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- 2021-11-06 发布
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牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校 2020 年初中毕业学业考试数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
解:第一个图是轴对称图形,又是中心对称图形;
第二个图是轴对称图形,不是中心对称图形;
第三个图是轴对称图形,又是中心对称图形;
第四个图是轴对称图形,不是中心对称图形;
既是轴对称图形,又是中心对称图形的有 2 个.故选 B.
2.下列运算正确的是( )
A. (a+b)(a-2b)=a2-2b2 B. 2 21 1( )2 4a a
C. -2(3a-1)=-6a+1 D. (a+3)(a-3)=a2-9
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择.
【详解】A、原式= 2 2 2 22 2 2a ab ab b a ab b ,故此选项错误;
B、原始= 2 1
4a a ,根据完全平方公式可以做出判断,故此选项错误;
C、原式= 6 2a ,根据乘法分配律可以做出判断,故此选项错误;
D、原式=a2-9,故此选项正确.
故选:D.
【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则,掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键.
3.如图是由 5 个立方块搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数,则这个
几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系,从正面看去,一共三列,左边有 1 竖列,有 1 个立方块;中
间有 2 竖列,其中 1 列有 2 个立方块;右边是 1 竖列,有 1 个立方块;结合四个选项选出答案.
【详解】解:从正面看去,一共三列,左边有 1 竖列,中间有 2 竖列,其中 1 列有 2 个立方块,右边是 1
竖列.
故选:A.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图,重点考查几何体的三视图及空间想象能
力.
4.现有两个不透明的袋子,一个装有 2 个红球、1 个白球,另一个装有 1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色
外完全相同,从两个袋子中各随机摸出 1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是( )
A. 1
3 B. 4
9 C. 3
5 D. 2
3
【答案】B
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得.
【详解】解:列表如下:
黄 红 红
红 (黄,红) (红,红) (红,红)
红 (黄,红) (红,红) (红,红)
白 (黄,白) (红,白) (红,白)
由表知,共有 9 种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果,
所以摸出的两个球颜色相同的概率为 4
9
.
故选:B.
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式,解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等
可能的结果列举出来,难度不大.
5.一组数据 4,4,x,8,8 有唯一的众数,则这组数据的平均数是( )
A. 28
5 B. 32
5
或 5 C. 28
5
或 32
5 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
因为这组数据有唯一的众数,那么众数可能是 4,也可能是 8,分情况讨论即可.
【详解】解:当众数为 4 时,x=4, 284 4 4 8 8 5 5x ,
当众数为 8 时,x=8, 324 4 8 8 8 5 5x ,
即这组数据的平均数是 28
5
或 32
5
.
故答案为:C.
【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解,在一组数据中,出现次数最多的数就是这组数据的众数.
6.如图,在△ABC 中,sinB= 1
3
, tanC=2,AB=3,则 AC 的长为( )
A. 2 B. 5
2
C. 5 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点,先由 sin∠B 及 AB=3 算出 AH 的长,再由 tan∠C 算出 CH 的长,最后在 Rt△ACH
中由勾股定理即可算出 AC 的长.
【详解】解:过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点,如下图所示:
由 1sin = 3
AHB AB
,且 =3AB 可知, =1AH ,
由 tan =2 AHC CH
,且 =1AH 可知, 1
2CH ,
∴在 Rt ACH 中,由勾股定理有: 2 2 2 21 51 ( )2 2
AC AH CH .
故选:B.
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识,如果图形中无直角三角形时,可以通过作垂线构造
直角三角形进而求解.
7.如图,点 , ,A B S 在圆上,若弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍,则 ASB 的度数是( ).
A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心为O ,连接OA OB、 ,如图,先证明 OAB 为等腰直角三角形得到 90AOB ,然后根据圆周角
定理确定 ASB 的度数.
