人教版九年级数学下册-4单元清四检测试卷第28章锐角三角函数 6页

………………线………………封……………密…………… ：号考：级班：名姓 检测内容：第二十八章锐角三角函数 得分________卷后分________评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(大庆中考)2cos60°＝(A ) A．1B． 3C． 2D．1 2 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝1 5 ，则 tanA 等于(A ) A．2 6B． 6 2 C．2 6 5 D．24 3．如图，以原点 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是 AB 上一点(不 与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是(C ) A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα) C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα) 4．如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若△ABC 的三个顶点在 图中相应的格点上，则 tan∠ACB 的值为(A) A．1 3B．1 2C． 2 2 D．3 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5．如图，在▱ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF∶BC＝1∶2，连 接 DF，EC.若 AB＝5，AD＝8，sinB＝4 5 ，则 DF 的长等于(C ) A． 10B． 15C． 17D．2 5 6．(泰安中考)如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65°方向航行 30 2km 至 B 港，然后再沿 北偏西 40°方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20°方向，则 A，C 两港之间的距离为(B ) A．30＋30 3B．30＋10 3C．10＋30 3D．30 3 7．(遵义中考)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算 tan15° 时，如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长 CB 使 BD＝AB，连接 AD，得 ∠D＝15°，所以 tan15°＝AC CD ＝ 1 2＋ 3 ＝ 2－ 3 （2＋ 3）（2－ 3） ＝2－ 3.类比这种方法，计算 tan22.5°的值为(B ) A． 2＋1B． 2－1C． 2D．1 2 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．(嘉兴中考)如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC＝1，∠ABC＝30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为(B ) A．2B． 3C． 2D．1 2 9．如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度．他们先在点 C 处测得 树顶 B 的仰角为 60°，然后在坡顶 D 处测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m，DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是(B ) A．20 3mB．30mC．30 3mD．40m 10．(自贡中考)如图，已知 A，B 两点的坐标分别为(8，0)，(0，8)，点 C，F 分别是直 线 x＝－5 和 x 轴上的动点，CF＝10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E，当 △ABE 面积取得最小值时，tan∠BAD 的值是(B ) A． 8 17B． 7 17C．4 9D．5 9 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 tanB＝__12 5 __． 12．已知α为锐角，且 cos(90°－α)＝ 2 2 ，则α＝__45°__． 13．如图，点 P 在反比例函数 y＝60 x 图象上，PH⊥x 轴于 H，若 cos∠POH＝12 13 ，则点 P 坐标是__(12，5)__. 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 14．(乐山中考)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝3 5 ，则 AB 边的长为__16 5 __． 15．如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，点 C 是优弧 AB 上的一点(不与 A，B 重 合)，则 cosC 的值为__4 5__． 16．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从 A 处观测，测得某建 筑物顶点 O 的俯角为 22°，继续水平前行 10 米到达 B 处，测得俯角为 45°，已知无人机 的飞行高度为 45 米，则这栋楼的高度约为__38.3__米．(精确到 0.1 米，参考数据：sin22° ≈3 8 ，cos22°≈15 16 ，tan22°≈2 5) 17．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕．若 AE＝3，则 sin∠BFD 的值为__1 3__． 第 17 题图 第 18 题图 18．(天门中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3…… 都是菱形，点 A1，A2，A3……都在 x 轴上，点 C1，C2，C3……都在直线 y＝ 3 3 x＋ 3 3 上，且 ∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点 C6 的坐标是__(47，16 3)__． 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)计算：cos245°－ （tan260°－2）－(sin260°－1)＋(1 2)－2. 解：原式＝( 2 2 )2－ 3－2－( 3 2 × 3 2 －1)＋4＝1 2 －1＋1 4 ＋4＝15 4 20．(8 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边． (1)已知∠B＝45°，c＝ 6，解这个直角三角形； (2)已知∠A－∠B＝30°，b＋c＝30，解这个直角三角形． 解：(1)∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝45°，a＝b＝c·sinB＝ 6× 2 2 ＝ 3.由上可得：∠A＝45°，a＝ 3，b＝ 3 (2)∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A－∠B＝30°，解得∠A ＝60°，∠B＝30°，∴b＝c 2.又∵b＋c＝30，可得 b＝10，c＝20，∴a＝c·sinA＝20× 3 2 ＝ 10 3.由上可得：∠A＝60°，∠B＝30°，a＝10 3，b＝10，c＝20 21．