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  • 2021-11-06 发布

2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校中考数学试题

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牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校 2020 年初中毕业学业考试数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 解:第一个图是轴对称图形,又是中心对称图形; 第二个图是轴对称图形,不是中心对称图形; 第三个图是轴对称图形,又是中心对称图形; 第四个图是轴对称图形,不是中心对称图形; 既是轴对称图形,又是中心对称图形的有 2 个.故选 B. 2.下列运算正确的是( ) A. (a+b)(a-2b)=a2-2b2 B. 2 21 1( )2 4a a   C. -2(3a-1)=-6a+1 D. (a+3)(a-3)=a2-9 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择. 【详解】A、原式= 2 2 2 22 2 2a ab ab b a ab b      ,故此选项错误; B、原始= 2 1 4a a  ,根据完全平方公式可以做出判断,故此选项错误; C、原式= 6 2a  ,根据乘法分配律可以做出判断,故此选项错误; D、原式=a2-9,故此选项正确. 故选:D. 【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则,掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键. 3.如图是由 5 个立方块搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数,则这个 几何体的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系,从正面看去,一共三列,左边有 1 竖列,有 1 个立方块;中 间有 2 竖列,其中 1 列有 2 个立方块;右边是 1 竖列,有 1 个立方块;结合四个选项选出答案. 【详解】解:从正面看去,一共三列,左边有 1 竖列,中间有 2 竖列,其中 1 列有 2 个立方块,右边是 1 竖列. 故选:A. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图,重点考查几何体的三视图及空间想象能 力. 4.现有两个不透明的袋子,一个装有 2 个红球、1 个白球,另一个装有 1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色 外完全相同,从两个袋子中各随机摸出 1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是( ) A. 1 3 B. 4 9 C. 3 5 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得. 【详解】解:列表如下: 黄 红 红 红 (黄,红) (红,红) (红,红) 红 (黄,红) (红,红) (红,红) 白 (黄,白) (红,白) (红,白) 由表知,共有 9 种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果, 所以摸出的两个球颜色相同的概率为 4 9 . 故选:B. 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式,解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等 可能的结果列举出来,难度不大. 5.一组数据 4,4,x,8,8 有唯一的众数,则这组数据的平均数是( ) A. 28 5 B. 32 5 或 5 C. 28 5 或 32 5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 因为这组数据有唯一的众数,那么众数可能是 4,也可能是 8,分情况讨论即可. 【详解】解:当众数为 4 时,x=4,   284 4 4 8 8 5 5x        , 当众数为 8 时,x=8,   324 4 8 8 8 5 5x        , 即这组数据的平均数是 28 5 或 32 5 . 故答案为:C. 【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解,在一组数据中,出现次数最多的数就是这组数据的众数. 6.如图,在△ABC 中,sinB= 1 3 , tanC=2,AB=3,则 AC 的长为( ) A. 2 B. 5 2 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点,先由 sin∠B 及 AB=3 算出 AH 的长,再由 tan∠C 算出 CH 的长,最后在 Rt△ACH 中由勾股定理即可算出 AC 的长. 【详解】解:过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点,如下图所示: 由 1sin = 3   AHB AB ,且 =3AB 可知, =1AH , 由 tan =2  AHC CH ,且 =1AH 可知, 1 2CH  , ∴在 Rt ACH 中,由勾股定理有: 2 2 2 21 51 ( )2 2     AC AH CH . 故选:B. 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识,如果图形中无直角三角形时,可以通过作垂线构造 直角三角形进而求解. 7.