【详解】解:设圆心为O ,连接OA OB、 ,如图,
∵弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍,
即 2AB OA ,
∴ 2 2 2OA OB AB ,
∴ OAB 为等腰直角三角形, 90AOB ,
∴ 1 452ASB AOB °.
故选 C.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的
圆心角的一半.
8.若 2
1
a
b
是二元一次方程组
3 52
2
ax by
ax by
的解,则 x+2y 的算术平方根为( )
A. 3 B. 3,-3 C. 3 D. 3 ,- 3
【答案】C
【解析】
【分析】
将 2
1
a
b
代入二元一次方程组中解出 x 和 y 的值,再计算 x+2y 的算术平方根即可.
【详解】解:将 2
1
a
b
代入二元一次方程
3 52
2
ax by
ax by
中,
得到: 3 5
2 2
x y
x y
,解这个关于 x 和 y 的二元一次方程组,
两式相加,解 7
5x 得,将 7
5x 回代方程中,解得 4
5y ,
∴ 7 4 152 2 35 5 5
x y ,
∴x+2y 的算术平方根为 3 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法,算术平方根的概念等,熟练掌握二元一次方程组的解法是解
决本题的关键.
9.如图,在菱形 OABC 中,点 B 在 x 轴上,点 A 的坐标为(2,2 3 ),将菱形绕点 O 旋转,当点 A 落在 x
轴上时,点 C 的对应点的坐标为( )
A. ( 2 2 )3 , 或 (2 3, 2) B. (2,2 3)
C. ( 2,2 3) D. ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3)
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示,过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,根据题意易得△AOB 为等边三角形,在旋转过程中,点 A 有两次
落在 x 轴上,当点 A 落在 x 轴正半轴时,点 C 落在点 C′位置,利用旋转的性质和菱形的性质求解,当 A 落
在 x 轴负半轴时,点 C 落在点 C′′位置,易证此时 C′′与点 A 重合,即可求解.
【详解】解:如图所示,过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,
则 2 3tan AOE= = 32
∠ ,OA= 222 2 3 =4 ,
∴∠AOE=60°,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴△AOB 是等边三角形,
当 A 落在 x 轴正半轴时,点 C 落在点 C′位置,
此时旋转角为 60°,
∵∠BOC=60°,∠COF=30°,
∴∠C′OF=60°-30°=30°,
∵OC′=OA=4,
∴OF= C'Ocos C'OF=2 3∠ ,
C′F= C'Osin C'OF=2∠ ,
∴C′( 2, 2 3 ),
当 A 落在 x 轴负半轴时,点 C 落在点 C′′位置,
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°,
∴∠A′′OC=120°,∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′,
∴此时 C′′点 A 重合,C C′′ (2,2 3) ,
综上,点 C 的对应点的坐标为 ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) ,
故答案为:D.
【点睛】本题考查菱形的性质,解直角三角形和旋转的性质,解题的关键是根据题意,分析点 A 的运动情
况,分情况讨论.
10.若关于 x 的分式方程 2
1
m
x x
有正整数解,则整数 m 的值是( )
A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4
【答案】D
【解析】
【分析】
解带参数 m 的分式方程,得到 212 2
mx m m
,即可求得整数 m 的值.
【详解】解: 2
1
m
x x
,
两边同时乘以 1x x 得: 2 1x m x ,
去括号得: 2x mx m ,
移项得: 2x mx m ,
合并同类项得: 2 m x m ,
系数化为 1 得: 212 2
mx m m
,
若 m 为整数,且分式方程有正整数解,则 3m 或 4m ,
当 3m 时, 3x 是原分式方程的解;
当 4m 时, 2x 是原分式方程的解;
故选:D.
【点睛】本题考查分式方程的解,始终注意分式方程的分母不为 0 这个条件.
