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- 2021-11-06 发布
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专题 18 全等形和全等三角形
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点 1 全等三角形及其性质
全等图形概念:能完全重合的图形叫做全等图形.
特征:①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念:两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
小结:把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对
应角.
表示方法:全等用符号“≌”,读作“全等于”。书写三角形全等时,要注意对应顶点字母要写在对应位置
上。
全等变换定义:只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式(常见):平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质:对应边相等,对应角相等。
1.(2017·四川中考模拟)已知四边形 ABCD 各边长如图所示,且四边形 OPEF≌四边形 ABCD.则 PE 的
长为( )
A.3 B.5 C.6 D.10
【答案】D
【详解】
∵四边形 OPEF≌四边形 ABCD
∴PE=BC=10,
故选 D.
2.(2019·福建中考模拟)如图,若△
헀
≌
△
th
,则点
h
应是图中的( )
A.点
B.点
C.点
D.点
【答案】D
【详解】
∵△MNP≌△MEQ,
∴点 Q 应是图中的 D 点,如图,
故选:D.
3.(2018·广西中考模拟)下列说法中不正确的是( )
A.全等三角形的周长相等 B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形能重合 D.全等三角形一定是等边三角形
【答案】D
【详解】
根据全等三角形的性质可知 A,B,C 命题均正确,故选项均错误;
D.错误,全等三角也可能是直角三角,故选项正确.
故选 D.
考查题型一 利用全等三角形性质求线段与角
1.(2019·武冈市第七中学中考模拟)如图,三角形纸片 ABC,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点 B
的直线折叠这个三角形,使顶点 C 落在 AB 边上的点 E 处,折痕为 BD,则△AED 的周长为( )
A.9cm B.13cm C.16cm D.10cm
【答案】A
【解析】
解:由折叠的性质知,CD=DE,BC=BE=7cm.
∵AB=10cm,BC=7cm,∴AE=AB﹣BE=3cm.
△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9(cm).
故选 A.
2.(2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟)如图,△ABC≌△DEF,点 A 与 D,B 与 E 分别是对应顶点,
且测得 BC=5cm,BF=7cm,则 EC 长为( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【答案】C
【详解】
解:∵△ABC≌△BAD,
∴EF=BC=5cm,
∵BF=7cm,BC=5cm,
∴CF=EF-CF=3 cm,
故选 C.
3.(2016·广东中考模拟)如图,△ACB≌△
,∠ACA′=30°,则∠BCB′的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
【答案】B
【详解】
∵△ACB≌△A′CB′,
∴∠ACB=∠A′C′B′,
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB,
即∠BCB′=∠ACA′,
又∠ACA′=30°,
∴∠BCB′=30°,
故选:B.
4.(2019·沂源县中庄中学初一月考)如图,点 B,C,D 在同一条直线上,∠B=∠D=90°,△ABC≌△
CDE,AB=6,BC=8,CE=10.
(1)求△ABC 的周长;
(2)求△ACE 的面积.
【答案】(1)24;(2)50
【详解】
解:(1))∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=24
(2)∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE,∠ACB=∠CED,∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°
∴△ACE 的面积=
t ൌ 考查题型二 利用全等三角形性质证明线段、角相等
1.(2019·湖北黄石十四中初二期中)如图,点 E 在 AB 上,△ABC≌△DEC,求证:CE 平分∠BED.
【答案】见解析
【详解】
∵△ABC≌△DEC,
∴∠B=∠DEC,BC=EC,
∴∠B=∠BEC,
∴∠BEC=∠DEC,
∴CE 平分∠BED.
2.(2018·颍上县第五中学初二期中)若△ABC≌△DCB,求证:∠ABE=∠DCE.
【答案】见解析
【详解】
证明:∵△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC
∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB
即∠ABE=∠DCE
知识点 2:全等三角形的判定(重点)
一般三角形 直角三角形
判定
边角边(SAS)、角边角(ASA)
角角边(AAS)、边边边(SSS)
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等(HL)
性质
对应边相等,对应角相等
对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等
注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;
② 全等三角形周长、面积相等.
