九年级下册数学教案 1-1 第2课时 正弦与余弦1 北师大版 3页

1.1 锐角三角函数 第 2 课时 正弦与余弦 1．理解正弦与 余弦的概念；(重点) 2．能用正弦、余弦的知识，根据三角 形中已知的边和角求出未知的边和角．(难 点) 一、情境导入 如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m，他的相对位置升高了 5m. 如果他沿着该斜坡行走了 20m，那么他 的相对位置升高了多少？行走了 am 呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三 角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与 斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定 了． 二、合作探究 探究点：正弦和余弦[来源:Z|xx|k.Com] 【类型一】 直接利用定义求正弦 和余 弦值 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC＝5，求 sinA，cosA. 解析：利用勾股定理求出 AC，然后根 据正弦和余弦的定义计算即可． 解：由勾股定理得 AC＝ AB2－BC2＝ 132－52＝ 12，sinA＝BC AB ＝ 5 13 ，cosA＝AC AB ＝ 12 13.[来源:学。科。网] 方法总结：在直角三角形中，锐角的正 弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切 为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决 问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 已知一个三角函数值求另 一个三角函数值 [来源:Zxxk.Com] 如图，在△ABC 中，∠C＝90°， 点 D 在 BC 上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝3 5 ， 求 sinB 的值． 解析：先由 AD＝BC＝5，cos∠ADC＝3 5 及勾股定理求出 AC 及 AB 的长，再由锐角 三角函数的定义解答． 解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝3 5 ，∴ CD＝3.在 Rt△ACD 中，∵AD＝5，CD＝3， ∴AC＝ AD2－CD2 ＝ 52－32 ＝4.在 Rt△ ACB 中 ， ∵ AC ＝ 4 ， BC ＝ 5 ， ∴AB ＝ AC2＋BC2＝ 42＋52＝ 41，∴sinB＝AC AB ＝ 4 41 ＝4 41 41 . 方法总结：在不同的直角三角形中，要 根据三角函数的定义，分清它们的边角关 系，结合勾股定理是解答此类问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型三】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小 关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70°[来源:Z|xx|k.Com] D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增 大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D. 方法总结：当角度在 0°<∠A<90°间 变化时，0cosA>0.当角度在 45° ＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型四】 与三角函数有关的探究性 问题 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α， ∠B＝β. (1)猜想 sinα与 sinβ的大小关系； (2)试证明你的结论． 解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为 △ABD 的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想 sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求 出 sinα，sinβ的关系式即可得出结论．[来源:学&科& 网 Z&X&X&K] 解：(1)猜想：sinα＞sinβ； (2)∵∠C＝90°，∴sinα＝AC AD ，sinβ ＝AC AB .∵AD＜AB，∴AC AD ＞AC AB ，即 sinα＞ sinβ. 方法总结：利用三角函数的定义把两角 的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是 解题的关键． 【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上 的高，tanB＝cos∠DAC. (1)求证：AC＝B D； (2)若 sinC＝12 13 ，BC＝36，求 AD 的长． 解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝ ∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定 义得到 tanB＝AD BD ，cos∠DAC＝AD AC ，再利用 tanB＝cos∠DAC 得到AD BD ＝AD AC ，所以 AC＝ BD；(2)在 Rt△ACD 中，根据正弦的定义得 sinC＝AD AC ＝12 13 ，可设 AD＝12k，AC＝13k， 再根据勾股定理计算出 CD＝5k，由于 BD ＝AC＝13k，于是利用 BC＝BD＋CD 得到 13k＋5k＝36，解得 k＝2，所以 AD＝24. (1)证明：∵AD 是 BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在 Rt△ABD 中，tanB＝AD BD ， 在Rt△ACD中，cos∠DAC＝AD AC.∵tanB＝cos ∠DAC，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC＝BD； (2)解：在 Rt△ACD 中，sinC＝AD AC ＝12 13. 设 AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝ AC2－AD2 ＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝ 13k ＋5k＝36，解得 k＝2，∴AD＝12×2＝ 24. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 三、板书设计 正弦与余弦 1．正弦的定义 2．余弦的定义 3 ．利用正、余弦解决问题 本节课的教学设计以直角三角形为主线，力 求体现生活化课堂的理念，让学生在经历 “问题情境——形成概念——应用拓展 ——反思提高”的基本过程中，体验知识间 的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学 生在学中思，在思中学．在教学过程中，重 视过程，深化理解，通过学生的主动探究来 体现他们的主体地位，教师是通过对学生参 与学习的启发、调整、激励来体现自己的引 导作用，对学生的主体意识和合作交流的能 力起着积极作用.