11.如图,A,B 是双曲线 ky x
上的两个点,过点 A 作 AC⊥x 轴,交 OB 于点 D,垂足为 C,若△ODC 的
面积为 1,D 为 OB 的中点,则 k 的值为( )
A. 3
4 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
过点 B 作 BE x⊥ 轴,易得 DCO BEO△ ∽△ ,得到 4BEOS △ ,即可求解 k 的值.
【详解】解:如图,过点 B 作 BE x⊥ 轴,设 ,B a b ,则 ,0E a ,
∵ BE x⊥ 轴, DC x 轴,
∴ DCO BEO ,
∴ DCO BEO△ ∽△ ,
∵D 为 OB的中点,
∴ 1
4
DCO
BEO
S
S
△
△
,
∴ 4BEOS △ ,
即 1 42 ab ,解得 8ab ,
∴k 的值为 8,
故选:D.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标,解题的关键是作出辅助线,得
到两个相似的三角形.
12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为 1
2x ,且经过点(2,0). 下列说法:①abc<0;
②-2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若 1
5( )2 y , , 2
5( )2 y, 是抛物线上的两点,则 y1m(am+b) (其
中 m≠ 1
2 ).其中说法正确的是( )
A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 0a ,根据抛物线的对称轴得 0b a ,则 2 0a b ,根据抛物线与 y 轴的交
点在 x 轴上方得到 0c ,则 0abc ,于是可对①进行判断;根据对称轴和一个与 x 轴的交点,求得另一个
交点,由根与系数的关系即可得出 2c a ,则得到 2 0b c ,于是可对②进行判断;由于经过点 (2,0) ,
则得到 4 2 0a b c ,则可对③进行判断;通过点 5( 2
, 1)y 和点 5(2
, 2 )y 离对称轴的远近对④进行判断;
根据抛物线的对称轴为直线 1
2x ,开口向下,得到当 1
2x 时,y 有最大值,所以 1 1 ( )4 2a b m am b (其
中 1)2m ,由 a b 代入则可对⑤进行判断.
【详解】解: 抛物线开口向下,
0a ,
抛物线对称轴为直线 1
2 2
bx a
,
0b a ,
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,
0c ,
0abc ,所以①正确;
对称轴为 1
2x ,且经过点 (2,0) ,
抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ,
1 2 2c
a
,
2c a ,
2 2 2 0b c a a ,所以②正确;
抛物线经过点 (2,0) ,
2x 时, 0y ,
4 2 0a b c ,所以③错误;
点 5( 2
, 1)y 离对称轴要比点 5(2
, 2 )y 离对称轴要远,
1 2y y ,所以④正确.
抛物线的对称轴为直线 1
2x ,
当 1
2x 时, y 有最大值,
21 1
4 2a b c am bm c (其中 1)2m ,
1 1 ( )4 2a b m am b (其中 1)2m ,
a b ,
1 1 ( )4 2b b m am b ,
1 ( )4 b m am b ,所以⑤正确;
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数 2 ( 0)y ax bx c a ,二次项系数 a 决定抛
物线的开口方向和大小,当 0a 时,抛物线开口向上;当 0a 时,抛物线开口向下;一次项系数b 和二
次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与b 同号时(即 0)ab ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与b 异号时(即
0)ab ,对称轴在 y 轴右.(简称:左同右异).抛物线与 y 轴交于 (0, )c .抛物线与 x 轴交点个数:
△ 2 4 0b ac 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△ 2 4 0b ac 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;
△ 2 4 0b ac 时,抛物线与 x 轴没有交点.
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
13.一周时间有 604800 秒,604800 用科学记数法表示 为______.
【答案】 56.048 10
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,
小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝
对值<1 时,n 是负数.
【详解】 5604800 6.048 10 ,
故答案为: 56.048 10 .
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整
数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
14.如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件____,使四边形
ABCD 是平行四边形(填一个即可).
【答案】AD=BC(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可.
【详解】解:根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可以添加条件 AD=BC,
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可以添加条件 AB∥DC,
本题只需添加一个即可,
故答案为:AD=BC(答案不唯一).
