2019九年级数学上册 专题突破讲练 构造相似三角形解题试题 （新版）青岛版 9页

构造相似三角形解题 构造相似三角形的基本方法 ‎1. 由平行得相似，如图①和②；‎ ‎2. 由同角或等角得相似，如图③；‎ ‎3. 由垂直得相似，如图④。‎ 方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。‎ 总结：‎ ‎1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。‎ ‎2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。‎ 例题 如图所示，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG∶DF∶CE＝（ ）‎ A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶‎1 ‎ C. 1∶∶ D. 1∶∶1‎ 解析：不难证明△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。那么，本题只要求AG∶DF即可。要求AG和DF的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接BF和BD，通过三角形相似来求解。‎ 答案：连接BF、BD。因为∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝∠ABE－90°，∠CBE＝∠ABE－∠ABC＝∠ABE－90°。所以∠ABG＝∠CBE，又AB＝BC，BG＝BE，所以△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。因为∠DBF＝∠ABE－∠ABD－∠EBF＝∠ABE－45°－45°＝∠ABE－90°，所以∠DBF＝∠ABG。又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BD∶BF、边长的比AB∶BG，都等于这两个正方形的相似比，即BD∶BF＝AB∶BG，所以AB∶BD＝BG∶BF，所以△ABG∽△DBF。所以AG∶DF＝BG∶BF＝1∶。所以AG∶DF∶CE＝1∶∶1。故选D。‎ 9‎ 点拨：本题难度大，特别是确定AG和DF的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等三角形；正方形边长和对角线的比是1∶。‎ 利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。‎ 例题 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F。‎ ‎（1）如图①，当＝时，求的值；‎ ‎（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；‎ ‎（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG。‎ 解析：（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，因为△CEF和△CDF同高，所以其面积的比就是EF与DF的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，可以证得AD＝AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可求得AD＝OA，从而得出AF＝OA；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。‎ 答案：（1）解：∵＝，∴＝。∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，∴＝，∴＝＝，∴＝＝。‎ ‎（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线。∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，而∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD＝＝OA，∴AF＝OA。‎ ‎（3）证明：连接OE，‎ 9‎ ‎∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点。∴点O是BD的中点。又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE＝CD，∴△OFE∽△CFD。∴＝＝，∴＝。又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴＝＝。在直角△FGC中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF，又∵CD＝BC，∴＝＝，∴＝。∴CG＝BG。‎ 点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎*1. 如图所示，已知AD∥EF∥BC，若AD∶EF∶BC＝1∶2∶4，则梯形AEFD与梯形EBCF的面积之比为（ ）‎ A. 1∶2 B. 1∶‎3 ‎C. 1∶4 D. 2∶3‎ ‎*2. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N为BD所在直线上的两点，且AM＝，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 3‎ ‎**3. 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交AC于P、Q两点，则AP∶PQ∶QC＝（ ）‎ A. 1∶1∶3 B. 3∶2∶‎5 ‎C. 5∶3∶12 D. 5∶4∶10‎ 9‎ ‎**4. 