2020九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3 16页

1 3.3 垂径定理 第 1 课时 垂径定理 知识点一 圆的对称性 圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴． 1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________． 知识点二 垂径定理 垂直于弦的直径________，并且平分________． 圆心到圆的一条弦的距离叫做________． 2．如图 3－3－1，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，连结 BC，BD，则下列结论中不 一定正确的是( ) 图 3－3－1 A．AE＝BE B.AD︵＝BD︵ C.AC︵＝BC︵ D．OE＝DE 3．如图 3－3－2，在⊙O 中，半径 OB＝5 cm，OC⊥AB，OC＝3 cm，则弦 AB 的长为________ cm. 2 图 3－3－2 类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题 例 1 [教材补充例题] 如图 3－3－3，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD 于点 M， CD＝15 cm，OM∶OC＝3∶5，求弦 AB 的长． 图 3－3－3 【归纳总结】垂径定理的基本模型 如图 3－3－4，在⊙O 中，OC⊥AB⇒r2＝ a 2 2 ＋h2. 图 3－3－4 类型二 运用垂径定理探索圆 中的证明问题 例 2 [教材补充例题] 如图 3－3－5，AB，CD 是⊙O 的弦，∠A＝∠C.求证：AB＝CD. 3 图 3－3－5 【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线 作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用． 类型三 运用垂径定理解决实际问题 例 3 [教材例 2 变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如 果用一个直径为 10 mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离 h＝8 mm(如 图 3－3－6)，求此小孔的直径 d. 图 3－3－6 4 【归纳总结】弓形问题的基本模型 如图 3－3－7，弓形的半径为 r，弦长为 a，弓高为 h，则：①r2＝ a 2 2 ＋(h－r)2；②r2 ＝ a 2 2 ＋(r－h)2. 图 3－3－7 半径为 5 cm 的圆中有两条弦，弦长分别为 3 cm，4 cm，求两弦之间的距离． 解：如图 3－3－8，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 F，交 CD 于点 E，连结 OD，OB. 5 在 Rt△OED 中， OE＝ OD2－ED2＝ 52－42＝3(cm)， OF＝ OB2－FB2＝ 52－32＝4(cm)， ∴EF＝4－3＝1(cm)， ∴两弦之间的距离为 1 cm. 以上解法正确吗？若不正确，请改正． 图 3－3－8 6 课时作业(十七) [3.3 第 1 课时 垂径定理] 一、选择题 1．如图 K－17－1，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论一定错误的是( ) 图 K－17－1 A．CE＝DE B．AE＝OE C.BC︵＝BD︵ D．△OCE≌△ODE 2．如图 K－17－2 所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON 的长为链接学习手册例 1 归纳总结( ) 图 K－17－2 A．5 B．7 C．9 D．11 3．2017·金华如图 K－17－3，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓 形铁片，则弓形的弦 AB 的长为( ) 链接学习手册例 3 归纳总结 7 图 K－17－3 A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 4．已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为( ) A．3 3 B．3 6 C.3 2 3 D.3 2 6 5．如图 K－17－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，⊙O 的半径为 4，则 AC 的长为 ( ) 链接学习手册例 1 归纳总结 图 K－17－4 A．4 3 B．6 3 C．2 3 D．8 6．圆的半径为 13 cm，两弦 AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦 AB，CD 之间的距 离是( ) A．7 cm B．17 cm C．12 cm D．7 cm 或 17 cm 二、填空题 7．2017·大连如图 K－17－5，在⊙O 中，弦 AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为 C，OC＝3 cm， 则⊙O 的半径为________cm. 图 K－17－5 8 8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋 在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决 下面的问题：“如图 K－17－6 所示，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，CE＝1，AB＝10， 求 CD 的长”. 同学们根据题意可得 CD 的长为________.链接学习手册例 3 归纳总结 图 K－17－6 9．在半径为 2 的圆中，弦 AC 的长为 1，M 为 AC 的中点，过点 M 的最长的弦为 BD，则 四边形 ABCD 的面积为________． 10．2016·绍兴如图 K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的 截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为 A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离 为 10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接学习手册例 3 归纳总结 图 K－17－7 11．2017·雅安⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 6，P 是弦 AB 上一点，则 OP 长的取值范 围是________． 12．2017·遵义如图 K－17－8，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，M 是 OA 的中点，过点 M 的直 线 与 ⊙O 交 于 C ， D 两 点 ． 若 ∠CMA ＝ 45 ° ， 则 弦 CD 的 长 为 ________.链接学习手册例 1 归纳总结 图 K－17－8 三、解答题 13．如图 K－17－9，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，OD⊥AB 于点 D， 9 连结 DE，你认为 DE 与 BC 有什么关系？写出你的结论和理由.链接学习手册例 2 归纳总结 图 K－17－9 14．已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D(如图 K－17 －10)． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的 长． 图 K－17－10 10 15．