【点睛】本题考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
15.在函数
2 1
xy
x
中,自变量 x 的取值范围是_______.
【答案】 1
2x
【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
【详解】解:函数
2 1
xy
x
中: 2 1 0
2 1 0
x
x
,
解得: 1
2x .
故答案为: 1
2x .
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围,正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键.
16.“元旦”期间,某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%,则该书包的进价是____元.
【答案】80
【解析】
【分析】
根据题意设出方程,解出即可.
【详解】设书包进价是 x 元,由题意得:
130×0.8-x=30%x
解得 x=80.
故答案为:80.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用,关键在于根据题意找出等量关系.
17.将抛物线 y=(x-1)2-5 关于 y 轴对称,再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_____.
【答案】(2,-5)
【解析】
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标,再根据题意进行变换即可求解.
【详解】抛物线 y=(x-1)2-5 的顶点为(1,-5),
∴关于 y 轴对称的坐标为(-1,-5),再向右平移 3 个单位长度后的坐标为(2,-5),
故答案为:(2,-5) .
【点睛】此题主要考查抛物线顶点,解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点.
18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的,其中第 1 个图形中一共有 4 个圆,第 2 个图形中一共
有 8 个圆,第 3 个图形中一共有 14 个圆,第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去,第 9 个图
形中圆的个数是___个.
【答案】92
【解析】
【分析】
根据图形得出第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n 进行解答即可.
【详解】解:因为第 1 个图形中一共有1 (1 1) 2 4 个圆,
第 2 个图形中一共有 2 (2 1) 2 8 个圆,
第 3 个图形中一共有 3 (3 1) 2 14 个圆,
第 4 个图形中一共有 4 (4 1) 2 22 个圆;
可得第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n ;
所以第 9 个图形中圆的个数 9 (9 1) 2 92 ,
故答案为:92.
【点睛】本题考查图形的变换规律,根据图形的排列规律得到第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n 是解决本
题的关键.
19.在半径为 5 的⊙O 中,弦 AB 垂直于弦 CD,垂足为 P,AB=CD=4,则 S△ACP=______.
【答案】 1
2
或 3
2
或 9
2
【解析】
【分析】
作 OE 垂直于 AB 于 E,OF 垂直于 CD 于 F,连接 OD、OB,则可以求出 OE、OF 的长度,进而求出 OP 的
长度,进一步得 PE 与 PF 长度,最后可求出答案.
【详解】如图所示,作 OE 垂直于 AB 于 E,OF 垂直于 CD 于 F,
∴AE=BE= 1 AB2 =2,DF=CF= 1
2 CD =2,
在 Rt OBE△ 中,
∵OB= 5 ,BE=2,
∴OE=1,
同理可得 OF=1,
∵AB 垂直于 CD,
∴四边形 OEPF 为矩形,
又∵OE=OF=1,
∴四边形 OEPF 为正方形,
又∵ ACPS△ 有如图四种情况,
∴(1) ACPS△ = 1
2 AP∙CP= 1
2 ×1×3= 3
2
,
(2) ACPS△ = 1
2 AP∙PC= 1
2 ×1×1= 1
2
,
(3) ACPS△ = 1
2 PC∙PA= 1
2 ×3×3= 9
2
,
(4) ACPS△ = 1
2 AP∙PC= 1
2 ×3×1= 3
2
,
故答案为: 1
2
或 3
2
或 9
2
【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用,熟练掌握方法是关键.
20.正方形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 CD 上,若∠BEF=∠EBC,AB=3AE,则下列结论:①DF=FC;
②AE+DF=EF;③∠BFE=∠BFC;④∠ABE+∠CBF=45°;⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC;⑥ DF:DE:EF=3:4:5;
⑦ BF:EF= 3 5 :5.其中结论正确的序号有_____.