如图,点 , ,A B S 在圆上,若弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍,则 ASB 的度数是( ). A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为O ,连接OA OB、 ,如图,先证明 OAB 为等腰直角三角形得到 90AOB   ,然后根据圆周角 定理确定 ASB 的度数. 【详解】解:设圆心为O ,连接OA OB、 ,如图, ∵弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍, 即 2AB OA , ∴ 2 2 2OA OB AB  , ∴ OAB 为等腰直角三角形, 90AOB   , ∴ 1 452ASB AOB    °. 故选 C. 【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的 圆心角的一半. 8.若 2 1 a b    是二元一次方程组 3 52 2 ax by ax by       的解,则 x+2y 的算术平方根为( ) A. 3 B. 3,-3 C. 3 D. 3 ,- 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将 2 1 a b    代入二元一次方程组中解出 x 和 y 的值,再计算 x+2y 的算术平方根即可. 【详解】解:将 2 1 a b    代入二元一次方程 3 52 2 ax by ax by       中, 得到: 3 5 2 2      x y x y ,解这个关于 x 和 y 的二元一次方程组, 两式相加,解 7 5x  得,将 7 5x  回代方程中,解得 4 5y  , ∴ 7 4 152 2 35 5 5      x y , ∴x+2y 的算术平方根为 3 , 故选:C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法,算术平方根的概念等,熟练掌握二元一次方程组的解法是解 决本题的关键. 9.如图,在菱形 OABC 中,点 B 在 x 轴上,点 A 的坐标为(2,2 3 ),将菱形绕点 O 旋转,当点 A 落在 x 轴上时,点 C 的对应点的坐标为( ) A. ( 2 2 )3 , 或 (2 3, 2) B. (2,2 3) C. ( 2,2 3) D. ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) 【答案】D 【解析】 【分析】 如图所示,过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,根据题意易得△AOB 为等边三角形,在旋转过程中,点 A 有两次 落在 x 轴上,当点 A 落在 x 轴正半轴时,点 C 落在点 C′位置,利用旋转的性质和菱形的性质求解,当 A 落 在 x 轴负半轴时,点 C 落在点 C′′位置,易证此时 C′′与点 A 重合,即可求解. 【详解】解:如图所示,过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E, 则 2 3tan AOE= = 32 ∠ ,OA=  222 2 3 =4 , ∴∠AOE=60°, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴△AOB 是等边三角形, 当 A 落在 x 轴正半轴时,点 C 落在点 C′位置, 此时旋转角为 60°, ∵∠BOC=60°,∠COF=30°, ∴∠C′OF=60°-30°=30°, ∵OC′=OA=4, ∴OF= C'Ocos C'OF=2 3∠ , C′F= C'Osin C'OF=2∠ , ∴C′( 2, 2 3  ), 当 A 落在 x 轴负半轴时,点 C 落在点 C′′位置, ∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°, ∴∠A′′OC=120°,∠GOC′=30° 又∵OA=OC′′, ∴此时 C′′点 A 重合,C C′′ (2,2 3) , 综上,点 C 的对应点的坐标为 ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) , 故答案为:D. 【点睛】本题考查菱形的性质,解直角三角形和旋转的性质,解题的关键是根据题意,分析点 A 的运动情 况,分情况讨论. 10.若关于 x 的分式方程 2 1 m x x  有正整数解,则整数 m 的值是( ) A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4 【答案】D 【解析】 【分析】 解带参数 m 的分式方程,得到 212 2 mx m m     ,即可求得整数 m 的值. 【详解】解: 2 1 m x x  , 两边同时乘以  1x x  得:  2 1x m x  , 去括号得: 2x mx m  , 移项得: 2x mx m   , 合并同类项得: 2 m x m   , 系数化为 1 得: 212 2 mx m m     , 若 m 为整数,且分式方程有正整数解,则 3m  或 4m  , 当 3m  时, 3x  是原分式方程的解; 当 4m  时, 2x  是原分式方程的解; 故选:D. 【点睛】本题考查分式方程的解,始终注意分式方程的分母不为 0 这个条件. 11.如图,A,B 是双曲线 ky x  上的两个点,过点 A 作 AC⊥x 轴,交 OB 于点 D,垂足为 C,若△ODC 的 面积为 1,D 为 OB 的中点,则 k 的值为( ) A. 3 4 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 过点 B 作 BE x⊥ 轴,易得 DCO BEO△ ∽△ ,得到 4BEOS △ ,即可求解 k 的值. 【详解】解:如图,过点 B 作 BE x⊥ 轴,设  ,B a b ,则  ,0E a , ∵ BE x⊥ 轴, DC x 轴, ∴ DCO BEO   , ∴ DCO BEO△ ∽△ , ∵D 为 OB的中点, ∴ 1 4 DCO BEO S S △ △ , ∴ 4BEOS △ , 即 1 42 ab  ,解得 8ab  , ∴k 的值为 8, 故选:D. