第7章 第5节 浮力综合问题-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 18页

第五节浮力综合问题浮力是初中阶段的重要知识点，牵扯的内容较多，题型多变，往往与其他知识相结合综合考察学生的解题能力。浮力经常与物体的平衡、密度等知识结合。一、液面的升降问题液面的升降问题是指液体中的物体由于某种变化而引起容器中的液面升高或降低的现象。对某一容器而言，液面的高度取决于容器内液体的体积与物体排开的液体的体积之和，由于容器中液体体积一般不会改变，因此液面的升降往往由物体排开的液体的体积来决定。当容器中的固体融化为液体时，我们需要通过比较固体融化前排开液体的体积与融化后液体的体积大小关系，来判断液面的升降。例1如图7.92所示，冰块漂浮在水中。在下列情况下，判断圆柱形容器中液面的升降情况。(1)如图7.92(a)所示，冰块漂浮，全部融化成水后。(2)如图7.92(b)所示，冰块中包有一个小木块漂浮，冰块全部融化成水后。(3)如图7.92(c)所示，冰块中包有一个小铁块漂浮，冰块全部融化成水后。(4)如图7.92(d)所示，冰块中包有一个小铁块沉在容器底部，冰块全部融化成水后。分析与解容器中液面上升还是下降，取决于冰块融化前排开水的体积，与融化后变成的水的体积之间的大小关系。(1)设冰的质量为，密度为，水的密度为，由浮力等于冰块重力，则冰在水面以下的体积满足，解得。当冰全部融化成水后，融化所得的水的体积，可见，，即原来冰块在液面以下的体积恰好被融化的水所填满，因此液面不上升，也不下降。(2)冰融化前，冰和木块排开的水的体积为，，解得。当冰全部融化后，变成的水的体积，木块密度小于水，木块仍漂浮在水面上，木块排开的水的体积满足，解得。可见， ，即冰块融化后，融化成的水的体积与木块排开水的体积之和，等于冰块融化前排开的水的体积，因此液面高度不变。(3)冰融化前，冰块排开的水的体积，融化后，变成的水的体积，冰融化后铁块沉于水底，排开的水的体积等于铁块的体积，，所以，冰融化后变成的水的体积与铁块排开的水的体积之和，比较与的大小关系，由于，显然有，因此液面要下降。(4)冰和铁块沉于水底，它们排开的水的体积等于它们的体积之和，即，冰全部融化后，铁块仍沉于水底，则冰融化所变成的水的体积与铁块的体积之和，由于，所以，因此液面要下降。判断液面的升降，本质是判断物体排开液体的体积变大还是变小。本题中的第(1)、(2)小问也可以这样判断：由于冰融化前，浮力等于冰(包含木块)的重力，冰融化后，融化的水可视为漂浮，木块仍漂浮，因此融化后总浮力仍不变排开液体的体积不变，液面不变。而对于第(3)、(4)小问，冰块融化后，铁块下沉，总浮力变小，因此排开液体的体积变小，液面下降。例2在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上。当三分之一的冰融化之后，发现容器里的液面上升了，当剩余的冰全部融化之后，液面又会上升()A．B．C．D．分析与解设柱状容器底面积为，冰与盐水的质量均为，盐水密度为，水的密度为。再设冰未融化时盐水的深度为，冰浸在盐水中的体积为1，则。由，即有①当有三分之一的冰融化成水后，融化后盐水增加的体积为，此时盐水的密度 冰浸入盐水的体积则将，代入，得②②①，得③再设冰全部融化时液面上升了，则④④①，得⑤比较③⑤两式，可得，选项正确。二、双层液体问题所谓“双层液体”，即容器中存在两种密度不同互不相溶的液体，其中密度较小的液体浮在容器上层，密度较大的液体出现在容器下层当物体浸没在双层液体中时，阿基米德原理仍然适用。例3(上海第25届大同杯复赛)如图7.93所示，大水槽里有不相溶的，两种液体，液体的密度为，液体的密度为。