【答案】①②③④⑤⑥⑦
【解析】
【分析】
设正方形的边长为 3,假设 F 为 DC 的中点,证明 RtRt EDF PCF 进而证明 PE=PB 可得假设成立,
故 可 对 ① 进 行 判 断 ; 由 勾 股 定 理 求 出 EF 的 长 即 可 对 ② 进 行 判 断 ; 过 B 作 BG⊥EF , 证 明
Rt BFG Rt BFC 即可对③进行判断;过点 E 作 EH⊥BF,利用三角形 BEF 的面积求出 EH 和 BH 的长,
判 断 △BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 对 ④ 进 行 判 断 ; 过 F 作 FQ//AD , 利 用 平 行 线 的 性 质 得
DEF CBF BFE ,从而可对⑤进行判断;根据 DE,DF,EF 的长可对⑥进行判断;根据 BF 和
CF 的长可对⑦进行判断.
【详解】如图,不妨设正方形 ABCD 的边长为 3,即 3AB BC CD DA ,
3AB AE ,
1AE , 2DE ,
①假设 F 为 CD 的中点,延长 EF 交 BC 的延长线于点 P,
在 Rt EDF 和 Rt PCF 中
90
DF CF
EFD PFC
D PCF
RtRt EDF PCF
2PC DE
由勾股定理得,
2
2 3 52 2 2EF PF
,
5PE EF PF , 3 2 5BP BC PC ,
PE PB ,
PEB PBE ,故假设成立,
DF FC ,故①正确;
② 1AE , 3
2DF ,
3 51 2 2AE DF ,
而 5
2EF ,
AE DF EF ,故②正确;
③过 B 作 BG EF ,垂足为 G,
ABCD BEF ABE DEF BCES S S S S 正方形
2 1 1 3 1 33 3 1 2 32 2 2 2 2
15
4
而 1 15
2 4EF BG
3BG
BG BC
在 Rt BGF 和 Rt BCF 中,
BG BC
BF BF
∴ Rt BGF Rt BCF
BFG BFC ,
即 BFE BFC ,故③正确;
④过 E 和 EH BF ,垂足为 H,
∵ 15
4BEFS ,
又 2 2 3 5
2BF BC CF ,
1 15
2 4BEFS EH BF ,
5EH
在 Rt EHF 中, 5EH , 5
2FF ,
5
2HF
5BH
在 tR ABE 中, 1AE , 3AB
10BE ,
而 2 2 2( 5) ( 5) ( 10)
2 2 2BH EH BE
BHE 是等腰直角三角形,
45EBF ,
90 45ABE CBE EBF ,故④正确;
⑤过 F 作 FQ// AD,交 AB 于 Q,则 FQ// BC,
DEF QFE , CBF QFB ,
DEF CBF BFE
BFE BFC ,
DEF CBF BFC ,故⑤正确;
⑥ 3
2DF , 2DE , 5
2EF
: : 3:4:5DF DE EF ,故⑥正确;
⑦ 3 5
2BF , 5
2EF ,
3 5 5: : 3 5 :52 2BF EF ,故⑦正确;
综上所述,正确的结论是①②③④⑤⑥⑦.
故答案为:①②③④⑤⑥⑦.
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
等知识,假设出 AB=3 是解答此题的关键.
三、解答题(共 60 分)
21.先化简,再求值:
2 2
2
1 6 9 9
3 3 2
x x x
x x x x
其中 x=1-2tan45°.
【答案】 3
3 x
, 3
4
.
【解析】
【分析】
原式第二项利用除法法则变形,约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果,再计算出 x 的值,
把 x 的值代入计算即可求出值.
【详解】解:
2 2
2
1 6 9 9
3 3 2
x x x
x x x x
=
21 ( 3) 2
3 ( 3) ( 3)( 3)
x x
x x x x x
= 1 2
3 3x x
= 1 2+3 3x x
= 3
3 x
,
当 x=1-2tan45°=-1 时,原式= 3
4
.
