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  • 2021-11-06 发布

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义18 全等形与全等三角形(教师版)

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专题 18 全等形和全等三角形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点 1 全等三角形及其性质 全等图形概念:能完全重合的图形叫做全等图形. 特征:①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。 全等三角形概念:两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 小结:把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对 应角. 表示方法:全等用符号“≌”,读作“全等于”。书写三角形全等时,要注意对应顶点字母要写在对应位置 上。 全等变换定义:只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式(常见):平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质:对应边相等,对应角相等。 1.(2017·四川中考模拟)已知四边形 ABCD 各边长如图所示,且四边形 OPEF≌四边形 ABCD.则 PE 的 长为( ) A.3 B.5 C.6 D.10 【答案】D 【详解】 ∵四边形 OPEF≌四边形 ABCD ∴PE=BC=10, 故选 D. 2.(2019·福建中考模拟)如图,若△ 헀Ÿ ≌ △ th ,则点 h 应是图中的( ) A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】D 【详解】 ∵△MNP≌△MEQ, ∴点 Q 应是图中的 D 点,如图, 故选:D. 3.(2018·广西中考模拟)下列说法中不正确的是( ) A.全等三角形的周长相等 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形能重合 D.全等三角形一定是等边三角形 【答案】D 【详解】 根据全等三角形的性质可知 A,B,C 命题均正确,故选项均错误; D.错误,全等三角也可能是直角三角,故选项正确. 故选 D. 考查题型一 利用全等三角形性质求线段与角 1.(2019·武冈市第七中学中考模拟)如图,三角形纸片 ABC,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点 B 的直线折叠这个三角形,使顶点 C 落在 AB 边上的点 E 处,折痕为 BD,则△AED 的周长为( ) A.9cm B.13cm C.16cm D.10cm 【答案】A 【解析】 解:由折叠的性质知,CD=DE,BC=BE=7cm. ∵AB=10cm,BC=7cm,∴AE=AB﹣BE=3cm. △AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9(cm). 故选 A. 2.(2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟)如图,△ABC≌△DEF,点 A 与 D,B 与 E 分别是对应顶点, 且测得 BC=5cm,BF=7cm,则 EC 长为( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【详解】 解:∵△ABC≌△BAD, ∴EF=BC=5cm, ∵BF=7cm,BC=5cm, ∴CF=EF-CF=3 cm, 故选 C. 3.(2016·广东中考模拟)如图,△ACB≌△ ,∠ACA′=30°,则∠BCB′的度数为( ) A.20° B.30° C.35° D.40° 【答案】B 【详解】 ∵△ACB≌△A′CB′, ∴∠ACB=∠A′C′B′, ∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB, 即∠BCB′=∠ACA′, 又∠ACA′=30°, ∴∠BCB′=30°, 故选:B. 4.(2019·沂源县中庄中学初一月考)如图,点 B,C,D 在同一条直线上,∠B=∠D=90°,△ABC≌△ CDE,AB=6,BC=8,CE=10. (1)求△ABC 的周长; (2)求△ACE 的面积. 【答案】(1)24;(2)50 【详解】 解:(1))∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=24 (2)∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE,∠ACB=∠CED,∠BAC=∠DCE 又∠B=90° ∴∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ACB+∠DCE=90° ∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90° ∴△ACE 的面积= t ൌ考查题型二 利用全等三角形性质证明线段、角相等 1.(2019·湖北黄石十四中初二期中)如图,点 E 在 AB 上,△ABC≌△DEC,求证:CE 平分∠BED. 【答案】见解析 【详解】 ∵△ABC≌△DEC, ∴∠B=∠DEC,BC=EC, ∴∠B=∠BEC, ∴∠BEC=∠DEC, ∴CE 平分∠BED. 2.(2018·颍上县第五中学初二期中)若△ABC≌△DCB,求证:∠ABE=∠DCE. 