一个边长为的小立方体物块，一半浸没在液体中，另一半浸没在液体中，物块的上表面与液体上表面齐平，则物块的密度为________。若在物块上端加一个大小为物块重力倍的竖直向下的压力，物块始终未与水槽底部接触，则物块下沉的距离为________。分析与解正方体有一部分在上层液体中，另一部分在下层液体中，由于压强的传递，两部分 液体对浸入其中的体积均有浮力作用。设正方体密度为，则根据阿基米德原理和平衡条件，有，解得。当施加大小为物块重力倍的竖直向下的压力时，物块将下沉，但是不知物块下沉后是否会完全处于下层液体中，不妨设物块下沉距离为，先按照进行计算，即物块下沉后仍有一部分在上层液体当中。注意由于水槽较大可以忽略液面的变化。由阿基米德原理及平衡条件，有解得，可见假设成立，物块下沉了20a的距离。例4(上海第10届大同杯初赛)如图7.94所示，某装有水的容器中漂浮着一块冰，在水的表面上又覆盖着一层油。已知水面高度为，油面高度为，则当冰融化之后()A．水面高度升高，油面高度升高B．水面高度升高，油面高度降低C．水面高度降低，油面高度升高D．水面高度降低，油面高度降低分析与解设冰块质量为，油和水的密度分别为和，冰块浸没在油和水中的体积分别为和，则由冰块重力等于冰块所受油和水的浮力之和，有，即，可解得。当冰全部融化后，所变成的水的体积为，显然，，因此水的液面高度升高。判断的升降，需比较与的大小关系。结合，可得，即，因此油的液面高度下降，选项正确。三、浮力参与下的力矩平衡力对物体的转动效果与力的大小、方向、作用点均有关系。浮力的大小可由阿基米德原理确定，浮力的方向为竖直向上。但是浮力的作用点却不是我们通常误以为的“重心”。实际上，浮力的等效作用点叫做“浮心”，浮心的位置就是被物体排开的那部分液体的重心。如果被排开液体的几何形状是规则的，那么浮心就在被排开的液体原先的几何中心。例5(上海第29届大同杯初赛)如图7.95所示，长为、密度为的均匀细棒下端系一根细线，细线的另一端被拴在杯底的点处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体密度为 。现打开杯底的阀门，使液体缓慢流出。当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，该长度的最小值为()A．B．C．D．分析与解当杆转动时，绳子仍然竖直，因此杆将会绕杆的底端点在重力和浮力作用下转动。当水位较低、重力的力矩大于浮力的力矩时，杆将会倾斜。如图7.96所示，为了求出杆露出水面的长度满足什么条件下杆才会倾斜，不妨假设杆绕底端点转过一个小角度，并设杆横截面积为，杆所受重力，重力的作用点在整根杆的中点，则杆重力的力矩，杆所受浮力，浮力的作用点在水面以下部分的中点，则浮力的力矩当时，杆将倾斜，解得，因此选项正确。例6(上海第31届大同杯初赛)用竖直向上的外力作用在浸在水中的直棒的端，棒的截面积处处相等，密度分布均匀，静止在如图7.97所示的位置。此时端距离水面为，棒与水面的夹角为，棒浸在水中的长度为，端的深度为，现由图示位置缓慢向上增大直至棒的端刚好离开水面的过程中，下列关于，，，大小变化的判断，正确的是()A．先不变后增大B．先增大后减小C．先增大后不变D．先增大后减小分析与解棒受拉力、重力、浮力的作用棒整个运动过程中在竖直方向上受力平衡，则有①在棒缓慢转动的过程中，棒所受各力的力矩平衡。不妨取棒的重心为转轴，则拉力与浮力力矩平衡，设棒的横截面积为，棒总长为，棒所受浮力为，浮力的作用点在棒水下部分的中点，则根据力矩平衡，有②可见，若直棒转动过程中水下部分的长度变小，则变小，由①式可知， 将变大。但是再观察②式，发现上述，的变化情况将使得②式等号不成立，同理直棒水下部分的长度变大也不能同时符合①②两式，因此，只能得出一个结论：在直棒转动过程中，长度不变，即木棒实际是绕着水面和棒的交点转动的，这样，不变，不变，拉力不变。