【点睛】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键,同时还考查了特殊角的三角函
数值.
22.已知抛物线 y=a(x-2)2+c 经过点 A(-2,0)和点 C(0, 9
4 ),与 x 轴交于另一点 B,顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标;
(2)如图,点 E,F 分别在线段 AB,BD 上(点 E 不与点 A,B 重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,直接
写出线段 BE 的长.
【答案】(1)y= 3
16
(x-2)2+3;顶点 D 的坐标为(2,3);(2)BE=5.
【解析】
【分析】
(1)本题可利用待定系数法,将 A,C 两点代入抛物线求解即可.
(2)本题可利用等腰三角形性质,通过角的互换证明 BD=BE,最后利用勾股定理求解 BD 即可解答.
【详解】(1)将点 A(-2,0),C(0, 9
4 )代入 y = a(x - 2)2 + c,得:
16 0
94 4
a c
a c
,解得:
3
16
3
a
c
.
∴抛物线的解析式为 y= 3
16
(x-2)2+3 .
∴顶点 D 的坐标为(2,3).
(2)∵A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点,D 为坐标顶点,
∴DA=DB,故∠DAB=∠DBA,
∵DE=EF,
∴∠EDF=∠EFD.
∵∠EFD=∠FEB+∠EBD,∠DEF=∠DAB,
∴∠EDF=∠FEB+∠DEF,
∴∠BDE=∠BED,
故 BD=BE.
∵A(-2,0),D(2,3),
∴利用对称性可得 B(6,0),
经计算 BD=5,
故 BE=5.
【点睛】本题考查二次函数,第一问为常规题目,利用待定系数法求解即可;第二问属于二次函数与几何
综合,解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题.
23.等腰三角形 ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=45º,以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD,∠CAD 为 90º,请
画出图形,并直接写出点 B 到 CD 的距离.
【答案】画出图形见解析;点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 4 2 2 .
【解析】
【分析】
根据题目描述可以作出两个图形,利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可.
【详解】本题有两种情况:
(1)如图,
∵ ACD△ 是等腰直角三角形, 90CAD ,
∴ 45ACD ,
∵ 45BAC ,
∴ //AB CD ,
∴点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离,
过点 A 作 AE CD ,
∵ 4AB AC ,
∴ 2 2
2
ACAE ,
∴点 B 到 CD 的距离为 2 2 ;
(2)如图:
∵ ACD△ 是等腰直角三角形, 90CAD ,
∴ 45ACD ,
∵ 45BAC ,
∴ 90AEC ,
∴点 B 到 CD 的距离即 BE 的长,
∵ 4AB AC ,
∴ 2 2
2
ACAE ,
∴ 4 2 2BE AB AE ,即点 B 到 CD 的距离为 4 2 2 .
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,根据题目描述作出两个图形是解题的关键.
24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,课题小组随机选取该校
部分学生进行了问卷调査(问卷调査表如图 1 所示),并根据调查结果绘制了图 2、图 3 两幅统计图(均不
完整),请根据统计图解答下列问题.
(1)本次接受问卷调查的学生有________名.
(2)补全条形统计图.
(3)扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为________.
(4)该校共有 2000 名学生,根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.
【答案】(1)100;(2)见解析;(3) 72 ;(4)160 人.
【解析】
【分析】
(1)根据 D 的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数;
(2)根据(1)中的结果和图 1 中的数据可以将条形统计图补充完完整;
(3)根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数;
(4)根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数.
【详解】(1)本次接受问卷调查的学生有: 36 36% 100 (名),
故答案为 100;
(2)喜爱 C 的有:100 8 20 36 6 30 (人),
补全的条形统计图如右图所示;
(3)扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为: 20360 72100
,
故答案为 72 ;
(4) 82000 160100
(人),
答:该校最喜爱新闻节目的学生有 160 人.
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结
合的思想解答.
