2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校中考数学试题 28页

牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校 2020 年初中毕业学业考试数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 2 个．故选 B． 2.下列运算正确的是（ ） A. (a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B. 2 21 1( )2 4a a   C. －2(3a－1)=－6a＋1 D. (a＋3)(a－3)=a2－9 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择． 【详解】A、原式＝ 2 2 2 22 2 2a ab ab b a ab b      ，故此选项错误； B、原始＝ 2 1 4a a  ，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误； C、原式＝ 6 2a  ，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误； D、原式＝a2－9，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键． 3.如图是由 5 个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个 几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，有 1 个立方块；中 间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块；右边是 1 竖列，有 1 个立方块；结合四个选项选出答案． 【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，中间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块，右边是 1 竖列． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能 力． 4.现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色 外完全相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ） A. 1 3 B. 4 9 C. 3 5 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为 4 9 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等 可能的结果列举出来，难度不大． 5.一组数据 4，4，x，8，8 有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ） A. 28 5 B. 32 5 或 5 C. 28 5 或 32 5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 因为这组数据有唯一的众数，那么众数可能是 4，也可能是 8，分情况讨论即可． 【详解】解：当众数为 4 时，x=4，   284 4 4 8 8 5 5x        ， 当众数为 8 时，x=8，   324 4 8 8 8 5 5x        ， 即这组数据的平均数是 28 5 或 32 5 ． 故答案为：C． 【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解，在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数． 6.如图，在△ABC 中，sinB= 1 3 ， tanC=2，AB=3，则 AC 的长为（ ） A. 2 B. 5 2 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，先由 sin∠B 及 AB=3 算出 AH 的长，再由 tan∠C 算出 CH 的长，最后在 Rt△ACH 中由勾股定理即可算出 AC 的长． 【详解】解：过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，如下图所示： 由 1sin = 3   AHB AB ，且 =3AB 可知， =1AH ， 由 tan =2  AHC CH ，且 =1AH 可知， 1 2CH  ， ∴在 Rt ACH 中，由勾股定理有： 2 2 2 21 51 ( )2 2     AC AH CH ． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造 直角三角形进而求解． 7.如图，点 , ,A B S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍，则 ASB 的度数是( )． A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为O ，连接OA OB、 ，如图，先证明 OAB 为等腰直角三角形得到 90AOB   ，然后根据圆周角 定理确定 ASB 的度数． 【详解】解：设圆心为O ，连接OA OB、 ，如图， ∵弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍， 即 2AB OA ， ∴ 2 2 2OA OB AB  ， ∴ OAB 为等腰直角三角形， 90AOB   ， ∴ 1 452ASB AOB    °． 故选 C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半． 8.若 2 1 a b    是二元一次方程组 3 52 2 ax by ax by       的解，则 x＋2y 的算术平方根为（ ） A. 3 B. 3，－3 C. 3 D. 3 ，－ 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将 2 1 a b    代入二元一次方程组中解出 x 和 y 的值，再计算 x＋2y 的算术平方根即可． 【详解】解：将 2 1 a b    代入二元一次方程 3 52 2 ax by ax by       中， 得到： 3 5 2 2      x y x y ，解这个关于 x 和 y 的二元一次方程组， 两式相加，解 7 5x  得，将 7 5x  回代方程中，解得 4 5y  ， ∴ 7 4 152 2 35 5 5      x y ， ∴x＋2y 的算术平方根为 3 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解 决本题的关键． 