【答案】见解析 【详解】 证明:∵△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC ∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB 即∠ABE=∠DCE 知识点 2:全等三角形的判定(重点) 一般三角形 直角三角形 判定 边角边(SAS)、角边角(ASA) 角角边(AAS)、边边边(SSS) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ② 全等三角形周长、面积相等. 证题的思路(重点): 考查题型三 已知一边一角(若边为角的对边,找任意角 AAS) 1.(2018·四川中考模拟)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:AC=AD. 【答案】见解析 【解析】 详解:∵∠1=∠2 ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD 在ΔABC 和ΔAED 中 ∠ ∠ t∠ ∠ t∴ΔABC≌ΔAED(AAS) ∴AC=AD 2.(2014·北京中考模拟)已知:如图,E 是 AC 上一点,AB=CE,AB∥CD,∠ACB =∠D.求证:BC =ED. 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵AB∥CD,∴∠A=∠ECD. 在△ABC 和△ECD 中,∵∠A=∠ECD,∠ACB=∠D,AB=CE, ∴△ABC≌△ECD(AAS). ∴BC=DE. 3.(2018·四川中考模拟)已知,如图,E、F 分别为□ABCD 的边 BC、AD 上的点,且∠1=∠2,.求证:AE=CF. 【答案】详见解析 【详解】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴∠B=∠D,AB=CD 在△ABE 与△CDF 中,∠1=∠2,∠B=∠D,AB=CD ∴△ABE≌△CDF ∴AE=CF 4.(2016·福建中考模拟)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE.求证:△ACD≌△CBE. 【答案】证明详见解析. 【详解】 ∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠E=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠BCE+∠ACD=90°, ∵∠B+∠BCE=90°, ∴∠B=∠ACD, 在△BEC 和△CDA 中, ∠ADC=∠E=90°,∠B=∠ACD,AC=BC, ∴△ACD≌△CBE(AAS). 考查题型四 已知一边一角(边为角的邻边(找已知角的另一边 SAS)) 1.(2016·四川中考真题)如图,C 是线段 AB 的中点,CD=BE,CD∥BE.求证:∠D=∠E. 【答案】见解析 【详解】 ∵C 是线段 AB 的中点, ∴AC=CB, ∵CD∥BE, ∴∠ACD=∠B, 在△ACD 和△CBE 中, ∵AC=CB,∠ACD=∠B,CD=BE, ∴△ACD≌△CBE(SAS), ∴∠D=∠E. 2.(2018·云南中考模拟)如图,点 E,F 在 AB 上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:∠C=∠D. 【答案】证明见解析 【详解】 证明:∵AE=BF, ∴AE+EF=BF+EF, ∴AF=BE, 在△ADF 与△BCE 中, AD BC A B AF BE       ∴△ADF≌△BCE(SAS), ∴∠C=∠D. 3.(2019·辽宁中考真题)如图,点 t , 在 上, t , , ,求证: t . 【答案】见解析; 【详解】 证明:∵ t , ∴ t t t ,即 t , 在 和 t 中, ∠ ∠ t , ∴ ≌ t (SAS) ∴ t . 考查题型五 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的对角 AAS)) 1.(2013·浙江中考真题)如图,△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠A=∠D,AB=DC. (1)求证:△ABE≌DCE; (2)当∠AEB=50°,求∠EBC 的度数。 【答案】见解析(2)∠EBC=25° 【详解】 解(1)证明:∵在△ABE 和△DCE 中, ∠ ∠ ∠ AEB ∠ DEC AB DC , ∴△ABE≌△DCE(AAS) (2)∵△ABE≌△DCE,∴BE=EC, ∴∠EBC=∠ECB, ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°, ∴∠EBC=25° 2.(2016·广西中考模拟)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是 E、F, 并且 DE=DF.求证: (1)△ADE≌△CDF; (2)四边形 ABCD 是菱形. 【答案】见解析 【解析】证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=900。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C。 在△AED 和△CFD 中: ∵ ∠ AED ∠ CFD∠ ∠ DE DF , ∴△AED≌△CFD(AAS)。 (2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴四边形 ABCD 是菱形。 3.