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标,解题的关键是作出辅助线,得 到两个相似的三角形. 12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为 1 2x  ,且经过点(2,0). 下列说法:①abc<0; ②-2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若 1 5( )2 y , , 2 5( )2 y, 是抛物线上的两点,则 y1m(am+b) (其 中 m≠ 1 2 ).其中说法正确的是( ) A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到 0a  ,根据抛物线的对称轴得 0b a   ,则 2 0a b  ,根据抛物线与 y 轴的交 点在 x 轴上方得到 0c  ,则 0abc  ,于是可对①进行判断;根据对称轴和一个与 x 轴的交点,求得另一个 交点,由根与系数的关系即可得出 2c a  ,则得到 2 0b c   ,于是可对②进行判断;由于经过点 (2,0) , 则得到 4 2 0a b c   ,则可对③进行判断;通过点 5( 2  , 1)y 和点 5(2 , 2 )y 离对称轴的远近对④进行判断; 根据抛物线的对称轴为直线 1 2x  ,开口向下,得到当 1 2x  时,y 有最大值,所以 1 1 ( )4 2a b m am b   (其 中 1)2m  ,由  a b 代入则可对⑤进行判断. 【详解】解: 抛物线开口向下, 0a  ,  抛物线对称轴为直线 1 2 2 bx a    , 0b a    ,  抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, 0c  , 0abc  ,所以①正确;  对称轴为 1 2x  ,且经过点 (2,0) , 抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ,  1 2 2c a      , 2c a   , 2 2 2 0b c a a     ,所以②正确;  抛物线经过点 (2,0) , 2x  时, 0y  , 4 2 0a b c    ,所以③错误;  点 5( 2  , 1)y 离对称轴要比点 5(2 , 2 )y 离对称轴要远, 1 2y y  ,所以④正确.  抛物线的对称轴为直线 1 2x  , 当 1 2x  时, y 有最大值,  21 1 4 2a b c am bm c     (其中 1)2m  ,  1 1 ( )4 2a b m am b   (其中 1)2m  , a b  , 1 1 ( )4 2b b m am b    ,  1 ( )4 b m am b  ,所以⑤正确; 故选:A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    ,二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小,当 0a  时,抛物线开口向上;当 0a  时,抛物线开口向下;一次项系数b 和二 次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与b 同号时(即 0)ab  ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与b 异号时(即 0)ab  ,对称轴在 y 轴右.(简称:左同右异).抛物线与 y 轴交于 (0, )c .抛物线与 x 轴交点个数: △ 2 4 0b ac   时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△ 2 4 0b ac   时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; △ 2 4 0b ac   时,抛物线与 x 轴没有交点. 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 13.一周时间有 604800 秒,604800 用科学记数法表示 为______. 【答案】 56.048 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 【详解】 5604800 6.048 10  , 故答案为: 56.048 10 . 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 14.如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件____,使四边形 ABCD 是平行四边形(填一个即可). 【答案】AD=BC(答案不唯一) 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可. 【详解】解:根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可以添加条件 AD=BC, 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可以添加条件 AB∥DC, 本题只需添加一个即可, 故答案为:AD=BC(答案不唯一). 【点睛】本题考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键. 15.在函数 2 1 xy x   中,自变量 x 的取值范围是_______. 【答案】 1 2x  【解析】 【分析】 直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可. 【详解】解:函数 2 1 xy x   中: 2 1 0 2 1 0 x x      , 解得: 1 2x  . 