25.A,B 两城市之间有一条公路相连,公路中途穿过 C 市,甲车从 A 市到 B 市,乙车从 C 市到 A 市,甲车
的速度比乙车的速度慢 20 千米/时,两车距离 C 市的路程 y(单位:千米)与驶的时间 t(单位:小时)的函数图
象如图所示,结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车的速度是_____千米/时,在图中括号内填入正确的数;
(2)求图象中线段 MN 所在直线的函数解析式,不需要写出自变量的取值范围;
(3)直接写出甲车出发后几小时,两车距 C 市的路程之和是 460 千米.
【答案】(1)60,10;(2)y = 80t-320;(3)甲车出发 1
3
小时或 9 小时时,两车距 C 市的路程之和是 460
千米.
【解析】
【分析】
(1)由图象分析可得甲车行驶 480km 用时为 8 小时,即可求解其速度,进而乙车速度也可知,则图中括
号内的数字也可求解;
(2)利用待定系数法即可求解;
(3)分析整个运动过程,分三种情况进行讨论,分别求出对应的 t 即可求解.
【详解】(1)由图象可知甲车在 8t 时行驶到 C 市,此时行驶的路程为 480km ,故速度为 480 60km/h8
,
∴乙车的行驶速度为: 60 20 80km/h ,
∴乙车由 C 市到 A 市需行驶 480 6h80
,
∴图中括号内的数为 4 6 10 ,
故答案为:60,10;
(2)设线段 MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .
把点 M(4,0),N(10,480)代入 y = kt + b,得: 4 0
10 480
k b
k b
,
解得: 80
320
k
b
,
∴线段 MN 所在直线的函数解析式为 y = 80t-320.
(3)若在乙车出发之前,即 4t 时,则 480 60 460t ,解得 1
3t ;
若乙车出发了且甲车未到 C 市时,即 4 8t 时,则 480 60 80 4 460t t ,解得 17t (舍);
若乙车出发了且甲车已到 C 市时,即 8t 时,则 60 480 80 4 460t t ,解得 9t ;
综上,甲车出发 1
3
小时或 9 小时时,两车距 C 市的路程之和是 460 千米.
【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函
数的性质解答.
26.∆ABC 中,点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内,点 F 在 BC 的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD,
∠EAB+∠DCF=180º.
(1)如图①,求证 AD+BC=BE;
(2)如图②、图③,请分别写出线段 AD,BC,BE 之间的数量关系,不需要证明;
(3)若 BE⊥BC,tan∠BCD= 3
4
,CD=10,则 AD=______.
【答案】(1)见解析;(2)图②结论:BC-AD = BE,图③结论:AD-BC = BE;(3)14-6 2 或 2+6 2 .
【解析】
【分析】
(1)证明∠EAB=∠BCD,用 ASA 证明△EAB≌△DCB,可得 AD+BC=BE;
(2)利用(1)的解题思路,证明△EAB≌△DCB,即可得到图②的结论 BC-AD = BE;图③的结论 AD
-BC = BE;
(3)利用(2)的结论,过点 D 作 BC 边长的垂线,构造直角三角形,结合 tan∠BCD= 3
4
,计算相应边的
长度,即可得到 AD 的值.
【详解】(1)证明:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD,
∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC,
∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.
(2)图②结论:BC-AD = BE,
证明如下:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD,
∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC,
∴BA-AD=BC-AD= BE,即 BC-AD=BE
图③结论:AD-BC = BE.