(2019·陕西中考模拟)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线, 且与对角线 AC 分别相交于点 E、F.求证:AE=CF. 【答案】见解析. 【详解】 证明:∵平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC, ∴∠ACB=∠CAD. ∵BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线, ∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA, 在△BEC 与△DFA 中, ∵ ∠ t =∠ ∠ =∠ = ∴△BEC≌△DFA(AAS), ∴AF=CE, ∴AE=CF. 考查题型六 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的另一角 ASA)) 1.(2016·湖北中考真题)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由 A 步行到达 B 处的过程中,通过隔离带的 空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于 O,OD⊥CD,垂足为 D,已知 AB=20 米,请根据 上述信息求标语 CD 的长度. 【答案】20 米. 【解析】 试题解析:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO, ∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°, ∴∠ABO=90°,即 OB⊥AB, ∵相邻两平行线间的距离相等, ∴OD=OB, 在△ABO 与△CDO 中, , ∴△ABO≌△CDO(ASA), ∴CD=AB=20(m) 2.(2015·北京中考模拟)如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E; 求证:BC=DC. 【答案】见解析 【详解】 证明:∵∠BCE=∠DCA, ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠ACB=∠ECD. 在△ABC 和△EDC 中, ∵ ∠ ACB ∠ ECD AC EC ∠ ∠ t , ∴△ABC≌△EDC(ASA). ∴BC=DC 3.(2016·湖北中考模拟)如图,已知 EF∥MN,EG∥HN,且 FH=MG,求证:△EFG≌△NMH. 【答案】证明见解析 【解析】 ∵EF∥MN, EG∥HN, ∴∠F=∠M, ∠EGF=∠NHM. ∵FH=MG, ∴FG=MH. 在△EFG 和△NMH 中 ∵∠F=∠M, FG=MH ∠EGF=∠NHM, ∴△EFG≌△NMH(ASA) 考查题型七 已知两角,找两角的夹边 ASA 1.(2010·河北中考真题)如图,在△ABC 和△ADE 中,点 E 在 BC 边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D, AB =AD, (1)试说明△ABC≌△ADE; (2)如果∠AEC=75°,将△ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合,求这个旋转角的大小. 【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、30° 【详解】 (1)∵∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠B=∠D, ∴△ABC≌△ADE. (2)∵△ABC≌△ADE ∴AC=AE, ∴∠C=∠AEC=75°, ∴∠CAE=180°−∠C−∠AEC=30°, ∴△ADE 绕着点 A 逆时针旋转 30°后与△ABC 重合, ∴这个旋转角为 30°. 2.(2019·河北中考模拟)某风景区改建中,需测量湖两岸游船码头 A、B 间的距离,于是工作人员在岸边 A、B 的垂线 AF 上取两点 E、D,使 ED=AE.再过 D 点作出 AF 的垂线 OD,并在 OD 上找一点 C,使 B、 E、C 在同一直线上,这时测得 CD 长就是 AB 的距离.请说明理由. 【答案】证明见解析. 【详解】 证明:∵AB⊥AD,CD⊥AD, ∴∠A=∠CDE=90°, 又∵ED=AE,∠AEB=∠CED, ∴△ABE≌△CED(AAS), ∴AB=CD. 3.(2018·湖北中考模拟)如图,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,AD=AE.求证:BE=CD. 【答案】证明过程见解析 【详解】 ∵BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E, ∴∠ADB=∠AEC=90°, 在△ADB 和△AEC 中, ∠ ∠ t t ∠ ∠ ∴△ADB≌△AEC(ASA) ∴AB=AC, 又∵AD=AE, ∴BE=CD. 考查题型八 已知两角,找任意一边 AAS 1.(2017·湖北中考模拟)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)试判断△OEF 的形状,并说明理由. 【答案】(1)证明略 (2)等腰三角形,理由略 【详解】 证明:(1)∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, 即 BF=CE. 又∵∠A=∠D,∠B=∠C, ∴△ABF≌△DCE(AAS), ∴AB=DC. (2)△OEF 为等腰三角形 理由如下:∵△ABF≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC. ∴OE=OF. ∴△OEF 为等腰三角形. 