故答案为: 1 2x  . 【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围,正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键. 16.“元旦”期间,某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%,则该书包的进价是____元. 【答案】80 【解析】 【分析】 根据题意设出方程,解出即可. 【详解】设书包进价是 x 元,由题意得: 130×0.8-x=30%x 解得 x=80. 故答案为:80. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用,关键在于根据题意找出等量关系. 17.将抛物线 y=(x-1)2-5 关于 y 轴对称,再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_____. 【答案】(2,-5) 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标,再根据题意进行变换即可求解. 【详解】抛物线 y=(x-1)2-5 的顶点为(1,-5), ∴关于 y 轴对称的坐标为(-1,-5),再向右平移 3 个单位长度后的坐标为(2,-5), 故答案为:(2,-5) . 【点睛】此题主要考查抛物线顶点,解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点. 18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的,其中第 1 个图形中一共有 4 个圆,第 2 个图形中一共 有 8 个圆,第 3 个图形中一共有 14 个圆,第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去,第 9 个图 形中圆的个数是___个. 【答案】92 【解析】 【分析】 根据图形得出第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   进行解答即可. 【详解】解:因为第 1 个图形中一共有1 (1 1) 2 4    个圆, 第 2 个图形中一共有 2 (2 1) 2 8    个圆, 第 3 个图形中一共有 3 (3 1) 2 14    个圆, 第 4 个图形中一共有 4 (4 1) 2 22    个圆; 可得第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   ; 所以第 9 个图形中圆的个数 9 (9 1) 2 92    , 故答案为:92. 【点睛】本题考查图形的变换规律,根据图形的排列规律得到第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   是解决本 题的关键. 19.在半径为 5 的⊙O 中,弦 AB 垂直于弦 CD,垂足为 P,AB=CD=4,则 S△ACP=______. 【答案】 1 2 或 3 2 或 9 2 【解析】 【分析】 作 OE 垂直于 AB 于 E,OF 垂直于 CD 于 F,连接 OD、OB,则可以求出 OE、OF 的长度,进而求出 OP 的 长度,进一步得 PE 与 PF 长度,最后可求出答案. 【详解】如图所示,作 OE 垂直于 AB 于 E,OF 垂直于 CD 于 F, ∴AE=BE= 1 AB2 =2,DF=CF= 1 2 CD =2, 在 Rt OBE△ 中, ∵OB= 5 ,BE=2, ∴OE=1, 同理可得 OF=1, ∵AB 垂直于 CD, ∴四边形 OEPF 为矩形, 又∵OE=OF=1, ∴四边形 OEPF 为正方形, 又∵ ACPS△ 有如图四种情况, ∴(1) ACPS△ = 1 2 AP∙CP= 1 2 ×1×3= 3 2 , (2) ACPS△ = 1 2 AP∙PC= 1 2 ×1×1= 1 2 , (3) ACPS△ = 1 2 PC∙PA= 1 2 ×3×3= 9 2 , (4) ACPS△ = 1 2 AP∙PC= 1 2 ×3×1= 3 2 , 故答案为: 1 2 或 3 2 或 9 2 【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用,熟练掌握方法是关键. 20.正方形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 CD 上,若∠BEF=∠EBC,AB=3AE,则下列结论:①DF=FC; ②AE+DF=EF;③∠BFE=∠BFC;④∠ABE+∠CBF=45°;⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC;⑥ DF:DE:EF=3:4:5; ⑦ BF:EF= 3 5 :5.其中结论正确的序号有_____. 【答案】①②③④⑤⑥⑦ 【解析】 【分析】 设正方形的边长为 3,假设 F 为 DC 的中点,证明 RtRt EDF PCF   进而证明 PE=PB 可得假设成立, 故 可 对 ① 进 行 判 断 ; 由 勾 股 定 理 求 出 EF 的 长 即 可 对 ② 进 行 判 断 ; 过 B 作 BG⊥EF , 证 明 Rt BFG Rt BFC   即可对③进行判断;过点 E 作 EH⊥BF,利用三角形 BEF 的面积求出 EH 和 BH 的长, 判 断 △BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 对 ④ 进 行 判 断 ; 过 F 作 FQ//AD , 利 用 平 行 线 的 性 质 得 DEF CBF BFE     ,从而可对⑤进行判断;根据 DE,DF,EF 的长可对⑥进行判断;根据 BF 和 CF 的长可对⑦进行判断. 