因此图7.97中，两点到水面的距离，均增大。上述变化将一直持续到棒与水面的夹角变为90°，即棒竖直时。棒竖直后，其将被竖直提出水面，在棒离开水面之前，变小，变小，端与水面的距离变小，而变大。综上所述，本题正确选项为ACD。练习题1．(上海第12届大同杯初赛)有一块冰浮在一杯浓盐水中(冰的密度为，浓盐水的密度为)，当冰块全部融化后，盐水的密度和液面将()A．密度变大，液面下降B．密度不变，液面不变C．密度变小，液面不变D．密度变小，液面上升2．(上海第14届大同杯初赛)如图7.98所示，在盛有水的烧杯内放置一冰块，冰块的下表面与杯底接触，水面正好与杯口平齐，当冰融化时是否有水溢出？()A．当冰块的下表面对杯底有压力时，冰融化后水一定会溢出B．当冰块的下表面对杯底有压力时，冰融化后水一定不会溢出C．无论冰块的下表面对杯底是否有压力，冰融化后水都会溢出D．无论冰块的下表面对杯底是否有压力，冰融化后水都不会溢出3．(上海第12届大同杯初赛)如图7.99所示四个相同的容器液面高度相同，()容器中的液体(和水不相溶)比水的密度大，当四个容器中的冰融化后，()，()，()，()四个容器中的液面高度分别变为，，，，则()A．B．C．D．4．(上海第18届大同杯初赛)如图7.100所示，高度为、横截面积为的物块浮在盛水的杯内，杯内水的高度恰好为。已知杯子的横截面积为，水的密度为，物块的密度为，现用外力将物块按入水底，则外力所做的功至少是() A．B．C．D．5．(上海第28届大同杯初赛)在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水里放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上当一半的冰融化后，发现容器里的水面上升的高度为，当剩余的冰全部融化后，水面又将会上升()A．B．C．D．6．(上海第16届大同杯初赛)如图7.101(a)所示，容器内放有一长方体木块，上面压有一铁块，木块浮出水面的高度为；用细绳将该铁块系在木块的下面，木块浮出水面的高度为，如图7.101(b)所示；将细绳剪断后，如图7.101(c)所示，木块浮出水面的高度变为()A．B．C．D．7．(上海第32届大同杯初赛)水平桌面上放有甲乙两个完全相同的柱状容器。在甲容器内倒入部分液体，在乙容器内倒入部分液体和水(液体和水不相溶，且)。然后分别在两容器内放入质量相等的冰块，时甲容器内液面和乙容器内水面恰好相平，如图7.102所示。若冰块全部融化后，甲、乙两容器内水面距离容器底部分别为和，水和液体之间的界面距离容器底部分别为和，则()。A．，B．，C．，D．，8．(上海第13届大同杯初赛)甲、乙两个形状相同的容器，开口都向上，现倒入部分水，如图7.103所示，将两块完全相同的金属块用细线系着分别浸入同样的深度，这时两容器水面相齐平。如将金属块匀速提离水面，则做功多的是()A．甲B．乙C．一样多D．无法判断 9．(上海第28届大同杯初赛)如图7.104所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁块并浸入水中。平衡时棒浮出水面的长度是浸入水中长度的倍。设水的密度为，则棒的密度为()A．B．C．D．10．(上海第27届大同杯初赛)如图7.105所示，密度、粗细均匀的木棒，一端悬挂重为的小物块(体积忽略不计)，棒的浮出水面，则棒所受重力的大小为()A．B．C．D．11．(上海第25届大同杯初赛)容器内原来盛有水银，有一只小铁球浮在水银面上，如图7.106(a)所示。现再向容器里倒入油，使小铁球完全浸没在这两种液体中，如图7.106(b)所示，则()A．