证题的思路(重点):
考查题型三 已知一边一角(若边为角的对边,找任意角 AAS)
1.(2018·四川中考模拟)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:AC=AD.
【答案】见解析
【解析】
详解:∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC
∴∠BAC=∠EAD
在ΔABC 和ΔAED 中
∠
∠
t ∠
∠
t∴ΔABC≌ΔAED(AAS)
∴AC=AD
2.(2014·北京中考模拟)已知:如图,E 是 AC 上一点,AB=CE,AB∥CD,∠ACB =∠D.求证:BC =ED.
【答案】证明见解析.
【详解】
∵AB∥CD,∴∠A=∠ECD.
在△ABC 和△ECD 中,∵∠A=∠ECD,∠ACB=∠D,AB=CE,
∴△ABC≌△ECD(AAS).
∴BC=DE.
3.(2018·四川中考模拟)已知,如图,E、F 分别为□ABCD 的边 BC、AD 上的点,且∠1=∠2,.求证:AE=CF.
【答案】详见解析
【详解】
∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴∠B=∠D,AB=CD
在△ABE 与△CDF 中,∠1=∠2,∠B=∠D,AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
4.(2016·福建中考模拟)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE.求证:△ACD≌△CBE.
【答案】证明详见解析.
【详解】
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠E=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∵∠B+∠BCE=90°,
∴∠B=∠ACD,
在△BEC 和△CDA 中,
∠ADC=∠E=90°,∠B=∠ACD,AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
考查题型四 已知一边一角(边为角的邻边(找已知角的另一边 SAS))
1.(2016·四川中考真题)如图,C 是线段 AB 的中点,CD=BE,CD∥BE.求证:∠D=∠E.
【答案】见解析
【详解】
∵C 是线段 AB 的中点,
∴AC=CB,
∵CD∥BE,
∴∠ACD=∠B,
在△ACD 和△CBE 中,
∵AC=CB,∠ACD=∠B,CD=BE,
∴△ACD≌△CBE(SAS),
∴∠D=∠E.
2.(2018·云南中考模拟)如图,点 E,F 在 AB 上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:∠C=∠D.
【答案】证明见解析
【详解】
证明:∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE,
在△ADF 与△BCE 中,
AD BC
A B
AF BE
∴△ADF≌△BCE(SAS),
∴∠C=∠D.
3.(2019·辽宁中考真题)如图,点
t
,
在
上,
t
,
,
,求证:
t
.
【答案】见解析;
【详解】
证明:∵
t
,
∴
t t t
,即
t
,
在
和
t
中,
∠
∠
t
,
∴
≌
t
(SAS)
∴
t
.
考查题型五 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的对角 AAS))
1.(2013·浙江中考真题)如图,△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°,求∠EBC 的度数。
【答案】见解析(2)∠EBC=25°
【详解】
解(1)证明:∵在△ABE 和△DCE 中,
∠
∠
∠
AEB
∠
DEC
AB DC
,
∴△ABE≌△DCE(AAS)
(2)∵△ABE≌△DCE,∴BE=EC,
∴∠EBC=∠ECB,
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°,
∴∠EBC=25°
2.(2016·广西中考模拟)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是 E、F,
并且 DE=DF.求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)四边形 ABCD 是菱形.
【答案】见解析
【解析】证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=900。
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C。
在△AED 和△CFD 中: ∵
∠
AED
∠
CFD∠
∠
DE DF
,
∴△AED≌△CFD(AAS)。
(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD。
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴四边形 ABCD 是菱形。
3.(2019·陕西中考模拟)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线,
且与对角线 AC 分别相交于点 E、F.求证:AE=CF.
【答案】见解析.
【详解】
证明:∵平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC,
∴∠ACB=∠CAD.