【详解】如图,不妨设正方形 ABCD 的边长为 3,即 3AB BC CD DA    , 3AB AE , 1AE  , 2DE  , ①假设 F 为 CD 的中点,延长 EF 交 BC 的延长线于点 P, 在 Rt EDF 和 Rt PCF  中 90 DF CF EFD PFC D PCF          RtRt EDF PCF    2PC DE   由勾股定理得, 2 2 3 52 2 2EF PF       , 5PE EF PF    , 3 2 5BP BC PC     , PE PB  , PEB PBE   ,故假设成立, DF FC  ,故①正确; ② 1AE  , 3 2DF  , 3 51 2 2AE DF     , 而 5 2EF  , AE DF EF   ,故②正确; ③过 B 作 BG EF ,垂足为 G, ABCD BEF ABE DEF BCES S S S S      正方形 2 1 1 3 1 33 3 1 2 32 2 2 2 2           15 4  而 1 15 2 4EF BG   3BG  BG BC  在 Rt BGF 和 Rt BCF 中, BG BC BF BF    ∴ Rt BGF Rt BCF  BFG BFC   , 即 BFE BFC   ,故③正确; ④过 E 和 EH BF ,垂足为 H, ∵ 15 4BEFS  , 又 2 2 3 5 2BF BC CF   , 1 15 2 4BEFS EH BF     , 5EH  在 Rt EHF 中, 5EH  , 5 2FF  , 5 2HF  5BH  在 tR ABE 中, 1AE  , 3AB  10BE  , 而 2 2 2( 5) ( 5) ( 10)  2 2 2BH EH BE   BHE 是等腰直角三角形, 45EBF  , 90 45ABE CBE EBF      ,故④正确; ⑤过 F 作 FQ// AD,交 AB 于 Q,则 FQ// BC, DEF QFE   , CBF QFB   , DEF CBF BFE     BFE BFC   , DEF CBF BFC     ,故⑤正确; ⑥ 3 2DF  , 2DE  , 5 2EF  : : 3:4:5DF DE EF  ,故⑥正确; ⑦ 3 5 2BF  , 5 2EF  , 3 5 5: : 3 5 :52 2BF EF   ,故⑦正确; 综上所述,正确的结论是①②③④⑤⑥⑦. 故答案为:①②③④⑤⑥⑦. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理 等知识,假设出 AB=3 是解答此题的关键. 三、解答题(共 60 分) 21.先化简,再求值: 2 2 2 1 6 9 9 3 3 2 x x x x x x x      其中 x=1-2tan45°. 【答案】 3 3 x , 3 4 . 【解析】 【分析】 原式第二项利用除法法则变形,约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果,再计算出 x 的值, 把 x 的值代入计算即可求出值. 【详解】解: 2 2 2 1 6 9 9 3 3 2 x x x x x x x      = 21 ( 3) 2 3 ( 3) ( 3)( 3) x x x x x x x      = 1 2 3 3x x   = 1 2+3 3x x  = 3 3 x , 当 x=1-2tan45°=-1 时,原式= 3 4 . 【点睛】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键,同时还考查了特殊角的三角函 数值. 22.已知抛物线 y=a(x-2)2+c 经过点 A(-2,0)和点 C(0, 9 4 ),与 x 轴交于另一点 B,顶点为 D. (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如图,点 E,F 分别在线段 AB,BD 上(点 E 不与点 A,B 重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,直接 写出线段 BE 的长. 【答案】(1)y= 3 16  (x-2)2+3;顶点 D 的坐标为(2,3);(2)BE=5. 【解析】 【分析】 (1)本题可利用待定系数法,将 A,C 两点代入抛物线求解即可. (2)本题可利用等腰三角形性质,通过角的互换证明 BD=BE,最后利用勾股定理求解 BD 即可解答. 【详解】(1)将点 A(-2,0),C(0, 9 4 )代入 y = a(x - 2)2 + c,得: 16 0 94 4 a c a c     ,解得: 3 16 3 a c      . ∴抛物线的解析式为 y= 3 16  (x-2)2+3 . ∴顶点 D 的坐标为(2,3). (2)∵A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点,D 为坐标顶点, ∴DA=DB,故∠DAB=∠DBA, ∵DE=EF, ∴∠EDF=∠EFD. ∵∠EFD=∠FEB+∠EBD,∠DEF=∠DAB, ∴∠EDF=∠FEB+∠DEF, ∴∠BDE=∠BED, 故 BD=BE. ∵A(-2,0),D(2,3), ∴利用对称性可得 B(6,0), 经计算 BD=5, 故 BE=5. 【点睛】本题考查二次函数,第一问为常规题目,利用待定系数法求解即可;第二问属于二次函数与几何 综合,解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题. 23.等腰三角形 ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=45º,以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD,∠CAD 为 90º,请 画出图形,并直接写出点 B 到 CD 的距离. 【答案】画出图形见解析;点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 4 2 2 . 