9.如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的坐标为（2，2 3 )，将菱形绕点 O 旋转，当点 A 落在 x 轴上时，点 C 的对应点的坐标为（ ） A. ( 2 2 )3 , 或 (2 3, 2) B. (2,2 3) C. ( 2,2 3) D. ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) 【答案】D 【解析】 【分析】 如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点 A 有两次 落在 x 轴上，当点 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当 A 落 在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置，易证此时 C′′与点 A 重合，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E， 则 2 3tan AOE= = 32 ∠ ，OA=  222 2 3 =4 ， ∴∠AOE=60°， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴△AOB 是等边三角形， 当 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置， 此时旋转角为 60°， ∵∠BOC=60°，∠COF=30°， ∴∠C′OF=60°-30°=30°， ∵OC′=OA=4， ∴OF= C'Ocos C'OF=2 3∠ ， C′F= C'Osin C'OF=2∠ ， ∴C′（ 2, 2 3  ）， 当 A 落在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置， ∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°， ∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30° 又∵OA=OC′′， ∴此时 C′′点 A 重合，C C′′ (2,2 3) ， 综上，点 C 的对应点的坐标为 ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) ， 故答案为：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点 A 的运动情 况，分情况讨论． 10.若关于 x 的分式方程 2 1 m x x  有正整数解，则整数 m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4 【答案】D 【解析】 【分析】 解带参数 m 的分式方程，得到 212 2 mx m m     ，即可求得整数 m 的值． 【详解】解： 2 1 m x x  ， 两边同时乘以  1x x  得：  2 1x m x  ， 去括号得： 2x mx m  ， 移项得： 2x mx m   ， 合并同类项得： 2 m x m   ， 系数化为 1 得： 212 2 mx m m     ， 若 m 为整数，且分式方程有正整数解，则 3m  或 4m  ， 当 3m  时， 3x  是原分式方程的解； 当 4m  时， 2x  是原分式方程的解； 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为 0 这个条件． 11.如图，A，B 是双曲线 ky x  上的两个点，过点 A 作 AC⊥x 轴，交 OB 于点 D，垂足为 C，若△ODC 的 面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（ ） A. 3 4 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 过点 B 作 BE x⊥ 轴，易得 DCO BEO△ ∽△ ，得到 4BEOS △ ，即可求解 k 的值． 【详解】解：如图，过点 B 作 BE x⊥ 轴，设  ,B a b ，则  ,0E a ， ∵ BE x⊥ 轴， DC x 轴， ∴ DCO BEO   ， ∴ DCO BEO△ ∽△ ， ∵D 为 OB的中点， ∴ 1 4 DCO BEO S S △ △ ， ∴ 4BEOS △ ， 即 1 42 ab  ，解得 8ab  ， ∴k 的值为 8， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得 到两个相似的三角形． 12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 1 2x  ，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0； ②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 1 5( )2 y ， ， 2 5( )2 y， 是抛物线上的两点，则 y1m(am+b) (其 中 m≠ 1 2 )．其中说法正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到 0a  ，根据抛物线的对称轴得 0b a   ，则 2 0a b  ，根据抛物线与 y 轴的交 点在 x 轴上方得到 0c  ，则 0abc  ，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与 x 轴的交点，求得另一个 交点，由根与系数的关系即可得出 2c a  ，则得到 2 0b c   ，于是可对②进行判断；由于经过点 (2,0) ， 则得到 4 2 0a b c   ，则可对③进行判断；通过点 5( 2  ， 1)y 和点 5(2 ， 2 )y 离对称轴的远近对④进行判断； 根据抛物线的对称轴为直线 1 2x  ，开口向下，得到当 1 2x  时，y 有最大值，所以 1 1 ( )4 2a b m am b   （其 中 1)2m  ，由  a b 代入则可对⑤进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向下， 0a  ，  抛物线对称轴为直线 1 2 2 bx a    ， 0b a    ，  抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 0c  ， 0abc  ，所以①正确；  对称轴为 1 2x  ，且经过点 (2,0) ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ，  1 2 2c a      ， 2c a   ， 2 2 2 0b c a a     ，所以②正确；  抛物线经过点 (2,0) ， 2x  时， 0y  ， 4 2 0a b c    ，所以③错误；  点 5( 2  ， 1)y 离对称轴要比点 5(2 ， 2 )y 离对称轴要远， 1 2y y  ，所以④正确．  