如图 K－17－11 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点 C 为圆心， BC 长为半径作圆交 AB 于点 D，求 AD 的长． 图 K－17－11 探究应用如图 K－17－12 所示，已知半径为 2 的⊙O 有两条互相垂直的弦 AB 和 CD，其 交点 E 到圆心 O 的距离为 1，求 AB2＋CD2 的值． 图 K－17－12 11 详解详析 【学知识】 知识点一 轴对称 过圆心的直线 1．无数 过圆心的直线 知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距 2．[答案] D 3．[答案] 8 【筑方法】 例 1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出 OM 的长，再根据勾股 定理求得 AM 的长，再由垂径定理得 AB＝2AM. 解：连结 OA.由垂径定理，得 AM＝BM. ∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM＝4.5 cm. 在 Rt△AOM 中，由勾股定理，得 AM＝ OA2－OM2＝6(cm)，即 AB＝12 cm. 例 2 [解析] 首先作出两弦 AB，CD 的弦心距 OE，OF，由垂径定理得 AE＝1 2 AB，CF＝1 2 CD， 然后利用全等三角形证明 AE＝CF. 证明：如图，过点 O 分别作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥CD 于点 F，则 AE＝1 2 AB，CF＝1 2 CD. ∵∠A＝∠C，∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AB＝CD. 例 3 解：如图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，DO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 OB. 12 由垂径定理得 CD 垂直平分 AB. CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm. 在 Rt△ODB 中，BD＝ OB2－OD2＝ 52－32＝4(mm)， ∴AB＝2BD＝8 mm. 答：此小孔的直径 d 为 8 mm. 【勤反思】 [小结] 平分 弧 圆心 [反思] 不正确．还有一种情况，即 EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离 为 1 cm 或 7 cm. 【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A 3．[答案] C 4．[答案] C 5．[解析] A 连结 OA，OC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D， 13 ∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝1 2 ∠AOC， ∴∠COD＝∠B＝60°， ∴∠OCD＝30°. 在 Rt△COD 中，OC＝4，∠OCD＝30°， ∴OD＝1 2 OC＝2，CD＝ OC2－OD2＝2 3， ∴AC＝2CD＝4 3. 6．[全品导学号：63422240][解析] D 分弦 AB 和 CD 在圆心 O 的同侧和异侧两种情况 进行讨论． 7．[答案] 5 8．[答案] 26 [解析] 连结 OA，由垂径定理可知 AE＝1 2 AB＝5.若设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－CE＝r －1，于是由勾股定理可得 r2＝(r－1)2＋52，解得 r＝13，所以⊙O 的直径 CD 的长为 26. 9．[全品导学号：63422241][答案] 2 10．[全品导学号：63422243][答案] 25 [解析] 如图，设圆的圆心为 O，连结 OA，OC，OC 与 AB 交于点 D，设⊙O 的半径为 R， ∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝1 2 AB＝20 cm，∠ADO＝90°. 在 Rt△AOD 中，∵OA2＝OD2＋AD2， ∴R2＝(R－10)2＋202， 解得 R＝25.故答案为 25. 11．[答案] 4≤OP≤5 [解析] 当点 P 与点 A 或点 B 重合时，OP 为半径，故 OP 最大为 5，当 OP⊥AB 时，根据 “垂线段最短”可得此时 OP 最小．根据垂径定理可知 AP＝BP＝3，结合勾股定理可得 OP＝ 14 52－32＝4. 12．[答案] 14 [解析] 如图，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，连结 OC，∵∠CMA＝45°，∠ONC＝90°，∴△ MON 是等腰直角三角形．∵AB＝4，M 是 OA 的中点，∴OM＝1，根据勾股定理解得 ON＝ 2 2 ， 在 Rt△CON 中，CN＝ OC2－ON2＝ 22－ 2 2 2 ＝ 14 2 ，∴CD＝2CN＝ 14. 13．解：结论：DE 綊 1 2 BC. 理由：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AD＝BD，AE＝EC，∴DE 綊 1 2 BC. 14．解：(1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E. 易知 AE＝BE，CE＝DE， ∴AE－CE＝BE－DE，即 AC＝BD. (2)∵由(1)可知 OE⊥AB 且 OE⊥CD，连结 OC，OA， ∴OE＝6， ∴CE＝ OC2－OE2＝2 7，AE＝ OA2－OE2＝8， ∴AC＝AE－CE＝8－2 7. 15．解：过点 C 作 CM⊥AB，交 AB 于点 M， 由垂径定理可得 M 为 BD 的中点． ∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. 15 ∵S△ABC＝1 2 AC·BC＝1 2 AB·CM， ∴CM＝2.4. 在 Rt△BCM 中，根据勾股定理，得 BC2＝BM2＋CM2，即 9＝BM2＋2.42， 解得 BM＝1.8， ∴BD＝2BM＝3.6， ∴AD＝AB－BD＝5－3.6＝1.4. [素养提升] [全品导学号：63422242][解析] 连结 AO，DO，OE，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，作 ON⊥AB 于点 N，构造矩形 ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，推知 OM2＝DO2－DM2＝4－(DC 2 )2，ON2 ＝OA2－AN2＝4－(AB 2 )2，所以 OM2＋ON2＝ 4－(DC 2 )2＋4－(AB 2 )2＝1，由此解得 AB2＋CD2＝28. 解：如图，连结 AO，DO，OE，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，作 ON⊥AB 于点 N. ∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB， ∴四边形 OMEN 为矩形． ∵OM2＋ME2＝OE2(勾股定理)，且 ME2＝ON2， ∴OM2＋ON2＝OE2. ∵OM2＝DO2－DM2＝4－(DC 2 )2， ON2＝OA2－AN2＝4－(AB 2 )2， ∴OM2＋ON2＝4－(DC 2 )2＋4－(AB 2 )2＝1， ∴AB2＋CD2＝28. 16 [点评] 本题考查的是垂径定理和勾股定理．解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形 OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB2＋CD2 联系在同一个等式中，然后根据 代数知识求解．