(8 分)(盐城中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ 3 3 ，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CD＝ 3，求 AB 的长． 解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ 3 3 ，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD＝ 3，∴BC＝ CD tan30° ＝3，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝ BC sin30° ＝6.答：AB 的长为 6 22．(10 分)(抚顺中考)如图，BC 是路边坡角为 30°，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯 杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是 37°和 60°(图中的点 A，B，C，D，M，N 均在同一平面内，CM∥AN). (1)求灯杆 CD 的高度； (2)求 AB 的长度(结果精确到 0.1 米).(参考数据：3＝1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) 解：(1)延长 DC 交 AN 于 H.∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠ CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10(米) (2)在 Rt△BCH 中，CH＝1 2BC＝5(米)，BH＝5 3≈8.65(米)，∴DH＝15(米)，在 Rt△ADH 中，AH＝ DH tan37° ≈ 15 0.75 ＝20(米)，∴AB＝AH－BH＝20－8.65≈11.4(米).答：AB 的长度约为 11.4 米 23．(10 分)(连云港中考)如图①，水坝的横截面是梯形 ABCD，∠ABC＝37°，坝顶 DC ＝3m，背水坡 AD 的坡度 i(即 tan∠DAB)为 1∶0.5，坝底 AB＝14m. (1)求坝高； (2)如图②，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同 时拓宽加固，使得 AE＝2DF，EF⊥BF，求 DF 的长．(参考数据：sin37°≈3 5 ，cos37°≈4 5 ， tan37°≈3 4) 解：(1)作 DM⊥AB 于点 M，CN⊥AB 于点 N.由题意得 tan∠DAB＝DM AM ＝2，设 AM＝x， 则 DM＝2x.∵四边形 DMNC 是矩形，∴DM＝CN＝2x.在 Rt△NBC 中，tan37°＝CN BN ＝ 2x BN ＝ 3 4 ，∴BN＝8 3x.∵x＋3＋8 3x＝14，∴x＝3，∴DM＝6m．答：坝高为 6m (2)作 FH⊥AB 于点 H.设 DF＝y，则 AE＝2y，EH＝2y＋3－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3 ＋y)＝11＋y.由 FH⊥AB，EF⊥BF 可得△EFH∽△FBH，所以FH BH ＝EH FH ，即 6 11＋y ＝3＋y 6 ，解 得 y＝－7＋2 13或 y＝－7－2 13(舍去)，∴DF＝2 13－7m．答：DF 的长为(2 13－7)m 24．(12 分)(嘉兴中考)为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不 同的方案，他们在河南岸的点 A 处测得河北岸的树 H 恰好在 A 的正北方向．测量方案与数 据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺 等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 示意图 说明 点 B，C 在点 A 的正东方向 点 B，D 在点 A 的 正东方向 点 B 在点 A 的正东方 向， 点 C 在点 A 的正西方 向 测量 数据 BC＝60m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°. BD＝30m， ∠ABH＝70°， ∠BCD＝35°. BC＝101m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°. (1)哪个小组的数据无法计算出河宽？ (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到 0.1m).(参考数据：sin70°≈0.94， sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70) 解：(1)第二个小组的数据无法计算河宽 (2)第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴ ∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH·sin70°≈60×0.94＝56.4(m).第三 个小组的解法：设 AH＝xm，则 CA＝ AH tan35° ，AB＝ AH tan70° ，∵CA＋AB＝CB，∴ x 0.70 ＋ x 2.75 ＝101，解得 x≈56.4.答：河宽为 56.4m 25．(12 分)如图，已知等边△ABC，AB＝12，以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D， 过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，过点 F 作 FG⊥AB，垂足为 G，连接 GD. (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)求 FG 的长； (3)求 tan∠FGD 的值． 解：(1)证明：连接 OD，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而 OD＝ OB，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴ OD⊥DF，∴DF 是⊙O 的切线 (2)∵OD∥AC，点 O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD＝CD＝6.在 Rt△ CDF 中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝1 2CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9.在 Rt △AFG 中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9× 3 2 ＝9 3 2 (3)过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH. 在 Rt△BDH 中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝1 2BD＝3，DH＝ 3BH＝3 3.在 Rt △AFG 中，∵∠AFG＝30°，∴AG＝1 2AF＝9 2.∵GH＝AB－AG－BH＝12－9 2 －3＝9 2 ，∴tan ∠GDH＝GH DH ＝ 9 2 3 3 ＝ 3 2 ，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝ 3 2