFM=45°‎ ‎∴△DME∽△FMN，∴． 5分 又∵DE∥HF，∴，又∵ED=EF，∴． 6分 在Rt△EFH中，tan∠HEF=，∴． 7分 ‎（3）设AE=x，则BE=1-x，CG=x，设CM=y，则BM=1-y，EM=GM=x+y 8分 在Rt△BEM中，，∴，‎ 解得． 9分 ‎∴，若，则，‎ 化简得：，△=-7＜0，∴方程无解，故EM长不可能为. 10分 ‎25．（2019年南充）如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.‎ ①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？‎ ‎{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y＝a（x+1）（x+3）；由OC＝OB＝3得C（0，﹣3），代入交点式即求得a＝﹣1．‎ ‎（2）由∠POB＝∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH＝2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．‎ ‎（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为d，把x＝d代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、d表示的DE的长，把m当常数，对未知数d进行配方，即得到当d＝m+2时，DE取得最大值．‎ ‎②由矩形MDNF得MN＝DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d＝m+2时，DE＝4，所以MN＝8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．‎ ‎{答案}解：（1）∵OB=OC，B（-3,0），∴C（0，-3） 1分 又题意可得： 2分 解得：. ‎ ‎∴. 3分 ‎（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，BG=AG=AB·sin45°=. 4分 ‎∵BC=，∴CG=BC-BG=，∴tan∠ACG=. 5分 设P（），过点P作PQ⊥x轴于Q，tan∠POQ=tan∠ACG=.‎ ①当P在x轴上方时，‎ 则PQ=，tan∠POQ=‎ 解得，∴. 6分 ②当点P在第三象限时，，‎ 解得：‎ ‎∴. 7分 ③当点P在第四象限时，∠POB＞90°，而∠ACB＜90°，∴点P不在第四象限 故点P坐标为或或或 （3） ①由已知，‎ 即，设直线MN为 得：解得：‎ 故MN为. 8分 设，‎ ‎∴DE=‎ ‎=，‎ 当时，DE最大值为4. 9分 ②当DE最大时，点为MN的中点.‎ 由已知，点E为DF的中点，∴当DE最大时，四边形MDNF为平行四边形.‎ 如果□MDNF为矩形，则故，‎ 化简得，，故.‎ 当或时，四边形MDNF为矩形. 10分