抛物线的对称轴为直线 1 2x  ， 当 1 2x  时， y 有最大值，  21 1 4 2a b c am bm c     （其中 1)2m  ，  1 1 ( )4 2a b m am b   （其中 1)2m  ， a b  ， 1 1 ( )4 2b b m am b    ，  1 ( )4 b m am b  ，所以⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    ，二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小，当 0a  时，抛物线开口向上；当 0a  时，抛物线开口向下；一次项系数b 和二 次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与b 同号时（即 0)ab  ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与b 异号时（即 0)ab  ，对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 y 轴交于 (0, )c ．抛物线与 x 轴交点个数： △ 2 4 0b ac   时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ 2 4 0b ac   时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △ 2 4 0b ac   时，抛物线与 x 轴没有交点． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 13.一周时间有 604800 秒，604800 用科学记数法表示 为______． 【答案】 56.048 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】 5604800 6.048 10  ， 故答案为： 56.048 10 ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14.如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形 ABCD 是平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD=BC（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件 AD=BC， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件 AB∥DC， 本题只需添加一个即可， 故答案为：AD=BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 15.在函数 2 1 xy x   中，自变量 x 的取值范围是_______． 【答案】 1 2x  【解析】 【分析】 直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：函数 2 1 xy x   中： 2 1 0 2 1 0 x x      ， 解得： 1 2x  ． 故答案为： 1 2x  ． 【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键． 16.“元旦”期间，某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%，则该书包的进价是____元． 【答案】80 【解析】 【分析】 根据题意设出方程，解出即可． 【详解】设书包进价是 x 元，由题意得： 130×0.8－x=30%x 解得 x=80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系． 17.将抛物线 y=(x－1)2－5 关于 y 轴对称，再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_____． 【答案】(2，－5) 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解． 【详解】抛物线 y=(x－1)2－5 的顶点为（1，-5）， ∴关于 y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移 3 个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：(2，－5) ． 【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中一共有 4 个圆，第 2 个图形中一共 有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去，第 9 个图 形中圆的个数是___个． 【答案】92 【解析】 【分析】 根据图形得出第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   进行解答即可． 【详解】解：因为第 1 个图形中一共有1 (1 1) 2 4    个圆， 第 2 个图形中一共有 2 (2 1) 2 8    个圆， 第 3 个图形中一共有 3 (3 1) 2 14    个圆， 第 4 个图形中一共有 4 (4 1) 2 22    个圆； 可得第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   ； 所以第 9 个图形中圆的个数 9 (9 1) 2 92    ， 故答案为：92． 【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n   是解决本 题的关键． 19.在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB 垂直于弦 CD，垂足为 P，AB=CD=4，则 S△ACP=______． 【答案】 1 2 或 3 2 或 9 2 【解析】 【分析】 作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F，连接 OD、OB，则可以求出 OE、OF 的长度，进而求出 OP 的 长度，进一步得 PE 与 PF 长度，最后可求出答案. 