∵BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线,
∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA,
在△BEC 与△DFA 中,
∵
∠
t
=∠
∠
=∠
=
∴△BEC≌△DFA(AAS),
∴AF=CE,
∴AE=CF.
考查题型六 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的另一角 ASA))
1.(2016·湖北中考真题)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由 A 步行到达 B 处的过程中,通过隔离带的
空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于 O,OD⊥CD,垂足为 D,已知 AB=20 米,请根据
上述信息求标语 CD 的长度.
【答案】20 米.
【解析】
试题解析:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,
∴∠ABO=90°,即 OB⊥AB,
∵相邻两平行线间的距离相等,
∴OD=OB,
在△ABO 与△CDO 中,
,
∴△ABO≌△CDO(ASA),
∴CD=AB=20(m)
2.(2015·北京中考模拟)如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;
求证:BC=DC.
【答案】见解析
【详解】
证明:∵∠BCE=∠DCA,
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠ACB=∠ECD.
在△ABC 和△EDC 中,
∵
∠
ACB
∠
ECD
AC EC
∠
∠
t
,
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴BC=DC
3.(2016·湖北中考模拟)如图,已知 EF∥MN,EG∥HN,且 FH=MG,求证:△EFG≌△NMH.
【答案】证明见解析
【解析】
∵EF∥MN, EG∥HN,
∴∠F=∠M, ∠EGF=∠NHM.
∵FH=MG,
∴FG=MH.
在△EFG 和△NMH 中
∵∠F=∠M,
FG=MH
∠EGF=∠NHM,
∴△EFG≌△NMH(ASA)
考查题型七 已知两角,找两角的夹边 ASA
1.(2010·河北中考真题)如图,在△ABC 和△ADE 中,点 E 在 BC 边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D, AB
=AD,
(1)试说明△ABC≌△ADE;
(2)如果∠AEC=75°,将△ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合,求这个旋转角的大小.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、30°
【详解】
(1)∵∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠B=∠D,
∴△ABC≌△ADE.
(2)∵△ABC≌△ADE
∴AC=AE,
∴∠C=∠AEC=75°,
∴∠CAE=180°−∠C−∠AEC=30°,
∴△ADE 绕着点 A 逆时针旋转 30°后与△ABC 重合,
∴这个旋转角为 30°.
2.(2019·河北中考模拟)某风景区改建中,需测量湖两岸游船码头 A、B 间的距离,于是工作人员在岸边
A、B 的垂线 AF 上取两点 E、D,使 ED=AE.再过 D 点作出 AF 的垂线 OD,并在 OD 上找一点 C,使 B、
E、C 在同一直线上,这时测得 CD 长就是 AB 的距离.请说明理由.
【答案】证明见解析.
【详解】
证明:∵AB⊥AD,CD⊥AD,
∴∠A=∠CDE=90°,
又∵ED=AE,∠AEB=∠CED,
∴△ABE≌△CED(AAS),
∴AB=CD.
3.(2018·湖北中考模拟)如图,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,AD=AE.求证:BE=CD.
【答案】证明过程见解析
【详解】
∵BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在△ADB 和△AEC 中,
∠
∠
t
t
∠
∠
∴△ADB≌△AEC(ASA)
∴AB=AC,
又∵AD=AE,
∴BE=CD.
考查题型八 已知两角,找任意一边 AAS
1.(2017·湖北中考模拟)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O.
(1)求证:AB=DC;
(2)试判断△OEF 的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明略
(2)等腰三角形,理由略
【详解】
证明:(1)∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF, 即 BF=CE.
又∵∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△ABF≌△DCE(AAS),
∴AB=DC.
(2)△OEF 为等腰三角形
理由如下:∵△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC.
∴OE=OF.
∴△OEF 为等腰三角形.
2.(2019·山西中考真题)已知:如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠H.求证:BC=DH.
【答案】证明见解析.