2.(2019·山西中考真题)已知:如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠H.求证:BC=DH. 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵AD=BE, ∴AD-BD=BE-BD, 即 AB=DE. ∵AC∥EH, ∴∠A=∠E, 在△ABC 和△EDH 中 ∠ ∠ ∠ ∠ t t , ∴△ABC≌△EDH(AAS), ∴BC=DH. 3.(2019·广西中考模拟)已知:如图,点 B、F、C、E 在同一条直线上,AB∥DE,∠A=∠D,BF=EC. (1)求证:△ABC≌△DEF. (2)若∠A=120°,∠B=20°,求∠DFC 的度数. 【答案】(1)见解析;(2)∠DFC=40° 【详解】 (1)证明:∵AB∥DE, ∴∠B=∠E, ∵BF=EC ∴BF+FC=EC+CF, 即 BC=EF, 在△ABC 和△DEF 中, ∠ ∠ ∠ ∠ t t , ∴△ABC≌△DEF(AAS); (2)解:∵∠A=120°,∠B=20°, ∴∠ACB=40°, 由(1)知△ABC≌△DEF, ∴∠ACB=∠DFE, ∴∠DFE=40°, ∴∠DFC=40°. 4.(2016·江苏中考模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,CE⊥BD 于 E,AB=EC. (1)求证:△ABD≌△ECB; (2)若∠EDC=65°,求∠ECB 的度数; (3)若 AD=3,AB=4,求 DC 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)40°;(3)2 ൌ . 【解析】 (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠EBC, ∵∠A=∠CEB=90°, 在△ABD 与△CEB 中, ∠ ∠ t∠ ∠ t t , ∴△ABD≌△ECB; (2)由(1)证得△ABD≌△ECB, ∴BD=BC, ∴∠BCD=∠BDC=65°, ∵∠DCE=90°-65°=25°, ∴∠ECB=40°; (3)由(1)证得△ABD≌△ECB, ∴CE=AB=4,BE=AB=3, ∴BD=BC= ൌ , ∴DE=2, ∴CD= ൌ . 考查题型九 已知两边,找夹角 SAS 1.(2013·湖北中考真题)如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE. 【解析】 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C。 在△ABD 与△ACE 中,∵ AB AC ∠ ∠ BD EC , ∴△ABD≌△ACE(SAS)。 ∴AD=AE。 2.(2018·广东中考真题)如图,AB 与 CD 相交于点 E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C. 【答案】证明见解析. 【详解】 在△AED 和△CEB 中, t t ∠ t ∠ t t t , ∴△AED≌△CEB(SAS), ∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等). 3.(2019·江苏中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC 上,BD=CE,BE、CD 相 交于点 0; 求证:(1) ≅ t (2) 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【详解】 (1)∵AB=AC, ∴∠ECB=∠DBC, 在 与 t 中 t ∠ ∠ t , ∴ ≅ t ; (2)由(1) ≅ t , ∴∠DCB=∠EBC, ∴OB=OC. 4.(2018·江苏中考模拟)如图,在五边形 ABCDE 中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD. (1)求证:△ABC≌△AED; (2)当∠B=140°时,求∠BAE 的度数. 【答案】(1)详见解析;(2)80°. 【详解】 证明:(1)∵AC=AD, ∴∠ACD=∠ADC, 又∵∠BCD=∠EDC=90°, ∴∠ACB=∠ADE, 在△ABC 和△AED 中, t ∠ ∠ t , ∴△ABC≌△AED(SAS); 解:(2)当∠B=140°时,∠E=140°, 又∵∠BCD=∠EDC=90°, ∴五边形 ABCDE 中,∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°. 5.(2019·河北中考模拟)如图,△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得,且 AB⊥BC,BE=CE, 连接 DE. (1)求证:△BDE≌△BCE; (2)试判断四边形 ABED 的形状,并说明理由. 【答案】证明见解析. 【详解】 (1)证明:∵△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得, ∴DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°, ∵AB⊥EC, ∴∠ABC=90°, ∴∠DBE=∠CBE=30°, 在△BDE 和△BCE 中, ∵ DB CB ∠ DBE ∠ CBE BE BE , ∴△BDE≌△BCE; (2)四边形 ABED 为菱形; 由(1)得△BDE≌△BCE, ∵△BAD 是由△BEC 旋转而得, ∴△BAD≌△BEC, ∴BA=BE,AD=EC=ED, 又∵BE=CE, ∴BA=BE=ED= AD ∴四边形 ABED 为菱形. 