证明如下:∵∠EAB+∠DCF=1800,∠BCD+∠DCF=1800,∴∠EAB=∠BCD,
∵∠E=∠BDC,AE=CD,∴△EAB≌△DCB,∴BE=BD, AB=BC,
∴AD-AB=AD-BC= BD=BE,即 AD-AB=BE
(3)如图②所示,作 DG BC 于 G
由(2)知△EAB≌△DCB,∴ EBA ABC
∵ BE BC
∴ 45EBA ABC
在 Rt DCG 中,CD=10, 3tan 4
DGBCD GC
,∴ 6, 8, 14DG GC BC
在 Rt BDG 中, 6BG DG , 6 2BD
∴ 14 6 2AD AB BD BC BD
如图③所示,作 DH BC 于 H
由(2)知△EAB≌△DCB,∴ DBC EBAÐ = Ð
∴ DBE CBA HBD
∵ BE BC
∴ 45HBD DBE
在 Rt DCHV 中,CD=10, 3tan 4
DHBCD HC
,∴ 6, 8DH HC
在 Rt BDH 中, 6BH DH , 6 2BD
∴ 8 6 6 2 2 6 2AD AB BD BC BD
综上所述:AD 的长度为 14-6 2 或 2+6 2 .
【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究,快速确定全等三角形,并准确利用全等三角形的性质是
解题的关键.
27.某商场准备购进 A、B 两种型号电脑,每台 A 型号电脑进价比每台 B 型号电脑多 500 元,用 40 000 元购
进 A 型号电脑的数量与用 30 000 元购进 B 型号电脑的数量相同,请解答下列问题:
(1)A,B 型号电脑每台进价各是多少元?
(2)若每台 A 型号电脑售价为 2 500 元,每台 B 型号电脑售价为 1 800 元,商场决定同时购进 A,B 两种
型号电脑 20 台,且全部售出,请写出所获的利润 y(单位:元)与 A 型号电脑 x(单位:台)的函数关系式,
若商场用不超过 36 000 元购进 A,B 两种型号电脑,A 型号电脑至少购进 10 台,则有几种购买方案?
(3)在(2)问的条件下,将不超过所获得的最大利润再次购买 A,B 两种型号电脑捐赠给某个福利院,请
直接写出捐赠 A,B 型号电脑总数最多是多少台.
【答案】(1)每台 A 型号电脑进价为 2000 元,每台 B 型号电脑进价为 1500 元;(2) 200 6000y x ,
有三种方案;(3)捐赠 A,B 型号电脑总数最多是 5 台.
【解析】
【分析】
(1)设每台 A 型号电脑进价为 a 元.,则每台 B 型号电脑进价为 500a 元,根据题意列出分式方程求解
即可;
(2)若 A 型号电脑 x 台,则 B 型号电脑 20 x 台,根据题意列出 y 与 x 的关系式;根据题意可列出关于
x 的一元一次不等式组 2000 1500 20 36000
10
x x
x
,求解即可得到方案;
(3)根据(2)得到最大利润,优先购买 B 型号电脑,即可求解.
【详解】(1)设每台 A 型号电脑进价为 a 元.,则每台 B 型号电脑进价为 500a 元,
由题意,得 40000 30000
500a a
,解得:a=2000,
经检验 a=2000 是原方程的解,且符合题意,
2000-500=1500(元).
答:每台 A 型号电脑进价为 2000 元,每台 B 型号电脑进价为 1500 元.
(2)由题意,得 y=(2500-2000)x+(1800-1500)(20-x)=200x+6000,
∵ 2000 1500 20 36000
10
x x
x
,解得10 12x ,
∵x 是整数,∴x=10,11,12,∴有三种方案.
(3)∵利润 200 6000y x ,随 x 的增大而增大,
∴当 12x 时可获得最大利润,最大利润为 200 12 6000 8400 (元),
若要使捐赠 A,B 型号电脑总数尽可能多,则优先购买 B 型号电脑,可购买 5 台,
所以捐赠 A,B 型号电脑总数最多 5 台.
【点睛】本题考查分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用,一次函数的实际应用等内容,理
解题意并列出方程或不等式组是解题的关键.
28.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上,OA 在 y 轴上.O 为坐标原点,AB//OC,
线段 OA,AB 的长分别是方程 x2-9x+20=0 的两个根(OA
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