【详解】
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,
即 AB=DE.
∵AC∥EH,
∴∠A=∠E,
在△ABC 和△EDH 中
∠
∠
∠
∠
t
t
,
∴△ABC≌△EDH(AAS),
∴BC=DH.
3.(2019·广西中考模拟)已知:如图,点 B、F、C、E 在同一条直线上,AB∥DE,∠A=∠D,BF=EC.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A=120°,∠B=20°,求∠DFC 的度数.
【答案】(1)见解析;(2)∠DFC=40°
【详解】
(1)证明:∵AB∥DE,
∴∠B=∠E,
∵BF=EC
∴BF+FC=EC+CF,
即 BC=EF,
在△ABC 和△DEF 中,
∠
∠
∠
∠
t
t
,
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(2)解:∵∠A=120°,∠B=20°,
∴∠ACB=40°,
由(1)知△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE,
∴∠DFE=40°,
∴∠DFC=40°.
4.(2016·江苏中考模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,CE⊥BD 于 E,AB=EC.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠EDC=65°,求∠ECB 的度数;
(3)若 AD=3,AB=4,求 DC 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)40°;(3)2
ൌ
.
【解析】
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠EBC,
∵∠A=∠CEB=90°,
在△ABD 与△CEB 中,
∠
∠
t ∠
∠
t
t
,
∴△ABD≌△ECB;
(2)由(1)证得△ABD≌△ECB,
∴BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=65°,
∵∠DCE=90°-65°=25°,
∴∠ECB=40°;
(3)由(1)证得△ABD≌△ECB,
∴CE=AB=4,BE=AB=3,
∴BD=BC=
ൌ
,
∴DE=2,
∴CD=
ൌ
.
考查题型九 已知两边,找夹角 SAS
1.(2013·湖北中考真题)如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.
【解析】
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C。
在△ABD 与△ACE 中,∵
AB AC
∠
∠
BD EC
,
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴AD=AE。
2.(2018·广东中考真题)如图,AB 与 CD 相交于点 E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C.
【答案】证明见解析.
【详解】
在△AED 和△CEB 中,
t t
∠
t
∠
t
t t
,
∴△AED≌△CEB(SAS),
∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).
3.(2019·江苏中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC 上,BD=CE,BE、CD 相
交于点 0;
求证:(1)
≅
t
(2)
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】
(1)∵AB=AC,
∴∠ECB=∠DBC,
在
与
t
中
t
∠
∠
t
,
∴
≅
t
;
(2)由(1)
≅
t
,
∴∠DCB=∠EBC,
∴OB=OC.
4.(2018·江苏中考模拟)如图,在五边形 ABCDE 中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.
(1)求证:△ABC≌△AED;
(2)当∠B=140°时,求∠BAE 的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)80°.
【详解】
证明:(1)∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
又∵∠BCD=∠EDC=90°,
∴∠ACB=∠ADE,
在△ABC 和△AED 中,
t
∠
∠
t
,
∴△ABC≌△AED(SAS);
解:(2)当∠B=140°时,∠E=140°,
又∵∠BCD=∠EDC=90°,
∴五边形 ABCDE 中,∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°.
5.(2019·河北中考模拟)如图,△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得,且 AB⊥BC,BE=CE,
连接 DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形 ABED 的形状,并说明理由.
【答案】证明见解析.
【详解】
(1)证明:∵△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得,
∴DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°,
∵AB⊥EC,
∴∠ABC=90°,
∴∠DBE=∠CBE=30°,
在△BDE 和△BCE 中,
∵
DB CB
∠
DBE
∠
CBE
BE BE
,
∴△BDE≌△BCE;
(2)四边形 ABED 为菱形;
由(1)得△BDE≌△BCE,
∵△BAD 是由△BEC 旋转而得,
∴△BAD≌△BEC,
∴BA=BE,AD=EC=ED,
又∵BE=CE,
∴BA=BE=ED= AD
∴四边形 ABED 为菱形.