考查题型十已知两边,找直角 HL 1.(2018·江苏中考真题)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O.求证:OB=OC. 【答案】证明见解析. 【解答】证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中 , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴∠OBC=∠OCB, ∴BO=CO. 2.(2019·江苏中考模拟)如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点 E, F,且 BE=CF,求证:AD 是△ABC 的角平分线. 【答案】见解析 【详解】 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△BDE△DCF 是直角三角形. 在 Rt△BDE 与 Rt△DCF 中, t , ∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL), ∴DE=DF, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的角平分线. 3.(2019·福建省诏安县霞葛初级中学中考模拟)如图, 、 、 、 四点在一条直线上,AB DE , , t ,垂足分别为点 、点 , . 求证: (1) ≅ t ; (2) 䁡䁡t . 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【详解】 证明: (1)∵ , t ⊥ , ∴ 和 t 为直角三角形, ∵ , ∴ ,即 , 在 和 t 中, t , ∴ ≅ t ; (2)由(1)可知 ≅ t , ∴∠ ∠ , ∴ 䁡䁡t . 考查题型十一 已知两边,找第三边 SSS 1.(2018·四川中考模拟)如图,点 B、E、C、F 在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证: AB∥DE. 【答案】详见解析. 【解析】 证明:由 BE=CF 可得 BC=EF, 又 AB=DE,AC=DF, 故△ABC≌△DEF(SSS), 则∠B=∠DEF, ∴AB∥DE. 2.(2018·广西中考真题)如图,点 A、D、C、F 在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:ΔABC≌△DEF; (2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)37° 【解析】 (1)∵AC=AD+DC, DF=DC+CF,且 AD=CF ∴AC=DF 在△ABC 和△DEF 中, AB DE BC EF AC DF∴△ABC≌△DEF(SSS) (2)由(1)可知,∠F=∠ACB ∵∠A=55°,∠B=88° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37° ∴∠F=∠ACB=37° 3.(2019·辽宁中考模拟)已知:如图,点 A、D、C、B 在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求 证:AE∥BF. 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵AD=BC,∴AC=BD, 在△ACE 和△BDF 中, = t = t = , ∴△ACE≌△BDF(SSS) ∴∠A=∠B, ∴AE∥BF; 知识点 3 角平分线 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等; 判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上. 三角形中角平分线的性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这点到三条边距离相等。 考查题型十二 图中有角平分线,向两边作垂线 1.(2019·襄樊市月考)在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证 DE=DF. 【答案】证明见解析. 【详解】 过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于 N, 即∠EMD=∠FND=90°, ∵AD 平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC, ∴DM=DN(角平分线性质), ∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°, ∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD, 在△EMD 和△FND 中 t 헀 t 헀 헀 , ∴△EMD≌△FND(AAS), ∴DE=DF. 2.(2019·襄樊市月考)在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证 DE=DF. 【答案】证明见解析. 【详解】 过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于 N, 即∠EMD=∠FND=90°, ∵AD 平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC, ∴DM=DN(角平分线性质), ∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°, ∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD, 在△EMD 和△FND 中 t 헀 t 헀 헀 , ∴△EMD≌△FND(AAS), ∴DE=DF. 3.