铁球受到的浮力增大B．铁球受到油的压力而下沉了些C．铁球上升些使它在水银中的体积减小D．铁球保持原来的位置不动12．(上海第14届大同杯初赛)如图7.107所示，盛有某液体的圆柱形容器内放有一木块，在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块，金属块浸没在液体内，而木块漂浮在液面上，液面正好与容器口平齐。某瞬间细线突然断开，待稳定后液面下降了；然后取出金属块，液面又下降了；后取出木块，液面又下降了。由此可判断与的密度比为()A．B．C．D．13.如图7.108所示，在一只装着水的杯子中漂浮着一块冰，而在冰和水的上面又覆盖着一层油，当冰完全融化后，水面高度________，总液面高度________。(选填“上升”“不变”或“下降”) 14．(上海第25届大同杯初赛)如图7.109所示，在底面积为的柱形水槽中放有部分水，在水面上浮着一块横截面积为的柱状物块，物块浸入水中的深度为，如图(a)所示。沿物块上下面中心的连线，将物块镂空贯通，镂空部分的横截面积为，物块平衡后如图(b)所示，与图(a)比较，水面下降的高度为________；将镂下的部分压在物块上，平衡后如图(c)所示，与图(a)比较，物块下端下降的高度为________。15．(上海第24届大同杯初赛)如图7.110(a)所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为，试管壁的厚度不计，粗细均匀。现将某物块放入试管，物块漂浮在试管内的水面上，试管仍漂浮在容器内的水面上，此时试管内水面与容器底部的距离为，如图7.110(b)所示则________(选填“”“”或“”)；取走该物块，将另一物块完全浸没在该试管水中发现试管内水面与容器底部的距离恰好又变为，如图7.110(c)所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1:5，则新放入的物块密度为________。16．(上海第20届大同杯初赛)如图7.111所示，横截面积为的容器内盛有部分水，水面上方压有一块横截面积也为的活塞，现在活塞的中央挖一面积为的小孔，小孔内塞入一木塞 。假设与之间、与容器器壁之间紧密结合，且不考虑任何摩擦。已知水的密度为，当在的上方放置一块质量为的物块后，活塞上升的距离为________；木塞下沉的距离为________。17．(上海第17届大同杯初赛)如图7.112所示，圆柱形物体高为，底面积为，密度为，某人在河岸边通过图示滑轮装置(滑轮、绳子质量和摩擦均不计)将该物体从水中以的速度匀速拉起，水面高度始终不变，人手中绳子能承受的最大拉力为，取，某时刻，圆柱体下底面距离河面为，从此时算起，经过________，绳子将被拉断，该过程中，人所做的功为________。18．(上海第19届大同杯复赛)如图7.113所示，容器底部一根中间为圆柱形的管子与大气相连，管的直径为不计管的厚度。现在管子上方压一个边长为的塑胶正方体，将管口封住，使容器中盛有一定质量的水。已知大气压强为，塑胶正方体的密度为。当水面恰好在塑胶正方体高的中点时，塑胶正方体受到的水对它的浮力大小为________。当容器中所盛水的水面到塑胶正方体底面的高度满足一定的条件时，塑胶正方体能封住管口，不让水从管子的孔中流出，则该条件是________。(计算时保留小数点后两位)19．(上海第29届大同杯复赛)有一半径为、长为、质量分布均匀的圆柱体，将其水平放入密度为的水中，圆柱体浮于水面，截面如图7.114(a)所示。测得圆柱体顶端距离水面高度为。(1)求圆柱体的密度和的比值。(2)若将圆柱体中间挖出半径为、长度为的圆柱形空腔，截面如图7.114(b)所示。现将其水平放入水中，空腔恰好全部没入水中，测得此时，则挖去部分的半径是圆柱体半径的多少倍？(计算中可能用到的角度与对应余弦值如表7.2所示) 表7.262.661.360.058.757.30.460.480.500.520.5420．(上海第25届大同杯复赛)一底面积是的柱形容器内盛有适量的水，现将含有石块的冰块投入容器的水中，恰好悬浮，此时水位上升了。当水中冰块全部融化后，相比融化前水对容器底部的压强改变了。求石块的密度。21．(上海第20届大同杯复赛)水面上浮着长为1、截面积为、密度为的直棒，棒的一端与绳连接，将端竖直地慢慢向上提起，如图7.115(a)所示。在表中记录了点停在距水面高度时，绳子拉力大小等部分数据如表7.3所示。表7.3序号12345600.2500.1500.3000.6000.9001.20000.24(1)求直棒的密度。(2)求绳子拉力大小等部分数据。(3)在图7.115(b)的坐标系中画出大小随点距离水面高度(的取值范围在)的变化图像，要标出关键点的坐标。参考答案1．D。冰漂浮，冰排开的盐水的体积满足，则，冰全部融化后变成的水的体积，显然 ，液面上升，同时由于融化后的水与原来盐水混合在一起，盐水密度将变小。2．A。若冰与容器底部无压力，则冰相当于漂浮，有，冰融化后变成的水的体积，可见，融化后面不变，水不会溢出；若冰与容器底部有弹力，冰所受浮力小于重力，冰融化后液面将上升，水会溢出。3．A．略，可参考本节例1。4．A．设外力使物块下降了距离时，水面上升距离为，则，即物块所受浮力，物块所受重力。当外力使物块缓慢下降时，做功最少。即，。当时，物体恰好全部浸没在水中，此时，对应外力，此后，物块继续下降到达容器底部，这一过程中外力恒定不变。综上所述，画出图像如图7.116所示，图中梯形面积即为外力所做的功，则。5．C。本题除了可参考本节例8的解析以外，可以采用下面的方法求解。设盐水和冰的质量均为，密度分别为和，由于柱状容器底部所受液体的压力等于容器内冰和盐水的总重力，设容器底面积为，冰融化前液面深度为，则有①当一半冰融化成水时，液面升高了，但柱状容器的底面在冰融化前后受到的压力是不变的，冰融化后，盐水的密度变小，其实是质量为的盐水与质量为的水混合后的密度，即密度变为则冰融化一半后容器底受到的压力为②当全部冰融化后，设液面会升高，此时盐水的密度又变为质量为的盐水与质量为 的水混合后的密度，即则冰全部融化后容器底受到的压力为③以上三式中，①②两式相除，可得④将④式代入③式，解得，因此选项正确。6．A。设木块的高度为，底面积为。在图7.11(a)和(b)中，木块与铁块整体所受浮力等于整体的重力，因此排开水的体积相等，则有，即①在图7.117(b)和(c)中，由于铁块下沉，整体所受浮力减少，减少的浮力等于容器底部对的支持力，即，图(c)中整体排开的水的体积比图(b)中少了，故有，即②①②两式相除，可得。7．A。对甲容器，设冰块质量为，则冰块融化前结合浮力等于重力，可得冰块排开的 液体的体积为，冰块全部融化后，成的水的体积，显然，因此甲中液面要上升，上升的高度，其中为容器底面积。对乙容器，设冰块排开的水和液体的体积分别为和,由冰块重力等于总的浮力，有，由于，则，即，可见乙中水面要上升，上升的高度。同样考虑到，有，即，可见，由于原来液面高度相等，因此可知。当冰块全部融化后，甲中水的液面高度大于乙中水的液面高度，而甲中水少，乙中水多因此甲中水与液体的液面必然较高。综上所述，选项正确。8．A。将金属块匀速提起过程中，细线拉力相同。由题可知甲液面面积较大，当物体离开液面时，甲中液面下降距离较小，即物体上升高度较大，因此甲做功较多。9．C．设木棒水下部分的长度为L，则木棒总长度为，设木棒密度为，横截面积为，则木棒所受浮力为，木棒重力为。