考查题型十已知两边,找直角 HL
1.(2018·江苏中考真题)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O.求证:OB=OC.
【答案】证明见解析.
【解答】证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO.
2.(2019·江苏中考模拟)如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点 E,
F,且 BE=CF,求证:AD 是△ABC 的角平分线.
【答案】见解析
【详解】
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE△DCF 是直角三角形.
在 Rt△BDE 与 Rt△DCF 中,
t
,
∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL),
∴DE=DF,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD 是△ABC 的角平分线.
3.(2019·福建省诏安县霞葛初级中学中考模拟)如图,
、
、
、
四点在一条直线上,AB DE ,
,
t
,垂足分别为点
、点
,
.
求证:
(1)
≅
t
;
(2)
䁡䁡 t
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】
证明:
(1)∵
,
t
⊥
,
∴
和
t
为直角三角形,
∵
,
∴
,即
,
在
和
t
中,
t
,
∴
≅
t
;
(2)由(1)可知
≅
t
,
∴∠
∠
,
∴
䁡䁡 t
.
考查题型十一 已知两边,找第三边 SSS
1.(2018·四川中考模拟)如图,点 B、E、C、F 在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:
AB∥DE.
【答案】详见解析.
【解析】
证明:由 BE=CF 可得 BC=EF,
又 AB=DE,AC=DF,
故△ABC≌△DEF(SSS),
则∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
2.(2018·广西中考真题)如图,点 A、D、C、F 在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)37°
【解析】
(1)∵AC=AD+DC, DF=DC+CF,且 AD=CF
∴AC=DF
在△ABC 和△DEF 中,
AB DE
BC EF
AC DF∴△ABC≌△DEF(SSS)
(2)由(1)可知,∠F=∠ACB
∵∠A=55°,∠B=88°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°
∴∠F=∠ACB=37°
3.(2019·辽宁中考模拟)已知:如图,点 A、D、C、B 在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求
证:AE∥BF.
【答案】证明见解析.
【解析】
∵AD=BC,∴AC=BD,
在△ACE 和△BDF 中,
=
t
=
t
=
,
∴△ACE≌△BDF(SSS)
∴∠A=∠B,
∴AE∥BF;
知识点 3 角平分线
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;
判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形中角平分线的性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这点到三条边距离相等。
考查题型十二 图中有角平分线,向两边作垂线
1.(2019·襄樊市月考)在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,
求证 DE=DF.
【答案】证明见解析.
【详解】
过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于 N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD 平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN(角平分线性质),
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,
∴∠MED=∠NFD,
在△EMD 和△FND 中
t 헀
t 헀
헀
,
∴△EMD≌△FND(AAS),
∴DE=DF.
2.(2019·襄樊市月考)在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E、F 分别为 AB、AC 上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,
求证 DE=DF.
【答案】证明见解析.
【详解】
过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于 N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD 平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN(角平分线性质),
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,
∴∠MED=∠NFD,
在△EMD 和△FND 中
t 헀
t 헀
헀
,
∴△EMD≌△FND(AAS),
∴DE=DF.
3.(2017·广东中考模拟)如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上一点,PD⊥OA 于点 D,PD=6,则点
P 到边 OB 的距离为_____.
【答案】6
【解析】
作 PE⊥OB 于 E,如图,
∵OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD=6,
即点 P 到边 OB 的距离为 6.
故答案为 6.
考查题型十三 角平分线加垂线,三线合一试试看
1.如图,已知 AE⊥FE,垂足为 E,且 E 是 DC 的中点.
(1)如图①,如果 FC⊥DC,AD⊥DC,垂足分别为 C,D,且 AD=DC,判断 AE 是∠FAD 的角平分线吗?(不必
说明理由)
(2)如图②,如果(1)中的条件“AD=DC”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由;
(3)如图③,如果(1)中的条件改为“AD∥FC”,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由.