【解析】 【分析】 根据题目描述可以作出两个图形,利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可. 【详解】本题有两种情况: (1)如图, ∵ ACD△ 是等腰直角三角形, 90CAD   , ∴ 45ACD   , ∵ 45BAC   , ∴ //AB CD , ∴点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离, 过点 A 作 AE CD , ∵ 4AB AC  , ∴ 2 2 2 ACAE   , ∴点 B 到 CD 的距离为 2 2 ; (2)如图: ∵ ACD△ 是等腰直角三角形, 90CAD   , ∴ 45ACD   , ∵ 45BAC   , ∴ 90AEC  , ∴点 B 到 CD 的距离即 BE 的长, ∵ 4AB AC  , ∴ 2 2 2 ACAE   , ∴ 4 2 2BE AB AE    ,即点 B 到 CD 的距离为 4 2 2 . 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,根据题目描述作出两个图形是解题的关键. 24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,课题小组随机选取该校 部分学生进行了问卷调査(问卷调査表如图 1 所示),并根据调查结果绘制了图 2、图 3 两幅统计图(均不 完整),请根据统计图解答下列问题. (1)本次接受问卷调查的学生有________名. (2)补全条形统计图. (3)扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为________. (4)该校共有 2000 名学生,根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数. 【答案】(1)100;(2)见解析;(3) 72 ;(4)160 人. 【解析】 【分析】 (1)根据 D 的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数; (2)根据(1)中的结果和图 1 中的数据可以将条形统计图补充完完整; (3)根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数; (4)根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数. 【详解】(1)本次接受问卷调查的学生有: 36 36% 100  (名), 故答案为 100; (2)喜爱 C 的有:100 8 20 36 6 30     (人), 补全的条形统计图如右图所示; (3)扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为: 20360 72100    , 故答案为 72 ; (4) 82000 160100   (人), 答:该校最喜爱新闻节目的学生有 160 人. 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结 合的思想解答. 25.A,B 两城市之间有一条公路相连,公路中途穿过 C 市,甲车从 A 市到 B 市,乙车从 C 市到 A 市,甲车 的速度比乙车的速度慢 20 千米/时,两车距离 C 市的路程 y(单位:千米)与驶的时间 t(单位:小时)的函数图 象如图所示,结合图象信息,解答下列问题: (1)甲车的速度是_____千米/时,在图中括号内填入正确的数; (2)求图象中线段 MN 所在直线的函数解析式,不需要写出自变量的取值范围; (3)直接写出甲车出发后几小时,两车距 C 市的路程之和是 460 千米. 【答案】(1)60,10;(2)y = 80t-320;(3)甲车出发 1 3 小时或 9 小时时,两车距 C 市的路程之和是 460 千米. 【解析】 【分析】 (1)由图象分析可得甲车行驶 480km 用时为 8 小时,即可求解其速度,进而乙车速度也可知,则图中括 号内的数字也可求解; (2)利用待定系数法即可求解; (3)分析整个运动过程,分三种情况进行讨论,分别求出对应的 t 即可求解. 【详解】(1)由图象可知甲车在 8t  时行驶到 C 市,此时行驶的路程为 480km ,故速度为 480 60km/h8  , ∴乙车的行驶速度为: 60 20 80km/h  , ∴乙车由 C 市到 A 市需行驶 480 6h80  , ∴图中括号内的数为 4 6 10  , 故答案为:60,10; (2)设线段 MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) . 把点 M(4,0),N(10,480)代入 y = kt + b,得: 4 0 10 480 k b k b      , 解得: 80 320 k b     , ∴线段 MN 所在直线的函数解析式为 y = 80t-320. (3)若在乙车出发之前,即 4t  时,则 480 60 460t  ,解得 1 3t  ; 若乙车出发了且甲车未到 C 市时,即 4 8t  时,则  480 60 80 4 460t t    ,解得 17t  (舍); 若乙车出发了且甲车已到 C 市时,即 8t  时,则  60 480 80 4 460t t    ,解得 9t  ; 综上,甲车出发 1 3 小时或 9 小时时,两车距 C 市的路程之和是 460 千米. 【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函 数的性质解答. 26.∆ABC 中,点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内,点 F 在 BC 的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180º. (1)如图①,求证 AD+BC=BE; (2)如图②、图③,请分别写出线段 AD,BC,BE 之间的数量关系,不需要证明; (3)若 BE⊥BC,tan∠BCD= 3 4 ,CD=10,则 AD=______. 【答案】(1)见解析;(2)图②结论:BC-AD = BE,图③结论:AD-BC = BE;(3)14-6 2 或 2+6 2 . 【解析】 【分析】 (1)证明∠EAB=∠BCD,用 ASA 证明△EAB≌△DCB,可得 AD+BC=BE; (2)利用(1)的解题思路,证明△EAB≌△DCB,即可得到图②的结论 BC-AD = BE;图③的结论 AD -BC = BE; (3)利用(2)的结论,过点 D 作 BC 边长的垂线,构造直角三角形,结合 tan∠BCD= 3 4 ,计算相应边的 长度,即可得到 AD 的值. 【详解】(1)证明:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD, ∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC, ∴AD+BC=AD+AB=BD=BE. (2)图②结论:BC-AD = BE, 证明如下:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD, ∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC, ∴BA-AD=BC-AD= BE,即 BC-AD=BE 图③结论:AD-BC = BE. 证明如下:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD, ∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC, ∴AD-AB=AD-BC= BD=BE,即 AD-AB=BE (3)如图②所示,作 DG BC 于 G 由(2)知△EAB≌△DCB,∴ EBA ABC   ∵ BE BC ∴ 45EBA ABC     在 Rt DCG 中,CD=10, 3tan 4 DGBCD GC    ,∴ 6, 8, 14DG GC BC   在 Rt BDG 中, 6BG DG  , 6 2BD  ∴ 14 6 2AD AB BD BC BD      如图③所示,作 DH BC 于 H 由(2)知△EAB≌△DCB,∴ DBC EBAÐ = Ð ∴ DBE CBA HBD     ∵ BE BC ∴ 45HBD DBE     在 Rt DCHV 中,CD=10, 3tan 4 DHBCD HC    ,∴ 6, 8DH HC  在 Rt BDH 中, 6BH DH  , 6 2BD  ∴ 8 6 6 2 2 6 2AD AB BD BC BD         综上所述:AD 的长度为 14-6 2 或 2+6 2 . 【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究,快速确定全等三角形,并准确利用全等三角形的性质是 解题的关键. 27.某商场准备购进 A、B 两种型号电脑,每台 A 型号电脑进价比每台 B 型号电脑多 500 元,用 40 000 元购 进 A 型号电脑的数量与用 30 000 元购进 B 型号电脑的数量相同,请解答下列问题: (1)A,B 型号电脑每台进价各是多少元? (2)若每台 A 型号电脑售价为 2 500 元,每台 B 型号电脑售价为 1 800 元,商场决定同时购进 A,B 两种 型号电脑 20 台,且全部售出,请写出所获的利润 y(单位:元)与 A 型号电脑 x(单位:台)的函数关系式, 若商场用不超过 36 000 元购进 A,B 两种型号电脑,A 型号电脑至少购进 10 台,则有几种购买方案? (3)在(2)问的条件下,将不超过所获得的最大利润再次购买 A,B 两种型号电脑捐赠给某个福利院,请 直接写出捐赠 A,B 型号电脑总数最多是多少台. 【答案】(1)每台 A 型号电脑进价为 2000 元,每台 B 型号电脑进价为 1500 元;(2) 200 6000y x  , 有三种方案;(3)捐赠 A,B 型号电脑总数最多是 5 台. 【解析】 【分析】 (1)设每台 A 型号电脑进价为 a 元.,则每台 B 型号电脑进价为 500a  元,根据题意列出分式方程求解 即可; (2)若 A 型号电脑 x 台,则 B 型号电脑  20 x 台,根据题意列出 y 与 x 的关系式;根据题意可列出关于 x 的一元一次不等式组  2000 1500 20 36000 10 x x x     ,求解即可得到方案; (3)根据(2)得到最大利润,优先购买 B 型号电脑,即可求解. 【详解】(1)设每台 A 型号电脑进价为 a 元.,则每台 B 型号电脑进价为  500a  元, 由题意,得 40000 30000 500a a   ,解得:a=2000, 经检验 a=2000 是原方程的解,且符合题意, 2000-500=1500(元). 答:每台 A 型号电脑进价为 2000 元,每台 B 型号电脑进价为 1500 元. (2)由题意,得 y=(2500-2000)x+(1800-1500)(20-x)=200x+6000, ∵  2000 1500 20 36000 10 x x x     ,解得10 12x  , ∵x 是整数,∴x=10,11,12,∴有三种方案. (3)∵利润 200 6000y x  ,随 x 的增大而增大, ∴当 12x  时可获得最大利润,最大利润为 200 12 6000 8400   (元), 若要使捐赠 A,B 型号电脑总数尽可能多,则优先购买 B 型号电脑,可购买 5 台, 所以捐赠 A,B 型号电脑总数最多 5 台. 【点睛】本题考查分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用,一次函数的实际应用等内容,理 解题意并列出方程或不等式组是解题的关键. 28.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上,OA 在 y 轴上.O 为坐标原点,AB//OC, 线段 OA,AB 的长分别是方程 x2-9x+20=0 的两个根(OA