如图所示，四边形ABCD是一个矩形，AD＝12、AB＝5，P是AD上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F。则PE＋PF＝（ ）‎ A. B. C. 5 D. 二、填空题 ‎5. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为__________。‎ ‎*6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______________。‎ ‎*7. 如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝__________。‎ ‎**8. 如图所示，点C在线段BG上且四边形ABCD是正方形，AG与BD、CD分别相交于点E、F，如果AE＝5且EF＝3，那么FG＝__________。‎ 9‎ 三、解答题 ‎9. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC的外接圆的上任一点，连接AD、BD。求证：＝。‎ ‎*10. 如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于点E。求证：DE2＝BE·CE。‎ ‎**11. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F。求证：＝。‎ ‎**12. 如图所示，F为正方形ABCD的边AB的中点，E为AD上的一点，AE＝AD，FG⊥CE于点G。求证：FG2＝EG·CG。‎ 9‎ 9‎ ‎1. C 解析：延长BA、CD交于点O，则△OAD∽△OEF∽△OBC，设S△OAD＝s，则S△OEF＝4s，S△OBC＝16s，所以S梯形AEFD∶S梯形EBCF＝3S∶12S＝1∶4。‎ ‎2. C 解析：过点A作AE⊥BD于点E，则点E是BD中点。在Rt△AEM中，AM＝，AE＝，∴ME＝，∴BM＝。∵∠MAN＝135°，∴∠MAB＋∠NAD＝45°，又∠AND＋∠NAD＝∠ADB＝45°，∠AMB＋∠MAB＝∠ABD＝45°，∴∠AND＝∠MAB，∠NAD＝∠AMB，∴△AND∽△MAB，∴＝，即＝，∴DN＝。∴MN＝BM＋BD＋DN＝＋＋＝，又△AMN和△CMN面积相等，∴四边形AMCN的面积是2××MN×AE＝2×××＝。‎ ‎3. C 解析：∵DC∥BA，∴△APM∽△CPD，∴＝＝，∴AP＝AC。同理＝＝，∴AQ＝AC。∴PQ＝AC－AC＝AC，又QC＝AC，∴AP∶PQ∶QC＝∶∶＝5∶3∶12。‎ ‎4. B 解析：根据题意可得AC＝BD＝13且△PDE∽△BDA、△PAF∽△CAD，所以＝，＝，即＝，＝，所以PD＝PE，PA＝PF，所以PD＋PA＝（PE＋PF）＝AD，即（PE＋PF）＝12，所以PE＋PF＝。‎ ‎5. 9 解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＋∠CAD＝60°。∵∠CAD＋∠ADE＋∠CDE＋∠C＝180°，∠C＝60°，∠ADE＝60°，∴∠CAD＋∠CDE＝60°。∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C＝60°，∴△BAD∽△CDE，∴＝，设△ABC的边长为x，则＝，解得x＝9。‎ ‎6. 解析：过点A作AG⊥BC于点G，过点B作BF⊥AC于点F。则△AGC∽△BFC，∴＝。∵AB＝AC，AG⊥BC，BC＝10，∴BG＝5，AG＝＝12。∴＝，∴BF＝。∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，又点D是AB的中点，∴DE＝BF＝。‎ 9‎ ‎7. 2或 解析：当△AEF∽△ABC时，则＝，即＝，∴AF＝2；当△AEF∽△ACB时，则＝，AF＝。∴AF＝2或。‎ ‎8. 解析：设正方形ABCD的边长为a，由△ADE∽△GBE得＝ ①；由△ADF∽△GCF得＝，即＝ ②。由①②可得＝，解得FG＝。‎ ‎9. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∵∠D＝∠C，∴∠ABE＝∠D，又∵∠BAD＝∠BAE，∴△ABE∽△ADB，∴＝。‎ ‎10. 证明：连接AE，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∠FAE＝∠FDE。∵∠B＝∠FDE－∠BAD，∠CAE＝∠FAE－∠CAD，又∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAE。又∵∠AEB＝∠CEA，∴△ABE∽△CAE，∴＝，∴＝，即DE2＝BE·CE。‎ ‎11. 证明：由∠BAC＝90°，AD⊥BC易得△ABD∽△CBA，∴＝。∵∠ABD＋∠DAF＝90°，∠ABD＋∠C＝90°，∴∠DAF＝∠C。又∵点E是Rt△ADC斜边AC的中点，∴ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，又∠CDE＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DAF。又∠F＝∠F，∴△ADF∽△DFB，∴＝，∴＝。‎ ‎12. 证明：连接EF、CF。由AE＝AD，AF＝BF＝AB，四边形ABCD为正方形，得＝＝。∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA∽△FCB，∠1＝∠2。∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠EFC＝90°。∵FG⊥CE，易证△EFG∽△FCG，∴＝，∴FG2＝EG·CG。‎ 9‎ 9‎