【详解】如图所示，作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F， ∴AE=BE= 1 AB2 =2，DF=CF= 1 2 CD =2， 在 Rt OBE△ 中， ∵OB= 5 ，BE=2， ∴OE=1， 同理可得 OF=1， ∵AB 垂直于 CD， ∴四边形 OEPF 为矩形， 又∵OE=OF=1， ∴四边形 OEPF 为正方形， 又∵ ACPS△ 有如图四种情况， ∴（1） ACPS△ = 1 2 AP∙CP= 1 2 ×1×3= 3 2 ， （2） ACPS△ = 1 2 AP∙PC= 1 2 ×1×1= 1 2 ， （3） ACPS△ = 1 2 PC∙PA= 1 2 ×3×3= 9 2 ， （4） ACPS△ = 1 2 AP∙PC= 1 2 ×3×1= 3 2 ， 故答案为： 1 2 或 3 2 或 9 2 【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键. 20.正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC； ②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5； ⑦ BF:EF= 3 5 :5．其中结论正确的序号有_____． 【答案】①②③④⑤⑥⑦ 【解析】 【分析】 设正方形的边长为 3，假设 F 为 DC 的中点，证明 RtRt EDF PCF   进而证明 PE=PB 可得假设成立， 故 可 对 ① 进 行 判 断 ； 由 勾 股 定 理 求 出 EF 的 长 即 可 对 ② 进 行 判 断 ； 过 B 作 BG⊥EF ， 证 明 Rt BFG Rt BFC   即可对③进行判断；过点 E 作 EH⊥BF，利用三角形 BEF 的面积求出 EH 和 BH 的长， 判 断 △BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 对 ④ 进 行 判 断 ； 过 F 作 FQ//AD ， 利 用 平 行 线 的 性 质 得 DEF CBF BFE     ，从而可对⑤进行判断；根据 DE，DF，EF 的长可对⑥进行判断；根据 BF 和 CF 的长可对⑦进行判断． 【详解】如图，不妨设正方形 ABCD 的边长为 3，即 3AB BC CD DA    ， 3AB AE ， 1AE  ， 2DE  ， ①假设 F 为 CD 的中点，延长 EF 交 BC 的延长线于点 P， 在 Rt EDF 和 Rt PCF  中 90 DF CF EFD PFC D PCF          RtRt EDF PCF    2PC DE   由勾股定理得， 2 2 3 52 2 2EF PF       ， 5PE EF PF    ， 3 2 5BP BC PC     ， PE PB  ， PEB PBE   ，故假设成立， DF FC  ，故①正确； ② 1AE  ， 3 2DF  ， 3 51 2 2AE DF     ， 而 5 2EF  ， AE DF EF   ，故②正确； ③过 B 作 BG EF ，垂足为 G， ABCD BEF ABE DEF BCES S S S S      正方形 2 1 1 3 1 33 3 1 2 32 2 2 2 2           15 4  而 1 15 2 4EF BG   3BG  BG BC  在 Rt BGF 和 Rt BCF 中， BG BC BF BF    ∴ Rt BGF Rt BCF  BFG BFC   ， 即 BFE BFC   ，故③正确； ④过 E 和 EH BF ，垂足为 H， ∵ 15 4BEFS  ， 又 2 2 3 5 2BF BC CF   ， 1 15 2 4BEFS EH BF     ， 5EH  在 Rt EHF 中， 5EH  ， 5 2FF  ， 5 2HF  5BH  在 tR ABE 中， 1AE  ， 3AB  10BE  ， 而 2 2 2( 5) ( 5) ( 10)  2 2 2BH EH BE   BHE 是等腰直角三角形， 45EBF  ， 90 45ABE CBE EBF      ，故④正确； ⑤过 F 作 FQ// AD，交 AB 于 Q，则 FQ// BC， DEF QFE   ， CBF QFB   ， DEF CBF BFE     BFE BFC   ， DEF CBF BFC     ，故⑤正确； ⑥ 3 2DF  ， 2DE  ， 5 2EF  : : 3:4:5DF DE EF  ，故⑥正确； ⑦ 3 5 2BF  ， 5 2EF  ， 3 5 5: : 3 5 :52 2BF EF   ，故⑦正确； 综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦． 故答案为：①②③④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理 等知识，假设出 AB=3 是解答此题的关键． 三、解答题（共 60 分） 21.先化简，再求值： 2 2 2 1 6 9 9 3 3 2 x x x x x x x      其中 x=1－2tan45°． 【答案】 3 3 x ， 3 4 ． 【解析】 【分析】 原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出 x 的值， 把 x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 2 2 2 1 6 9 9 3 3 2 x x x x x x x      = 21 ( 3) 2 3 ( 3) ( 3)( 3) x x x x x x x      = 1 2 3 3x x   = 1 2+3 3x x  ＝ 3 3 x ， 当 x＝1－2tan45°=－1 时，原式＝ 3 4 ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函 数值． 22.已知抛物线 y=a(x－2)2+c 经过点 A(－2,0)和点 C(0, 9 4 )，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（点 E 不与点 A，B 重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接 写出线段 BE 的长． 【答案】（1）y= 3 16  (x－2)2+3；顶点 D 的坐标为(2,3)；（2）BE=5． 【解析】 【分析】 （1）本题可利用待定系数法，将 A,C 两点代入抛物线求解即可． （2）本题可利用等腰三角形性质，通过角的互换证明 BD=BE，最后利用勾股定理求解 BD 即可解答． 