(2017·广东中考模拟)如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上一点,PD⊥OA 于点 D,PD=6,则点 P 到边 OB 的距离为_____. 【答案】6 【解析】 作 PE⊥OB 于 E,如图, ∵OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PE=PD=6, 即点 P 到边 OB 的距离为 6. 故答案为 6. 考查题型十三 角平分线加垂线,三线合一试试看 1.如图,已知 AE⊥FE,垂足为 E,且 E 是 DC 的中点. (1)如图①,如果 FC⊥DC,AD⊥DC,垂足分别为 C,D,且 AD=DC,判断 AE 是∠FAD 的角平分线吗?(不必 说明理由) (2)如图②,如果(1)中的条件“AD=DC”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由; (3)如图③,如果(1)中的条件改为“AD∥FC”,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由. 【答案】(1)AE 是∠FAD 的角平分线(2)成立(3)成立 【详解】 (1)AE 是∠FAD 的角平分线; (2)成立,如图,延长 FE 交 AD 于点 B, ∵E 是 DC 的中点, ∴EC=ED, ∵FC⊥DC,AD⊥DC, ∴∠FCE=∠EDB=90°, 在△FCE 和△BDE 中, t t t t t t , ∴△FCE≌△BDE, ∴EF=EB, ∵AE⊥FE, ∴AF=AB, ∴AE 是∠FAD 的角平分线; (3)成立,如图,延长 FE 交 AD 于点 B, ∵AD=DC, ∴∠FCE=∠EDB, 在△FCE 和△BDE 中, t t t t t t , ∴△FCE≌△BDE, ∴EF=EB, ∵AE⊥FE, ∴AF=AB, ∴AE 是∠FAD 的角平分线. 考查题型十四 角平分线平行线,等腰三角形来填 1.(2017 春 赣州市期末)如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O,过点 O 作 DE//BC,分别 交 AB,AC 于点 D,E,若 AB=4,AC=3,则△ADE 的周长是_______________。 【答案】7 【解析】 解:∵BO 平分∠ABC, ∴∠DBO=∠CBO, ∵DE∥BC, ∴∠CBO=∠DOB, ∴∠DBO=∠DOB, ∴BD=DO, 同理 OE=EC, ∴△ADE 的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7. 故答案为:7. 2.(2018·江苏中考模拟)如图,AB∥CD,CB 平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE=__________度. 【答案】70 【详解】∵AB∥CD,∠ABC=35°, ∴∠BCD=∠B=35°, ∵CB 平分∠ACD, ∴∠BAE=2∠BCD=70° 故正确答案为:70. 考查题型十五 图形对折问题 1.(2017 丹阳市月考)如图 a 是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 BF 折叠成图 c, 则图 c 中的∠CFE 的度数是____________°. 【答案】105° 【解析】 由图 a 知,∠EFC=155°. 图 b 中,∠EFC=155°,则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°. 图 c 中,∠GFC=130°,则∠CFE=130°-25°=105°. 故答案为:105°. 2.(2019 道外区期末)如图 a 是长方形纸带(提示:AD∥BC),将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 GF 折叠成图 c. (1)若∠DEF=20°,则图 b 中∠EGB=______,∠CFG=______; (2)若∠DEF=20°,则图 c 中∠EFC=______; (3)若∠DEF=α,把图 c 中∠EFC 用α表示为______; (4)若继续按 EF 折叠成图 d,按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG,整个过程共折叠了 9 次, 问图 a 中∠DEF 的度数是多少. 【答案】(1)40°,140°;(2)120°;(3)180°﹣3α;(4)18°. 【详解】 (1)∵长方形的对边是平行的, ∴∠BFE=∠DEF=20°, ∴∠EGB=∠BFE+∠DEF=40°, ∴∠FGD=∠EGB=40°, ∴∠CFG=180°﹣∠FGD=140°; 故答案为:40°,140°; (2)∵长方形的对边是平行的, ∴∠BFE=∠DEF=20°, ∴图 a、b 中的∠CFE=180°﹣∠BFE,以下每折叠一次,减少一个∠BFE, ∴图 c 中的∠EFC 度数是 120°; 故答案为:120°; (3)由(2)中的规律,可得∠CFE=180°﹣3α. 故答案为:180°﹣3α; (4)设图 a 中∠DEF 的度数是 x°, 由(2)中的规律,可得 180﹣(9+1)x=0. 解得:x=18. 故答案为:18°. 考查题型十六 角平分线与实际问题 1.(2019·深圳市文锦中学中考模拟)已知:如图所示,三条公路两两分别相交于点 A、B、C,在甲区内求 作一点 P,使点 P 到三条公路的距离都相等。 【答案】答案见解析 【详解】 解:点 P 位置如图所示: