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- 2022-04-01 发布
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第五章 四边形矩形中考数学复习冲刺专项训练精讲
1.矩形的定义:有____________的平行四边形是矩形.一、考点知识,2.矩形具有平行四边形的一切性质.此外,具有如下特殊性质:四个角都是________,对角线________.一个角是直角3.矩形的判定:(1)有__________________的四边形是矩形.(2)对角线________的平行四边形是矩形.(3)对角线________且__________的四边形是矩形.直角相等三个角都是直角相等相等互相平分
【例1】在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于O,∠ACD=30°,AB=4.(1)判断△AOD的形状;(2)求对角线AC,BD的长.【考点1】矩形的性质二、例题与变式解:(1)△AOD是等边三角形(2)AC=BD=【变式1】已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2BC.求证:△BOC是等边三角形.证明:在矩形ABCD中,OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴AC=2OC,BD=2OB.又∵AC=2BC,∴OC=OB=BC,即△BOC是等边三角形.
【考点2】矩形的判定【例2】如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH,∴OE=OF=OG=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.∵OE+OG=FO+OH即EG=FH,∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【变式2】如图,▱ABCD中,BC=6,AB=8,AC=10,求证:▱ABCD是矩形.证明:因为62+82=102,即AB2+BC2=AC2,所以∠B就是直角.在平行四边形ABCD中,有一个角是直角,所以,四边形ABCD是矩形.
【考点3】矩形与轴对称【例3】把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3,BC=5,求重叠部分△DEF的面积.解:∵按题图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF,∵AB=3,BC=5,∴A′D=AB=3.假设AE=x,则A′E=x,DE=5-x.∴A′E2+A′D2=ED2.∴x2+9=(5-x)2.解得x=1.6.∴DE=5-1.6=3.4.∴△DEF的面积是0.5×3.4×3=5.1.
A组1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CD B.AD=BCC.AB=BC D.AC=BD三、过关训练3.下列命题是假命题的是( )A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形2.已知矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为__________________.DC
B组4.如图,在▱ABCD中,E,F为BC两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.又∵在平行四边形ABCD中,AB=CD.∴△ABF≌△DCE(SSS)(2)由(1)知,△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.又∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠B+∠C=180.∴∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.
5.在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点;(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.证明:(1)在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,则AE=DE.过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF∥CD,得∠FAE=∠CDE.又∵∠AEF=∠CED,∴△AEF≌△CDE,∴AF=CD.∵AF=BD,∴BD=CD,∴D是BC的中点.(2)∵AF∥BD,AF=BD.∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,D是BC的中点,AD⊥BC,∠ADB=90°∴平行四边形AFBD是矩形.
C组6.(1)操作发现如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.(2)问题解决保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;(3)类比探求保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值解:(1)同意,连接EF,∵Rt△BAE≌△BGE,∴AE=EG.∵AE=ED,∴EG=ED.∵四边形ABCD为矩形,∴∠EGF=∠A=∠D=90°.∵EF=EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF.∴GF=DF.(2)(3)