【详解】（1）将点 A(-2,0)，C(0, 9 4 )代入 y = a(x - 2)2 + c，得： 16 0 94 4 a c a c     ，解得： 3 16 3 a c      ． ∴抛物线的解析式为 y= 3 16  (x－2)2+3 ． ∴顶点 D 的坐标为(2,3)． （2）∵A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点，D 为坐标顶点， ∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA， ∵DE=EF， ∴∠EDF=∠EFD． ∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB， ∴∠EDF=∠FEB+∠DEF， ∴∠BDE=∠BED， 故 BD=BE． ∵A(-2,0)，D(2,3)， ∴利用对称性可得 B(6,0)， 经计算 BD=5, 故 BE=5． 【点睛】本题考查二次函数，第一问为常规题目，利用待定系数法求解即可；第二问属于二次函数与几何 综合，解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题． 23.等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，∠CAD 为 90º，请 画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离． 【答案】画出图形见解析；点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 4 2 2 ． 【解析】 【分析】 根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【详解】本题有两种情况： （1）如图， ∵ ACD△ 是等腰直角三角形， 90CAD   ， ∴ 45ACD   ， ∵ 45BAC   ， ∴ //AB CD ， ∴点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离， 过点 A 作 AE CD ， ∵ 4AB AC  ， ∴ 2 2 2 ACAE   ， ∴点 B 到 CD 的距离为 2 2 ； （2）如图： ∵ ACD△ 是等腰直角三角形， 90CAD   ， ∴ 45ACD   ， ∵ 45BAC   ， ∴ 90AEC  ， ∴点 B 到 CD 的距离即 BE 的长， ∵ 4AB AC  ， ∴ 2 2 2 ACAE   ， ∴ 4 2 2BE AB AE    ，即点 B 到 CD 的距离为 4 2 2 ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键． 24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校 部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图 1 所示），并根据调查结果绘制了图 2、图 3 两幅统计图（均不 完整），请根据统计图解答下列问题． （1）本次接受问卷调查的学生有________名． （2）补全条形统计图． （3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为________． （4）该校共有 2000 名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数． 【答案】（1）100；（2）见解析；（3） 72 ；（4）160 人. 【解析】 【分析】 （1）根据 D 的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果和图 1 中的数据可以将条形统计图补充完完整； （3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数． 【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有： 36 36% 100  （名）， 故答案为 100； （2）喜爱 C 的有：100 8 20 36 6 30     （人）， 补全的条形统计图如右图所示； （3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为： 20360 72100    ， 故答案为 72 ； （4） 82000 160100   （人）， 答：该校最喜爱新闻节目的学生有 160 人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答． 25.A，B 两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过 C 市，甲车从 A 市到 B 市，乙车从 C 市到 A 市，甲车 的速度比乙车的速度慢 20 千米/时，两车距离 C 市的路程 y(单位：千米)与驶的时间 t(单位：小时)的函数图 象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数； （2）求图象中线段 MN 所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围； （3）直接写出甲车出发后几小时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米． 【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发 1 3 小时或 9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米． 【解析】 【分析】 （1）由图象分析可得甲车行驶 480km 用时为 8 小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括 号内的数字也可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的 t 即可求解． 【详解】（1）由图象可知甲车在 8t  时行驶到 C 市，此时行驶的路程为 480km ，故速度为 480 60km/h8  ， ∴乙车的行驶速度为： 60 20 80km/h  ， ∴乙车由 C 市到 A 市需行驶 480 6h80  ， ∴图中括号内的数为 4 6 10  ， 故答案为：60，10； （2）设线段 MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) . 把点 M（4，0），N（10，480）代入 y = kt + b，得： 4 0 10 480 k b k b      ， 解得： 80 320 k b     ， ∴线段 MN 所在直线的函数解析式为 y = 80t－320． （3）若在乙车出发之前，即 4t  时，则 480 60 460t  ，解得 1 3t  ； 若乙车出发了且甲车未到 C 市时，即 4 8t  时，则  480 60 80 4 460t t    ，解得 17t  （舍）； 若乙车出发了且甲车已到 C 市时，即 8t  时，则  60 480 80 4 460t t    ，解得 9t  ； 综上，甲车出发 1 3 小时或 9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函 数的性质解答． 