取木棒底端为转动轴，并设木棒与水面夹角为，则由力矩平衡，可得，将，代入，有解得。10．C。设木棒所受重力为，总长为，则木棒水下长度为。木棒漂浮，则有，取木棒底端为转轴，并设木棒与水面夹角为，则由力矩平衡，可得两式联立，可解得。11．C。铁球所受浮力等于重力，浮力并没有增大，选项 错误；上层的油对铁球也产生了浮力，因为总浮力不变，所以水银对铁球的浮力减小，铁球将上升些使它在水银中的体积减小，因此选项正确，选项均错误。12．A。设，体积为，，以及水的密度分别为，和，剪断绳子前后，系统所受浮力减少，减少的浮力等于容器底部对的支持力，即排开的水的体积减少，则①取出金属块，则有②木块漂浮时，排开的水的体积为，取出木块后，可得③可得④由④可得⑤由③⑤两式可知13．上升，下降。略，参考本节例4的解答。14．，。设柱状物体密度为，高度为，由物体漂浮在水中，所受浮力等于物体的重力，则：，即，可见柱状物体浸在水中的高度与总高度的比值是个定值。当柱体被镂空时，其水下部分的高度仍不变，而排开的液体体积减少了，因此液面下降 。当将镂下部分压在剩余物块上重新平衡时，由于物块整体重力不变，因此浮力不变，则图7.109(c)与(a)中物体排开液体体积不变，设图(c)中水面以下的高度为，则有，解得，与图(a)比较，物块下降的高度为。15.；。设试管和容器的横截面积分别为，，物体的质量为。物块放入试管后，试管整体所受浮力增加，试管排开水的体积增加，设试管下降了，容器中水面上升了，则有，，解得，。物块漂浮在试管内，试管内的水面相对于试管上升的高度，可见，由，可得。当试管中水面与容器底部的距离又变为时，说明试管底部下降的高度与此时试管内水面相对于试管上升的高度相等，设物体的体积为，则，根据，得。16.，。活塞上放置质量为的物块后，水对活塞的浮力增加了，则木塞排开的水的体积增加了。设活塞上升的距离为，木塞下降的距离为，则木塞排开的水的体积增加了，再结合木塞下降，相当于使木塞下方体积为的水平铺在液面上，有，解得，。17．20，2500.圆柱体受重力，露出水面前受浮力。则人手中绳子拉力满足，解得，圆柱体运动后开始露出水面，用时，这一过程中人拉绳子移动距离为，拉力做功。当绳子拉力达到刚好断裂时，浮力大小为，可见圆柱体恰好露出，从刚露出到露出，用时 ，人拉绳子移动了，拉力的平均值为，拉力做功，因此，经过绳子断裂拉力做功为。18．546.50，。当水面恰在正方体高的中点时，正方体所受浮力等于水对正方体底部的压力，即。若不让水从管子中流出，则正方体应压紧管口，对正方体进行受力分析，正方体的重力与上表面所受大气压力之和应大于下表面受到水的压力与下表面受到大气压力之和，即有解得。19．(1)由图7.118(a)中何关系，得，。由平衡条件可得解得。(2)由图7.118(b)中几何关系，得，对应的。由平衡条件，有代入数据解得，即是的0.237倍。20．由平衡条件，有，得。冰融化后，水位下降的高度。水位下降就是由于冰化成水体积减小引起的，即，解得，因此，石块的体积 。石块的密度。21．(1)由本节例6可知，在棒到达竖直位置之前，拉力始终不变，棒露出水面的长度和浸没在水下的长度均不变，且由几何关系可知。由题给表7.2的序号2数据，可知棒露出水面的长度，则水下部分长度。当棒转至竖直位置时，，，结合题给表7.3的序号3数据，可知细线拉力。根据平衡条件，此时细线拉力满足，即，代入数据可得。可以求出棒的重力。在棒由竖直位置逐渐被提离水面的过程中(的取值范围在)，棒所受浮力变小拉力从逐渐增大到，当，可由求得；棒离开水面后，拉力保持不变。(2)见表7.4。表7.4序号12345600.250.511100.1500.3000.6000.9001.20000.240.240.240.540.64(3)见图7.119