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- 2021-11-06 发布
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第1章 一元二次方程
1.4 第1课时 面积问题与平均增长率问题
知识点 1 面积问题
1.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图1-4-1),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( )
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
图1-4-1
图1-4-2
2.[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱,如图1-4-2,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为( )
A.(80-x)(70-x)=3000
B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
3.在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框,制成一幅面积是3500 cm2的矩形挂图,那么金色边框的宽为________cm.
4.如图1-4-3,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?
图1-4-3
知识点 2 增长(降低)率问题
5.[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2015年人均年收入200美元,预计2017年人均年收入将达到1000美元.设2015年到2017年该地区居民人均年收入平均增长率为x,可列方程为( )
5
A.200(1+2x)=1000
B.200(1+x)2=1000
C.200(1+x2)=1000
D.200+2x=1000
6.2016·徐州模拟某种药品原价为35元/盒,经过连续两次降价后售价为26元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是( )
A.35(1-x)2=35-26 B.35(1-2x)=26
C.35(1-x)2=26 D.35(1-x2)=26
7.某商品的售价为100元,连续两次降价x%后售价降低了36元,则x为( )
A.8 B.20 C.36 D.18
8.[2017·黑龙江] 原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元.若每次降价的百分率相同,则降价的百分率为________.
9.2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业,万众创新”号召,某市加大了对“双创”工作的支持力度.据悉,2015年该市此项拨款为1.5亿元,2017年的拨款达到2.16亿元,这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________.
10.已知某工厂计划经过两年时间,把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台,那么平均每年增长的百分率是________;按此平均增长率,预计再经过两年,该工厂的年产量是________万台.
11.某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求这个增长率.
12.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
A.50(1+x2)=196
B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
13.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.x=28 B.x=28
C.x=28 D.x=28
图1-4-4
14.如图1-4-4是某广场一角的矩形花草区,其长为40 m,宽为26 m,其间有三条等宽的路,一条直路,两条曲路,路以外的地方全部种上花草,要使花草的面积为864 m2,则路的宽度为________m.
5
15.[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高.据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?
16.教材“问题1”变式李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2,李明应该怎样剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗?请说明理由.
17.[2017·烟台] 今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年的价格为200元/个,2017年的价格为162元/个.
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
图1-4-5
试问去哪个商场购买足球更优惠?
5
详解详析
1.C 2.C
3.5 [解析] 设金色边框的宽为x cm,则整幅挂图的长为(2x+60)cm,宽为(2x+40)cm.依题意,得(2x+60)(2x+40)=3500,整理,得x2+50x-275=0,解得x1=5,x2=-55(不符合题意,舍去).
4.解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则平行于住房墙的一边长为(26-2x)m.
依题意,得x(26-2x)=80.
化简,得x2-13x+40=0.
解这个方程,得x1=5,x2=8.
当x=5时,26-2x=16>12(舍去);
当x=8时,26-2x=10<12.
答:所围矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m.
5.B 6.C 7.B
8.10% [解析] 设每次降价的百分率是x.
根据题意列方程,得100(1-x)2=81,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).
故答案为10%.
9.20% [解析] 设这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为x.根据题意,得1.5(1+x)2=2.16,
解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).
即这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.
故答案为20%.
10.10% 146.41 [解析] (1)设平均增长率为x,则100(1+x)2=121,解得x1=0.1,x2=-2.1(舍去),故年平均增长率为10%;(2)又经过两年,其年产量为121×(1+10%)2=146.41(万台).
11.设这个增长率为x.依题意,得20(1+x)2-20(1+x)=4.8,解得x1=0.2,x2=-1.2(不合题意,舍去).0.2×100%=20%.
答:这个增长率是20%.
12.C [解析] 依题意,得八、九月份的产量分别为50(1+x)万个,50(1+x)2万个,
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
13.B
14.2 [解析] 设路的宽度是x m.根据题意,得(40-2x)(26-x)=864,整理,得x2-46x+88=0,解得x=2或x=44(不合题意,舍去).
15.解:(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.
根据题意,得2(1+x)2=2.88,
解这个方程,得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).0.2×100%=20%.
答:该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)根据题意,得2.88×(1+20%)=3.456(万元)>3.4万元.
答:该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
16.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.
由题意,得x2+(10-x)2=58.
解得x1=3,x2=7.
4×3=12(cm),4×7=28(cm),
5
∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.
(2)李明的说法正确.理由如下:
设其中一个正方形的边长为y cm,则另一个正方形的边长为(10-y)cm.
由题意,得y2+(10-y)2=48,
整理,得y2-10y+26=0.
∵(-10)2-4×1×26=-4<0,
∴此方程无实数根.
即这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,
∴李明的说法是正确的.
17.解:(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.
根据题意,得200(1-x)2=162,
解得x=0.1或x=1.9(舍去).
0.1×100%=10%.
答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价为91×162=14742(元).
到B商场购买,总价为100×162×0.9=14580(元).
∵14580<14742,
∴去B商场购买合算.
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