26.∆ABC 中，点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内，点 F 在 BC 的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD， ∠EAB+∠DCF=180º． （1）如图①，求证 AD+BC=BE； （2）如图②、图③，请分别写出线段 AD，BC，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）若 BE⊥BC，tan∠BCD= 3 4 ，CD=10，则 AD=______． 【答案】（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6 2 或 2+6 2 . 【解析】 【分析】 （1）证明∠EAB=∠BCD，用 ASA 证明△EAB≌△DCB，可得 AD+BC=BE； （2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论 BC－AD = BE；图③的结论 AD －BC = BE； （3）利用（2）的结论，过点 D 作 BC 边长的垂线，构造直角三角形，结合 tan∠BCD= 3 4 ，计算相应边的 长度，即可得到 AD 的值． 【详解】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD+BC=AD+AB=BD=BE. （2）图②结论：BC－AD = BE， 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴BA－AD=BC－AD= BE，即 BC－AD=BE 图③结论：AD－BC = BE. 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即 AD－AB=BE （3）如图②所示，作 DG BC 于 G 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ EBA ABC   ∵ BE BC ∴ 45EBA ABC     在 Rt DCG 中，CD=10， 3tan 4 DGBCD GC    ，∴ 6, 8, 14DG GC BC   在 Rt BDG 中， 6BG DG  ， 6 2BD  ∴ 14 6 2AD AB BD BC BD      如图③所示，作 DH BC 于 H 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ DBC EBAÐ = Ð ∴ DBE CBA HBD     ∵ BE BC ∴ 45HBD DBE     在 Rt DCHV 中，CD=10， 3tan 4 DHBCD HC    ，∴ 6, 8DH HC  在 Rt BDH 中， 6BH DH  ， 6 2BD  ∴ 8 6 6 2 2 6 2AD AB BD BC BD         综上所述：AD 的长度为 14－6 2 或 2+6 2 . 【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是 解题的关键． 27.某商场准备购进 A、B 两种型号电脑，每台 A 型号电脑进价比每台 B 型号电脑多 500 元，用 40 000 元购 进 A 型号电脑的数量与用 30 000 元购进 B 型号电脑的数量相同，请解答下列问题： （1）A，B 型号电脑每台进价各是多少元？ （2）若每台 A 型号电脑售价为 2 500 元，每台 B 型号电脑售价为 1 800 元，商场决定同时购进 A，B 两种 型号电脑 20 台，且全部售出，请写出所获的利润 y(单位：元)与 A 型号电脑 x（单位：台）的函数关系式， 若商场用不超过 36 000 元购进 A，B 两种型号电脑，A 型号电脑至少购进 10 台，则有几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买 A，B 两种型号电脑捐赠给某个福利院，请 直接写出捐赠 A，B 型号电脑总数最多是多少台． 【答案】（1）每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元；（2） 200 6000y x  ， 有三种方案；（3）捐赠 A，B 型号电脑总数最多是 5 台． 【解析】 【分析】 （1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为 500a  元，根据题意列出分式方程求解 即可； （2）若 A 型号电脑 x 台，则 B 型号电脑  20 x 台，根据题意列出 y 与 x 的关系式；根据题意可列出关于 x 的一元一次不等式组  2000 1500 20 36000 10 x x x     ，求解即可得到方案； （3）根据（2）得到最大利润，优先购买 B 型号电脑，即可求解． 【详解】（1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为  500a  元， 由题意，得 40000 30000 500a a   ，解得：a=2000， 经检验 a=2000 是原方程的解，且符合题意， 2000－500=1500（元）． 答：每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元． （2）由题意，得 y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000， ∵  2000 1500 20 36000 10 x x x     ，解得10 12x  ， ∵x 是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案． （3）∵利润 200 6000y x  ，随 x 的增大而增大， ∴当 12x  时可获得最大利润，最大利润为 200 12 6000 8400   （元）， 若要使捐赠 A，B 型号电脑总数尽可能多，则优先购买 B 型号电脑，可购买 5 台， 所以捐赠 A，B 型号电脑总数最多 5 台． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理 解题意并列出方程或不等式组是解题的关键． 28.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，OA 在 y 轴上．O 为坐标原点，AB//OC， 线段 OA，AB 的长分别是方程 x2－9x+20=0 的两个根（OA