【答案】(1)AE 是∠FAD 的角平分线(2)成立(3)成立
【详解】
(1)AE 是∠FAD 的角平分线;
(2)成立,如图,延长 FE 交 AD 于点 B,
∵E 是 DC 的中点,
∴EC=ED,
∵FC⊥DC,AD⊥DC,
∴∠FCE=∠EDB=90°,
在△FCE 和△BDE 中,
t t
t t
t t
,
∴△FCE≌△BDE,
∴EF=EB,
∵AE⊥FE,
∴AF=AB,
∴AE 是∠FAD 的角平分线;
(3)成立,如图,延长 FE 交 AD 于点 B,
∵AD=DC,
∴∠FCE=∠EDB,
在△FCE 和△BDE 中,
t t
t t
t t
,
∴△FCE≌△BDE,
∴EF=EB,
∵AE⊥FE,
∴AF=AB,
∴AE 是∠FAD 的角平分线.
考查题型十四 角平分线平行线,等腰三角形来填
1.(2017 春 赣州市期末)如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O,过点 O 作 DE//BC,分别
交 AB,AC 于点 D,E,若 AB=4,AC=3,则△ADE 的周长是_______________。
【答案】7
【解析】
解:∵BO 平分∠ABC,
∴∠DBO=∠CBO,
∵DE∥BC,
∴∠CBO=∠DOB,
∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=DO,
同理 OE=EC,
∴△ADE 的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7.
故答案为:7.
2.(2018·江苏中考模拟)如图,AB∥CD,CB 平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE=__________度.
【答案】70
【详解】∵AB∥CD,∠ABC=35°,
∴∠BCD=∠B=35°,
∵CB 平分∠ACD,
∴∠BAE=2∠BCD=70°
故正确答案为:70.
考查题型十五 图形对折问题
1.(2017 丹阳市月考)如图 a 是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 BF 折叠成图 c,
则图 c 中的∠CFE 的度数是____________°.
【答案】105°
【解析】
由图 a 知,∠EFC=155°.
图 b 中,∠EFC=155°,则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图 c 中,∠GFC=130°,则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为:105°.
2.(2019 道外区期末)如图 a 是长方形纸带(提示:AD∥BC),将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 GF 折叠成图
c.
(1)若∠DEF=20°,则图 b 中∠EGB=______,∠CFG=______;
(2)若∠DEF=20°,则图 c 中∠EFC=______;
(3)若∠DEF=α,把图 c 中∠EFC 用α表示为______;
(4)若继续按 EF 折叠成图 d,按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG,整个过程共折叠了 9 次,
问图 a 中∠DEF 的度数是多少.
【答案】(1)40°,140°;(2)120°;(3)180°﹣3α;(4)18°.
【详解】
(1)∵长方形的对边是平行的,
∴∠BFE=∠DEF=20°,
∴∠EGB=∠BFE+∠DEF=40°,
∴∠FGD=∠EGB=40°,
∴∠CFG=180°﹣∠FGD=140°;
故答案为:40°,140°;
(2)∵长方形的对边是平行的,
∴∠BFE=∠DEF=20°,
∴图 a、b 中的∠CFE=180°﹣∠BFE,以下每折叠一次,减少一个∠BFE,
∴图 c 中的∠EFC 度数是 120°;
故答案为:120°;
(3)由(2)中的规律,可得∠CFE=180°﹣3α.
故答案为:180°﹣3α;
(4)设图 a 中∠DEF 的度数是 x°,
由(2)中的规律,可得 180﹣(9+1)x=0.
解得:x=18.
故答案为:18°.
考查题型十六 角平分线与实际问题
1.(2019·深圳市文锦中学中考模拟)已知:如图所示,三条公路两两分别相交于点 A、B、C,在甲区内求
作一点 P,使点 P 到三条公路的距离都相等。
【答案】答案见解析
【详解】
解:点 P 位置如图所示:
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